固体电子物理1.ppt

1、第二章 固体电子理论,固 体 电 子 理 论,电子理论,自由电子理论,能带理论,恒定势场,周期性势场,经典电子理论,量子电子理论（索末菲（Sommerfeld）模型）,(德鲁德（Drude）模型),半导体理论,2.1 金属的自由电子理论,一、经典自由电子理论 特鲁德把理想气体的动力学理论运用于自由电子气，得出自由电子的平均能量,实验表明，在室温下金属的热容恒接近于3R，也就是说热容全部是由晶格所贡献。精确的实验还指出，每个电子对热容的贡献要比3/2kB小两个数量级。金属中自由电子起着电和热的传导作用，对热容却几乎没有贡献，这是经典自由 电子理论无法解释的主要困难之一。,每摩尔金属所含自由电子的

2、内能,在室温下，一价金属的摩尔 定容热容,每摩尔电子对定容热容的贡献,固 体 电 子 理 论,二、量子自由电子理论,1.自由电子的能量状态,金属中的自由电子就像是在三维无限深势阱中运动的粒子。设金属是边长为L的立方体，体积 。电子的势能函数可写为：,（1）,（2）,在方箱内，电子的薛定谔方程为：,固 体 电 子 理 论,（3）,（4）,采用分离变量法，令,电子的能量E 可写为,上式中k是自由电子波矢的模，kx、ky、kz是波矢的三个分量。将波函数 （x,y,z）和能量E的表达式代入式(2)，可得到三个方程式：,（5）,方程（4）的解,由周期性边界条件 ，可得,（6）,同理可得,电子的波函数,（

3、7）,固 体 电 子 理 论,（8）,由归一化条件 ，可得,电子能量,由波函数的统计解释知道，在金属中发现电子的几率与波函数的模方成正比。 波函数的模方,结果表明，电子在金属中各处出现的几率一样，电子是自由的。金属中自由 电子的能量依赖于一组量子数(nx,ny,nz),能量E是不连续的，只能取一系列分立 的值，这些分离的能量称为能级。,电子波函数(7)式是行进的平面波，波矢k只能具有确定的分立值。每一组 许可的 k 值(kx,ky,kz)或量子数 (nx,ny,nz), 确定了电子的一个可能的空间运动状(r) 。处于这个状态中的电子沿k方向运动，具有确定的动量 和确定的速 度，并对应着一定的能

4、量 。这种由波矢k所代表的自由电子可能的空间运动状态称 为空间电子态。在以kx,ky,kz为坐标轴的空间(通常称为波矢空间或k空间)，每一电子态可用一个点来代表，点的坐标由式(6)确定。,波矢空间（k-空间）,二维波矢空间中的电子态分布,沿kx轴和ky轴相邻两个代表 点的间距为,。,固 体 电 子 理 论,单位体积中包含的k的点数（状态密度）为,所以在,的体积元,中包含的状态数为：,每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则体积元,可容纳的电子数：,2. 自由电子的能级密度,在三维波矢空间中，每一个电子态平均占据的k空间体积为,固 体 电 子 理 论,所以在k 标度下的电子态密度（状态密度）为：

5、,自由电子的能量为：,由上可以看出在k空间中，自由电子能量等于某个定值的曲面是一个球面， 其半径是：,在能量EE+dE之间的区域，就是半径为k和k+dk的两个球面之间的球壳层， 体积是 4k2dk ,对应的状态数目：,固 体 电 子 理 论,利用关系式,得,电子态密度（能级密度）,其中,由上式可知，随着能量增加，其 状态密度增大，而且与能量成 的关系，见右图。,固 体 电 子 理 论,3.费米能量,电子气体服从泡利不相容原理和费米 狄拉克统计规律,热平衡下时，能量为E的本征态被电子占据的几率, 费米分布函数,EF：费米（Feimi）能量或化学势，体积不变条件下系统增加一个电子 所需的自由能。,

6、固 体 电 子 理 论,1) T 0K时,电子填充能量EEF 几率,固 体 电 子 理 论,2) T 0K时,3) 在较低温度时，分布函数在 EEF 处发生很大变化,固 体 电 子 理 论,k空间的费米面 EEF T0K时费米面内所有状态均被电子占有 T0K 费米能量降低，一部分电子被激发到费米面外附近,固 体 电 子 理 论,EE+dE之间状态数,EE+dE之间的电子数,电子总数为：,取决于费米统计分布函数,固 体 电 子 理 论,总的电子数,a) T0K时的费米能量,电子浓度,固 体 电 子 理 论,结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能

7、容许两个自旋相反的电子。所有的电子不可能都填充在最低能量状态 。,T0K时电子的平均能量 平均动能,固 体 电 子 理 论,总的电子数,对上式进行分步积分,得,b) T0K时的费米能量,上式第一项等于零,固 体 电 子 理 论,当,时，,只有在EF附近有较大的值,令,把,在EEF附近用泰勒级数展开，最终可得,得,温度升高费米能级下降,由前面可知,固 体 电 子 理 论,T0 K时,电子的平均能量,由上式可以看出，在一般温度时，每个电子的平均能量与0K时电子的平均能量相差 的数量级。,4.金属的热容,固 体 电 子 理 论,电子对热容的贡献:,在T0 K时,则,1mol电子对热容的贡献为：,固 体 电 子 理 论,晶格振动对热容的贡献：,德拜温度,则,由上可知，随着温度降低， 增大,因此只有当温度很低时才考虑电子对热容的贡献。,总的热容为：,固 体 电