第2章数字逻辑代数基础逻辑函数转换方法.ppt

1、第2章 逻辑代数基础,掌握逻辑函数及其表示方法和这几种表示方法 的相互转换。 掌握逻辑代数的基本定律和常用规则。 掌握逻辑函数的代数法和卡诺图法化简。,本章教学要求：,重点,重、难点,重、难点,2.1三种最基本的逻辑函数,2.1.1 逻辑函数和逻辑变量,2.1.2 三种基本逻辑关系及其表示方法,退 出,2.1.1 逻辑函数和逻辑变量,逻辑命题和逻辑变量,1.逻辑命题：反映事物因果关系规律的命题。 2.逻辑变量：决定事物原因和结果的变量。 1）包括：逻辑自变量：决定事物原因的变量。（输入变量） 逻辑因变量：决定事物结果的变量。 （输出变量） 2）取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻

2、辑常量，并不表示数量的大小，无大小、正负之分，而是表示两种对立的逻辑状态。,二逻辑函数 反映逻辑自变量和逻辑因变量之间的表达式称为逻辑函数。 如： Z=f(A、B、C) 其中：A、B、C为输入变量；Z为输入变量。,2.1.2 三种基本逻辑关系及其表示方法,一与逻辑（逻辑乘）,1.定义：仅当决定事件（Z）发生的所有条件（A、B、C）均满足时，事件（Z）才能发生。,例如：开关A，B串联控制灯泡Y的电路。,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。,功能表,2.表示方法:,1)真值表:把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格。,Z,2)逻辑表达式:,3)逻辑符号:,3.逻辑规律:

3、 有0出0,全1出1,4.与门:实现与逻辑的电子电路。,二或逻辑（逻辑加）,1.定义：当决定事件（Z）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Z）就发生。,例如：开关A，B并联控制灯泡Z的电路。,功能表,2.表示方法:,1)真值表:,2)逻辑表达式:,Z=A+B,3)逻辑符号:,3.逻辑规律: 有1出1,全0出0,4.或门:实现或逻辑的电子电路。,三非逻辑（逻辑反）,1.定义：非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Z）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。,例如：开关A控制灯泡Z的电路。,功能表,2.表示方法:,1)真值表:,2)逻辑表达式:,3

4、)逻辑符号:,3.逻辑规律: 有1出0,有0出1,4.非门（反相器）:实现非逻辑的电子电路。,2.2 复合逻辑函数,一定义：由“与、或、非”组合后的逻辑函数。 二.常用的复合函数及其表示方法,1.与非逻辑：逻辑表达式为：,逻辑规律: 有0出1,全1出0,2.或非逻辑：逻辑表达式为：,3. 与或非逻辑：逻辑表达式为：,逻辑规律: 有1出0,全0出1,逻辑规律: 各组均有0出1, 某组全1出0,4.异或逻辑：逻辑表达式为：,4.同或逻辑：逻辑表达式为：,逻辑规律: 相同出0,相反出1,逻辑规律: 相同出1,相反出0,2.3 逻辑函数的几种表示方法及其相互转换,2.3.1已知真值表求逻辑表达式和逻辑

5、图,2.3.2已知逻辑表达式求真值表和逻辑图,2.3.3已知逻辑图求逻辑表达式和真值表,退 出,2.3.1已知真值表求逻辑表达式和逻辑图,一、已知真值表求函数式,1.找出真值表中函数值为1的输入变量组合; 2.将这些变量组合分别写成乘积项。乘积项中，凡变量值 为1的因子写成原变量、为0的因子写成反变量。 3.将上述乘积项相加即可。,例如：,真 值 表,Z=,1,2,3,步骤：,二、已知函数式画逻辑图,方法：由函数式中所对应的逻辑符号画出逻辑图。,例如：,按先“与”后“或”的运算顺序画：,2.3.2已知逻辑表达式求真值表和逻辑图,方法：将输入变量取值的所有组合（2n种；n为输入变量个数） 逐一代

6、入函数式中，算出函数值，并一一对应地列成表。,例如：,真值表：,逻辑图：,2.3.3已知逻辑图求逻辑表达式和真值表,方法：由逻辑图的输入端开始，逐级写出各逻辑符号输出端的 表达式；再由表达式得真值表（略）。,例如：,逻辑图：,2.4.1 基本公式、定律和常用规则,退 出,2.4 逻 辑 代 数,2.4.2 逻辑函数的代数化简法,2.4.1 基本公式、定律和常用规则,一、基本公式、定律,1.常量之间的关系：,2.基本定律：,令A=0、A=1代入这些公式，即可证明等式成立,上面各式可用真值表证明，即：等式两边所对应的真值表相等，等式成立。,二、常用规则,1.代入规则：将等式两边出现的同一变量都用一

7、个相同逻辑函数代替，则等式仍然成立。,例如：已知 ，用函数Z=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：,2.反演规则：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Z的反函数 。,这是摩根定理扩展为三变量的形式,“先括号、然后乘、最后加”；不在一个变量上的反号应保留不变。,例如：,3.对偶规则： 对偶式Z/ ：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，那么所得到的表达式就是函数Z的对偶式Z

8、/。,对偶规则:凡原式成立，则其对偶式也成立。,例如： 原式:,对偶式:,例如：,2.4.2 逻辑函数的代数化简法,一个逻辑函数确定后，其真值表唯一，但其表达式却有多种形式，而对应不同的表达式就有不同的逻辑图；最简表达式所代表的电路元件最少、成本最低、可靠性好、传输时间短，因此，逻辑函数必须化简。,一、逻辑表达式的基本形式和最简式含义 1.基本形式：,如：,与或式,与非与非式,或与非式,或非或式,或与式,或非或非式,与或非式,与非与式,2.最简与或式的含义：乘积项的个数最少；每个乘积项里的 变量个数也最少。,二、代数化简法（公式法）,1.定义：利用逻辑代数的基本公式、定律对逻辑函数进行化简 的

9、方法。,一般逻辑函数都化简成最简与或式（最基本的），由最简与或式可变换为其他形式的最简式。,2.常用的公式化简方法：,例如：,1.,并项法,2.,吸收法,4.,3.,消去法,配项法,代数化简法需要灵活、交替、综合地利用多个公式、多种方法和多种运算技巧，才能将逻辑函数化为最简。,2.5 逻辑函数的卡诺图化简法,2.5.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式,2.5.2 逻辑函数的卡诺图表示方法,2.5.3 用卡诺图法化简逻辑函数,2.5.4 具有无关项的逻辑函数及其化简,退 出,2.5.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式,逻辑函数不仅可用真值表、表达式、逻辑图来表示，还可用卡诺图表示。利用卡诺图化简

10、逻辑函数，简捷直观、灵活方便，容易判断函数是否为最简式。卡诺图化简法适用于四变量以内的逻辑函数的化简。下面先介绍卡诺图中涉及到的概念。,一、定义 对于n个变量的函数，如果与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别以原变量或反变量出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为函数的最小项（共有2n个）。,二、最小项编号 是n变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。,这样的与或表达式称为最小项表达式（标准与或式）。,例如：Z(A、B、C）的真值表如下：,编号,代号,最小项,最小项表达式：,三、最小项性质 1. 对输入变量任何一组取值在所有最小项（2n个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。

11、 2. 在输入变量的任何一组取值下,任意两个最小项的乘积为0。 全体最小项的和为1。 若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性。具有逻辑相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并可消去一个因子。 任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式，而且这种形式是唯一的。,2.5.2 逻辑函数的卡诺图表示方法,一、卡诺图的画法规则 1.卡诺图:用图示的方法,将n个变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得的图形叫做n变量的卡诺图。 2.画法规则： n个变量，有2n个最小项，用2n个小方格构成方形或矩形图。要求： 1）上下、左右、相对

12、的边界、四角等相邻格(几何相邻)只允许一个因子发生变化。 2）左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。 3）变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列排列。,二、用卡诺图表示逻辑函数 1.方法:将函数的最小项表达式中含有的最小项在卡诺图对应的小方格中填1，没有的填0或不填。,例如：,三变量的卡诺图：,四变量的卡诺图：,1,1,1,例如：,Z的卡诺图：,2.卡诺图与逻辑函数的其他几种表示方法之间的互换： 1）由真值表画卡诺图：,例如：,1,1,1,1,2）由逻辑函数与或式画卡诺图：,例如：,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3）由卡诺图写与或式：,例如：,2.5.3 用

13、卡诺图法化简逻辑函数,一、步骤 1.将函数变换为与或式； 2.画出卡诺图； 3.将2n个有1的相邻小方格圈出（所圈小方格数是2的整次幂，即：1个、2个、4个、8个小方格为一个圈），提出公因子； 4.将公因子相加。,因卡诺图中的最小项几何相邻必定逻辑相邻，故几何相邻的最小项可以提取公因子，而消去不同项，这样就可以用卡诺图来化简逻辑函数。,二、画圈原则 1.圈越大越好（圈大，消去的因子多）。 2.圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。 3.同一个“1”小方格可以被圈多次。 4.每个圈中要有新的“1”。 5.画圈时，可先圈大，后圈小。 6.不要遗漏任何“1”的小方格；最后还要删除多余圈。,例如：用卡

14、诺图化简下列函数：,1.,1,1,1,1,1,1,2.,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3.,1,1,1,1,1,4.,1,1,1,1,1,1,1,1,或:,多余圈(删除),2.5.4 具有无关项的逻辑函数及其化简,一、无关项的含义及其表示方法 1.含义:包括任意项和约束项。 在2n个最小项中，那些对输出没有影响（称任意项）或不会、不允许出现的输入变量（称约束项）的组合所对应最小项，称无关项。它与函数值无关。 例如：8421BCD码中，10101111六种组合不允许出现，为无关项。 2.表示方法:,例如：,也可写成:,二、具有无关项的逻辑函数化简 1.无关项在卡诺图、真值表中的表示法: 用“”填写无关项，既可 当“”，也可当“0”。 2.画圈原则：1）圈中不能全是无关项；2）无关项可以不圈。,例如：用卡诺图化简下列函数：,1.,1,1,1,2.,1,1,1,1,1,本章小结,1.三种最基本的逻辑函数有与、或、非；复合逻辑函数有与非、或非、与或非、异或、同或等