3.1.3导数的几何意义 (2)

1、第三章 导数及其应用,3.1.3 导数的几何意义,P,相切,相交,再来一次,直线PQ的斜率为,PQ无限靠近切线PT,相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：,函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,例1、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。,解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线， 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。,当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线

2、l0平行 于x轴.,所以,在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有下降.,当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h(t1)0.,所以,在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.,(3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h(t2)0.,所以,在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.,与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.,例2、如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象。根据图象，估计t= 0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1),0,0

3、.2,0.1,0.4,0.6,0.5,1.1,0.7,0.3,1.0,0.9,0.8,0.2,0.1,0.4,0.6,0.5,1.1,0.7,0.3,1.0,0.9,0.8,t(min),c(mg/mL),解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。,作t=0.5处的切线,它的斜率约为0,所以,作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5,所以,因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时 变化率分别为0和-1.5.,求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：,(2)求平均变化率,(3)取极限,得导数,(1)求函数的增量,回顾,例3、某物体的运动方程为s(t)=5

4、t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t2s 时的速度.,解: 因为,从而,所以,例4、已知曲线 上一点 求：点P处的切线的斜率； 点P处的的切线方程,解: 点P处的切线的斜率即 在x=2处的导数.,因为,从而,所以,点P处的的切线方程,点P处的切线的斜率是4.,即直线,练习1、求曲线 在点M(3,3)处的 切线的斜率及倾斜角,斜率为-1,倾斜角为135,有,切线的方程为,注: 学了导数的运算后, 此类题有更简单的解法.,如果将x0改为x,则求得的是,被称为函数y=f(x)的导函数.,如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。称这个函数 为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作 ，即,小 结:,相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(