1.4二次函数的应用

1、,1.4.1二次函数的应用,数学浙教版 九年级上,21世纪教育网（)全国领先的中小学教育资源及组卷应用平台,1、二次函数y=ax2+bx+c(a0)何时有最大值或最小值？,2、如何求二次函数的最值？,当a0，x= 时，二次函数有最小值 当a0，x= 时，二次函数有最大值 ,配方法,公式法,用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？,想一想,例1、如图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形（如图）.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m)?,单位:m,图

2、,图,解:如图,设半圆的半径为x(m),窗框矩形部分的另一边长y(m), 根据题意,有5x+x+2x+2y=6,即y=3- (+7)x. y0，3- (+7)x0，解得0x + S,又= = + ，且 + 在0x + 的范围内， 当= + .时，S最大值= . 此时，y1.23,答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05m2.,二次函数求实际问题中的最值问题的解答,1、求出函数表达式和自变量的取值范围,2、通过配方或利用公式求最大值或最小值,注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。,现在我们来解

3、决课前想一想,用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？,解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，,= = + = + (0x ),当窗框的宽= ，窗框的长为 时，窗框的透光面积最大。 最大面积为 ,在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？,解：如图所示：AE=AH=CF=CG=x，BE=GC=6-x，BF=DH=10-x，四边形EFGH的面积为：,S=610- 1 2 x2- 1 2 x2- 1 2 (6-x)(10-x)- 1 2

4、(6-x)(10-x)=-2x2+16x，=-2(x2-8x)，=-2(x-4)2+32，故当x=4时，S最大为32,1. 用一条长为40 cm的绳子围成一 个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（ ） A20 B40 C100 D120 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 1 2 2 经过平移得到抛物线y= 1 2 2 2 ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（） A 2B4C8D16,D,B,3、如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点 （C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的

5、横坐标最大值为_,8,4.如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= 1 2 x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ,2k 1 2,5、某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一 辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高 度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？,解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2，-4.4）， 设这个函数为y=kx2将A的坐标代入，得y=- 1.1x2，E、F两点的横坐标

6、就应该是-1.2 和1.2，将x=1.2代入函数式，得y-1.6，GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门,6.现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A兰花；B菊花；C月季；D牵牛花(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式；求出此函数与x轴的交点坐标，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大，最大面积是多少？请在格点图中画出此函数图象的草图(提示：找三点描出图象即可),解: （1）由题意知，B场地宽为（30-x）my=x（30-x）=-x2+30 x当y=0时，即-x2

7、+30 x=0，解得x1=0，x2=30函数与x轴的交点坐标为（0，0），（30，0）自变量x的取值范围为：0 x30,（2）y=-x2+30 x=-（x-15）2+225，当x=15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2,草图（如图所示）,7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?,解：由4y+7x+x=15.得= 157 4 窗户面积S=2+ 2 2 =2 157 4 + 2 2 = 7 2 2 + 15 2 = 7 2 15 14 2 + 225 56,当x=1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积是 225 56 2,运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：,把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；,通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围内）； （或利用