微分方程模型.ppt

1、实际问题中的差分方程模型，对于现实世界的变化，人们关注的是变量间的变化率，或者是变化速度、加速度及位置的经时发展规则，其中的规则一般可以写出差分方程或方程式。 因此，在实际的问题中，有很多可以用差分方程制作数学模型的问题。 相关领域包括物理学、化学、天文学、生物科学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等(既有传统领域，也有新的非传统领域)。 本主题首先总结与差分方程模型有关的区域和常见摩德尔塔类型，接下来列举几个区域的典型示例。 不同领域的差分方程模型、一个社会和市场经济的差分方程模型、一个综合国力的差分方程模型、二个诱发投资和加速发展的差分方程模型、三个经济调整的差分方程模型、四个广告的差分

2、方程模型、五个价格的差分方程模型、二个军备竞赛的微分方程模型、三个战争的差分方程模型(3)战斗中的生存可能性的差分方程模型(4)战争的预测和评价模型、3人口和动物世界的差分方程模型(1)单种群模型及开发的单种群模型(2)弱肉强食模型(3)两种在同一生态货架上的竞争排斥模型(4)无管理的鱼类捕捞模型(5) 人口预测和联合特罗尔模型、4种疾病感染和诊断的差分方程模型(1)艾滋病流行的差分方程模型(2)糖尿病诊断的差分方程模型(3)人体内碘元素的差分方程模型(4)药物体内分布和排除模型、5自然科学微分方程式模型(1)人造卫星运动的微分方程式模型(2) 航空航天器翻滚控制的差分方程模型(3)非线性振动

3、的差分方程模型(4)PLC电路自激振动的差分方程模型(5)跟踪问题的差分方程模型，基于第一规律方程建立二、差分方程模型的常用方法，二微元分析法， 利用已知定理和规则来查找微元之间的关系式，与第一种方法的不同之处在于，对函数及其导函数不直接应用规则，而是对微元应用规则。 3仿真近似法在生物、经济等学科的实际问题中，很多现象的规定性不清楚，知道也极为复杂，建模时在不同的假设下仿真实际现象，制作可以近似问题的差分方程，用数学方法求解或分析，与实际情况比较验证该模型能否描述，三、求解差分方程解法、差分方程有三种方法：1)求精确解2 )求数值解(近似解)3)定性理论方法。 四、典型案例研究、问题：案例一

4、范围.梅格伦伪造名画案，二战比利时解放后，荷兰保安机构开始搜索纳粹分子分子的合作者，发现三流绘画家H.A.Vanmeegren成为17世纪，Van Meegren被捕他从不出卖荷兰的利益，所有的油画都声称是自己伪造的，为了证明这一点，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣。 他的工作快完成时，他知道有可能因伪造罪而被定罪，拒绝老化画面以免留下罪证。 为审理此案，法庭组织了化学家、物理学家、美术史学家等参与的国际专业小组，采用当时最尖端的科学方法，用x光透视等分析颜料成分，终于在一些画中发现了现代物质，如现代颜料钴蓝的痕迹。 如此伪造罪成立，Vanmeegren被判处1年徒刑。 1947年11月3

5、0日，他在监狱心脏病发作死亡。但是，很多人还不相信那幅侑预的名画是伪造的。 因为Vanmeegren在监狱里画的画真的品质不好，找理由也不能满足怀疑的人。 20年后，1967年，卡内基梅隆高等院校的科学家们用差分方程模型解决了这个问题。 萩名物理学家卢瑟夫指出，物质的放射性与现存物质的原子数成正比。 问题分析：设时刻t的原子数为N(t )，其中为物质的衰变常数，初始条件为一次常微分方程的初始值问题，其解从中求解，半寿期式为碳-14，这是问题的难度，间接决定的方法如下所示。 油画中的放射物质、白金属铅(金属铅的氧化物)是油画中的颜料之一，应用已有2000多年，白金属铅含有少量的金属铅(Pb210

6、 )和少量的镭元素(Ra226 )。 白金属铅由金属铅金属产生，金属铅金属溶解后从金属铅矿中提取。 当从位于放射性平衡态的矿山提取出白金属铅时，Pb210的大部分的电源被切断、Pb210和少量的镭元素再次处于辐射平衡时，Pb210的蜕变必须快速地进行蜕变，直到正好由镭元素的蜕变来补充。 下图是铀分裂的模式图，(1)镭元素的半寿期为1600年，我们只对17世纪的油画感兴趣，历时300多年，白金属铅中的镭元素至少有原量的90%以上，因此，白金属铅1克中的每一分钟的崩塌数可以看作是常数，用r表示。 建模： (2)钚的半寿期为138天，便于测定，金属铅210的半寿期为22年，对于待鉴别的300多年颜料

7、而言，可认为每克白金属铅钚的衰变数量等于金属铅210的衰变数量。 模型假设：设t时刻的每1 g白金属铅的金属铅210的数量为y(t )，制造时刻的每1 g白金属铅的金属铅210的数量。 金属铅210的崩溃常数油画中的金属铅210的含量，模型被解：这是一次线性微分方程的初始值问题，通过常数变换法的解，变形为测定分析和结论：测定结果如图所示，关于最初的画，各已知量由于金属铅210按每每一分钟克散摊子不合理，因此是冒牌货注：与上面的例子一样，考古、地质学等专门人才经常使用碳年代测定法(也取决于放射物质的性质)来估计文物和化石的年代。 代入计算，矿石中铀的最大含量为23%，白金属铅中的金属铅210每一

8、分钟衰变超过3万个原子，矿石中铀含量超过4%。 问题：案例2放射性废物的处理问题，美国核电源委员会在处理浓缩的放射性废物时，采用将其装入密封的滚筒扔到水深约91米的海底的方法。 对此，科学家们担心桶沉入海底时与海底冲撞破裂，有可能引起核污染。 核电源委员会辩解说不会发生这种事。 因此，工程师们进行了冲击试验，发现如果滚筒的下沉速度超过12.2秒冲击到海底，滚筒就有可能破裂。 像这样，为了不让滚筒破裂，有必要修正滚筒沉入海底时的速度。 已知桶的重量为239.456，体积为0.208立方分米，海水浮力为1025.94kg/立方分米。 因而，若滚筒的下沉速度小于12.2秒，则处理放射性废物的方法是安

9、全可靠的；否则，使处理放射性废物的方法无效。 多数实验表明，滚筒下沉时的阻力与滚筒的方位几乎无关，与下沉速度成正比，比例系数为0.12。美国核电源委员会能否判断过去处理浓缩放射性废物的方法是否合理，符号说明：w:桶重量，此处为239.456kgv:桶体积，此处为0.208立方分米B:海水浮力， 这里是1025.94v=213.396kgk:桶下沉时的阻力系数，这里是0.12 v:日元这里是kv t:桶从海面下沉的时间，单位是秒y (t ) :桶下沉到时刻t的深度，单位是米，问题分析和解决：桶下沉在本问题中，在F=W-B-D=W-B-kv、y(0)=0、v(0)=0的情况下，能够得到以下的差分方

10、程。 在求出函数y(t )后，求出滚筒落到水深91米的海底的时间，即满足y(t)=91的时间t1，并且求出能够以时间t1的速度获得问题点的解决方案。 这里的速度关系可以从求直接函数y(t )对t的导函数中得到。 syms t； 系统y； y=d求解(m * d2y k * dy-WB=0，y(0)=0，Dy(0)=0)，运行结果为y=-m/k2*exp k=0.12； w=239.456； m=w/9.8； 其中，重力加速度为9.8米/秒2 t=0:0.1:20。 y=-m/k2* exp (-k/m * t ) * (-WB )-(-WB )/k * TM * (-WB )/k2- 91 p

11、lot(t，y )，求解方程y(t)=91，先画一个图形，指令是，可见方程根接近t=13，为求解方程创建m文件：functiony=my0() k=0.12； w=239.456； m=w/9.8； y=-m/k2* exp (-k/m * t ) * (-WB )-(-WB )/k * TM * (-WB )/k2- 91 结果为t=13.204223061992241，t=f求解(my 0，13 )，并求出y(x )的导函数，其中，Matlab查询密码为b=1025。 k=0.12； w=239.456； m=w/9.8； 超时空要塞； y1=diff (-m/k2* exp (-k/m

12、* t ) * (-WB )-(-WB )/k * TM * (-WB )/kk修正计算的结果，桶沉入水深约91米的海底时的速度约为13.6361米/秒，由于该速度大于12.2秒，因此米因此，在t=13.204223061992241时的速度是v=13.636101129315506，问题：情况3弱肉强食差分方程模型在生活在相同环境中的各种生物之间进行残酷的生存竞争。 设想海岛，狐狸和野兔居住，狐狸吃兔子，兔子吃草，青青草这么丰富，兔子们吃的无忧无虑，所以大量繁殖兔子多了，狐狸容易吃，狐狸的量也增加，但是狐狸的数量增加，兔子大量吃就这样，兔子的数量交替增减，不断循环，形成生态的动态平衡。 如何

13、建立数学模型来说明和预测下一阶段的情况？ 变量说明：模型的各个意思，其中a，b，c，d都是正常数。 ()，x(t)t时刻兔数y(t)t时刻狐数，数学模型：ax表示兔的繁殖速度与现存兔数成正比。 bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度cy表示狐狸在同类的斗争中被吃掉的死亡速度与狐狸的总数成正比，dxy表示兔子相遇，有利于狐狸增加狐狸繁殖的速度。 这是意大利萩名物理学萩名生物数学家Volterra创造的差分方程模型，这是达尔文主义的数学表现，被称为Volterra-Lotka模型。 ()，这个问题的初始条件为模型求解和解析：系统的2个稳定点(特异点)为和，x(t)=0，求解问题()和()，如果没有其

14、解为y的狐狸，兔子将无限成长。x，y 0时，方程式()是可分离变量的方程式，积分得到解，两侧取指数，()，初始值时，方程式()证明了在xoy面上位于第一象限的一族的闭曲线。 因为、易证f(y )在中取极大值，同样g(x )在中取极大值，所以方程式没有x 0、y 0的解，有时方程式只有一个解，如果F(x，y)=g(x) f (y )，则F(x，y )。 这些个的闭合曲线不通过特异点s，因此可知从x(0)0、y(0) 0出发的轨道是周期性的，也就是说，函数x(t )、y(t )得到满足，这表示如果初期有兔子和狐狸的话，随着时间的经过会增加，有时也表示() 在模型()的情况下，可以用定积分修正的平均值。 由于上述平均值、可以同样地得到，结果发现，如果在开始时有兔子和狐狸，随着时间的经过，狐兔的数量周期性地变化，处于动平衡。 因此，即。 (但是，人类必须干扰作用