高三数学 棱柱、棱维、球教案同步教案 新人教A版

1、第九章 直线、平面、简单几何体（三）本讲主要内容棱柱、棱维、球学习指导1 通过这一讲内容的复习，加深对棱柱、棱维、球的几何概念、性质，直观图的画法等的理解记忆，掌握有关的体积，表面积计算公式，巩固第一部分所学的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，从而进一步培养我们的空间想象能力。2 棱柱与棱锥的性质（1）棱柱：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（2）棱锥：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面是相似的多边形，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。例题选讲例1斜三棱柱中，各棱

2、长都是a，（1）求证：侧面是矩形： （2）求点B到侧面的距离证明：（1）设在底，而ABC上的射影为O，连结AO，由已知，所以O是三角形ABC的外心。又AB=BC=CA 所以O是三角形ABC的垂心 所以 所以，因为所以，所以四边形是矩形。解（2）因为 所以B左侧面上的射影H即为三角形的中心，连结，在Rt中，即点B到侧面的距离为。注：（1）将柱体化为正四面体解决，比证明线面垂直要简洁；（2）在三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC上的射影为O（O在三角形ABC的内部）若PA=PB=PC，或者PA、PB、PC与底面成等角，则O是ABC的外心；若三侧面与底面成等角，或P到底面三边等距离，则O是ABC的内

3、心；若PA、PB、PC两两互相垂直，或有两组对棱互相垂直，则O是ABC的垂心。例2在三棱锥PABC中，已知AB=1，AC=2，的平分线AD=1，且棱锥的三个侧面与底面都成角。求：（1）三棱锥的侧面积 （2）三棱锥的高解：（1）设 则 又所以，即而，所以，所以所以 过P作平面ABC，连结AO、BO，过O作于E，连结PE，由三垂线定理可知；PE，所以为侧面PAB与底面ABC所成的角 即，又，而 同理可得：， 由得： （2）由得 在中，由余弦定理得： 三棱锥的各侧面与底面所成二面角相等。 点应是的内心 应是内切圆的半径 高 注：如果棱锥的各个侧面与底面成等角，容易证明：。例3如图所示，矩形ABCD所

4、在平面，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：平面平面PCD；（2）若二面角NMDC为，求AB的长。证明：（1）平面ABCD 是矩形 平面PAD取CD的中点E，连结NE、ME 是的中位线 又是矩形对边中点的连线 平面平面PAD 平面MNE 于是 连结PM、MC，易知 又 故平面PCD解（2）连AC交ME于O，则O是AC的中点 平面ABCD过O作于F，连NF，则 是二面角NDMC的平面角 ，易知所以，设DE=X，则 所以例4，如图，在正四棱柱ABCD中，底面边长为，侧棱长为，E，F分别是的中点，求证：平面平面证明：因为四棱柱ABCD，是正四棱柱，而AB=，所以，设AC交BD于O，则O是AC的

5、中点，所以设E、F分别是AB的中点，所以EF/AC，于是，设垂足为，在对角面中，因为，OB=1，所以，因为，所以，因为所以，即，这样已证得， 而EF与是平面内的两相交直线，于是平面，因为平面 所以平面平面注：在处理比较复杂的立几问题的，由于空间图形很难真实反映元素间的位置关系，因此，若把在同一平面内的一部分图形画在辅助的平面图形上，往往可以很容易地用平面几何方法来处理。例5在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PBA的重心，E，F分别是BC，PB上的点，且求证：（1）平面GEF平面PBC；（2）GE是PGBC的公垂线。证明：（1）因为，所以PA平面PBC，连结BG并延长交PA于M，因

6、为G是三角形PBA的重心，所以，又因为，所以，所以GF/PA，所以GF平面PBC，所以平面GFE平面PBC，（2）取EC的中点D，连结FD，因为，所以FD/PC，由PC=PB得FD=FB，E是BD的中点，所以因为平面PBC，所以EF是GE在平面PBC内的射影，于是GE，取FB的中点N，连GN，因为G是三角形PAB的重心，设，于是，所以GN/QB，所以QB，于是NGPQ，NE/PC，PC平面PAB，所以NE平面PAB，因为NG是GE在平面PAB内的射影，所以GEPQ，因此，GE是PG和BC的公垂线。例6过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a。（1） 求二面角BPCO的大小；

7、（2）求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。解：（1）连结AC，BD，因为PA平面ABCD，BDAC，所以由三垂线定理知：BDPC，在平面PBC内，作BEPC，E为垂足，连结DE，得PC平面BED，从而DEPC，即角BED是三面角BPCD的平面角，在RtPAB中，由PA=PB=O得，PB，因为PA平面ABCD，BCAB，所以由三垂线定理得：BCPB，所以，在RtPBC中， 同理可得，在三角形BDE中，由余弦定理得所以=120，即二面角BPC的大小为120。（2）过P作，则PQ在平面PAB内，因为AB/CD，所以PQ/CD，PQ在平面PCD内，所以平面PAB与平面PCD的交线为PQ，因为PA

8、AB，所以PAPQ，因为PA平面ABCD，CDAD，由三垂线定理的逆定理得CDPD，所以PDPQ，所以是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，因为PA=AB=AD，因为，即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45。注：第（2）题中辅助线PQ是根据三个平面PAB，PCD，ABCD两两相交得到的三条交线，其中两条交线AB、CD互相平行，所以第三条经过P点的交线也必须和AB、CD平行而设计添加的。如果将原图补成如下图所示的正方体ABCDPQRS，那么本例的解题途径将能更简捷地得到，这种补形法是解决空间问题的一种重要方法。巩固与练习一、 选择题1若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧棱与底面所成角的

9、余弦值为 （ ）A B已知正三棱锥的一个侧面与底面面积之比是，则此三棱锥的高与斜高之比是 （ ）A若侧面都为直角三角形的正三棱锥的底面边长为a，则它的全面积等于 （ ）A在正三棱锥EFG中，已知底面边长EF为a,侧棱长为b，过PE、PF、FG的中点作一截面，则此截面面积等于（ ）A，其中已知正本棱锥的底面边长为a，且侧面都是直角三角形，则它的全面积等于（）在棱锥pABCD中，已知底面ABCD是正方形，两侧面PAD.PDC垂直于底面，另两个侧面与底面都成角，且最长的侧棱长为15，则此棱锥的高等于 （ ）A12 B侧面为正三角形的正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为 （ ）A若一个正四棱锥的

10、中截面面积是Q，则它的底面边长是 （ ）A一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都为，若此棱锥的底面面积为S，则已的侧面积等于 （ ）A10若正六棱锥的底面边长为2，高为1，则其顶点到底面各边的距离等于 （ ）二、 填空题11在正三棱锥中（1）若底面边长为，侧棱长为2，则其高是 ；（2）若侧棱长与底面边长之比为2：3，则高与斜高之比等于 ；（3）若底面边长为a，侧棱与底面所成的角是，则斜高等于 ；（4）若棱长都是a，则以各侧面中心为顶点的三角形面积等于 ；（5）若侧棱长为cm，底面边长为2cm，则侧面与底面所成二面角的正弦值为 。12（1）已知四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PB

11、垂直于底面，并且PB=，则的正弦值等于 ；（2）若正四棱锥的底面积为Q，侧面积为P，则侧面与底面所成的角的余弦值等于 ；（3）已知正四棱锥的侧棱与底面成角，则此四棱锥的两个相邻侧面所成二面角的余弦值等于 。二，解答题。13在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2a的菱形，PA平面ABCD，且，求：（1） 平面PBD与底面ABCD所成的角； （2）点A到平面PBD的距离。14在长方体AC中，AB=BC=4，O为底面的中心，点E为棱的中点。（1） 求二面角EABO的大小；（2）求异面直线AB与E所成角的大小；（3）求三棱维ABE的体积。15.已知正四棱锥PABCD各条棱长均为13,M、N分别为

12、PA与BD上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8,(1) 求证直线MN平面PBC;(2) 求线段MN的长;(3)求异面直线MN与AD所成的角的大小(用反三角函数表示).16、四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，侧棱长为b(0a ),上底一个顶点A1与下底面四个顶点等距离。（1）求证：两个对角面一个是矩形，一个垂直于底面，且两个对角面互相垂直；（2）求两对角面的面积。17如图，四棱锥ABCD的底面是正方形，侧棱SA底面ABCD，截面AEKHSC.求证：E、H在以AK为直径的圆上.18斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA1和AB、AC都

13、成45的角，求棱柱的侧面积和体积.19（本题满分12分）如图在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两互F相垂直，E、F分别是AB、AC的中点.求平面BCD与平面EFD所成二面角的正切值.参考答案1D； 2；（）；（）：（）（）（）（）（）（）（）（）15.（1）证明：作ME/AB交PB于E，作 NF/DC 交BC 于F16.解：（1）作A1O底面ABCD , O为垂足17（1）证明：SA底面ABCD，底面ABCD是正方形，BC侧面SAB，AE侧面SAB，AEBC，又SC截面AEKH. AESC，AE侧面SBC，AEKE，同理AHHK.A、E、K、H四点共同，且AK是圆的直径.18解：如图，过B作BMAA1，垂足为M，连结CM. 侧棱AA1和 AB、AC都成45，AMBCMA，CMAA1，于是截