高三数学一轮 4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用导学案 理 北师大版

1、4.4函数y=Asin(x )的图像和应用2014高考会就这样测试了1 .调查函数y=Asin(x )的图像变换。 2 .结合三角恒等变换调查y=Asin(x )的性质和应用。 3 .查看所提供图片的解析式复习备注1 .掌握“五点法”的情节，掌握函数y=Asin(x )的图像特征2.3种图像变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y=Asin(x )的性质。在用1.5点法描绘y=Asin(x )的1个周期内的概略图的情况下，寻找5个特征点。如下表所示xx 02y=Asin(x )0a0-A02 .通过对具有y=sin x的函数的图像进行转换获得具有y=Asin(x )的图像的过程如下：3 .图像

2、对称性函数y=Asin(x ) (A0，0 )的图像即使轴对称也是中心对称图形，具体如下。与直线x=xk (其中xk =k，k-z )相关联地，函数y=Asin(x )的图像成为轴对称图形。(2)函数y=Asin(x )的图像关于点(xk，0 ) (其中xk =k，k-z )成为中心对称图形。4 .三角函数模型的应用(1)从图像制作解析式，或者从解析式制作图像(2)将实际问题抽象化为关于三角函数的单纯函数模型。(3)用收集的数据制作散布图，根据散布图进行函数拟合，得到函数模型难点原本疑点清源1 .制图时应注意的两点(1)制作函数图像时，首先确定函数的定义域(2)对于具有周期性的函数，如果首先求

3、出周期，在制作图像时制作1个周期的图像，则能够周期性地根据化学基制作函数整体的图像。2 .图像转换的两种方法的差异在利用图像变换来从y=sin x的图像变换成函数y=Asin(x )(A0，0) (xR )的图像的情况下，在周期变换与相位变换的优先位次不同的情况下，特别能够对原图像的沿x轴的伸缩量的差异进行留心1 .如果已知简并性运动f(x)=2sin (| )的图像通过点(0，1 )，则该简并性运动的最小正周期t和初相分别为答案6分析从题意中得知1=2sin ，另外|，=； 该函数的最小正周期是T=2=62. (2012浙江)将函数y=cos 2x 1的图像上所有点的横坐标延伸到原始的两倍(

4、纵坐标不变)，然后向左位移1个单位长度，并且进一步向下位移1个单位长度，使得图像为()答案a解析y=cos 2x 1y=cos x 1y=cos(x 1) 1y=cos(x 1)。配合选项就知道应该选a3 .假设(2011大纲全国)函数f(x)=cos x (0 )，并且在将y=f(x )的图像向右移位单位长度之后，如果所获得的图像与原始图像重叠，则的最小值为()A. B.3 C.6 D.9答案c从题意可以看出，分析是nT=(nN* )，n=(nN* )、=6n (nN* )，在n=1时，取最小值6。4 .当将函数y=sin的图像向右移位一个单位并且将所获得的函数图像上的各个点的横坐标缩短到原

5、始坐标时，所获得的函数解析式变为()a.y=单位，y=单位c.y=单位，y=单位答案d将原函数图像向右移动1个单位，对得到函数y=sin=sin的图像进行分析，进一步将得到的函数图像上的各点的横坐标缩短为原坐标，得到函数y=sin的图像.5 .根据权利要求1所述的图像处理装置，其中，简并性定运动f(x)=Asin(x ) (| )的部分图像如图所示简并性运动的最小正周期t和初相分别为()A.T=6、=B.T=6、=C.T=6、=D.T=6、=答案c分析从图像中容易理解的A=2，T=6，=、另外，超过(1，2 )点，sin=1，2 k，k-z，还有|，问题型1函数y=Asin(x )的图像和变换

6、例1已知的函数y=2sin，(1)求出其振幅、周期、初相(2)使用“五点法”制作其一个周期内的图像(3)关于3)y=2的sin的图像，说明y=sin x的图像经过怎样的变换而得到。思考启发： (1)可以用振幅、周期、初相的定义来解决(2)五点法作图，关键是找出与x对应的五点(3)只要看谁转换谁得到就可以了解(1)y=2sin的振幅A=2、周期T=，初相=。假设X=2x，则X=2x合计=2合计x。制作清单，画图像x-x02y=真实x010-10y=2单位020-20(3)将方法y=sin x的图像上的所有点向左错位1个单位，得到y=sin的图像，进而将y=sin的图像上的各点的横坐标缩短为原来的

7、倍数(纵坐标不变)，得到y=sin的图像，最后得到y=sin上的所有点的图像方法将y=sin x的图像上各点的横坐标x缩短为原来的倍数，纵坐标不变，获得y=sin 2x的图像，然后将y=sin 2x的图像向左移位1个单位，获得y=sin 2=sin的图像。 进而，将y=sin的图像上的各点的横坐标原样保持，将纵坐标延长为原来的2倍，得到y=2sin的图像(1)提高三角函数图像的基本方法是五点法，该方法在制作一个周期的概略图后，将两端拉伸，留心应该显示整个定义域的图像。 (2)根据变换法的图像制作的要点是看在x轴上先平行移动并伸缩，还是先伸缩并平行移动，对于后者，可以利用x =来决定平行移动单位

8、。已知函数f(x)=3sin，x-r。(1)描绘函数f(x )的长度为1周期的闭区间中的概略图(2)如何转换函数y=sin x的图像可以得到f(x )的图像？解(1)表取值xx-02f号驱逐舰030-30画五个牛鼻子用光滑曲线连接，得到一个周期的概略图(y=sin x的图像向右移位一个单位，然后所有点的横坐标扩大为原始坐标的两倍，并且所有点的纵坐标扩大为原始坐标的三倍，从而获得f(x )的图像。求问题型二函数y=Asin(x )的解析式例2 (1)(2011江苏)为f(x)=Asin(x ) (A、为常数、A0，0 )的部分图像如图所示，则f(0)的值为在图中表示(2)(2011 )已知函数f

9、(x)=Atan(x )(0，| )、y=f(x )的部分图像时，f ()相等甲级联赛。C. D.2-思考启发： (1)根据最高点和邻接最低点的相对位置决定周期，通过未定系数法求(2)把“x”作为整体放入单调的区间进行解答答案(1)、(2) b从解析(1)问题图中可以看出A=、=-=、T=，=2。2 k、k-z、和2 k。如果k=0，则=.函数解析式为f(x)=sin，f (0)=单位=。从(2)图形可以看出，T=2(-)=，=2。从二、k-z中得到二、k-z。此外，还可以选择：我知道A=1，f(x)=tan(2x )。f()=tan(2 )=tan=。从y=Asin(x ) k的图像中探讨求

10、解析式的问题，主要从以下4个方面考虑。A的确定：图像的最高点和最低点，即A=；k的确定：图像的最高点和最低点，即k=；的确定：结合图像，求出周期t后，用T=(0 )确定。的确定：函数y=Asin(x ) k首先将与x轴的道路交叉口(最接近原点)的横坐标设为- (即x =0，x=-)来确定。已知函数f(x)=Asin(x ) (A0，|，0 )的图像的部分函数的解析式是，如图所示。答案f (x )=2单位当分析所观察的图像时，A=2并且点(0，1 )位于主图像上此外，函数的零点是图像通过x轴形成的零点，也就是=。问题型三角函数模型的应用例3图为缆车的示意图，该缆车半径为4.8米，为圆上最低点和地

11、面的距离为0.8米，每60秒旋转一次，图中的OA与地面垂直，以OA为起点，逆时针从角旋转到OB，b点和地面之间的距离为h。(1)求h和的函数关系式(2)从OA开始旋转，经过t秒到达OB，求出h和t的函数关系式，求出该缆车第一次到达最高点的时间通过解(1)点o地面的线面平行ON，通过点b on的垂线BM on在点m (图)，在的情况下，BOM=-、h=OA BM 0.8=5. 6四点八分。在0的情况下，上式也成立。h和之间的函数式是h=5.6 4.8sin。(2)点a在圆上旋转的角速度为弧度/秒旋转t秒的弧度数为t，h=5.6 4.8sin，t-0，)。第一次达到最高点时，h=10.4米即sin

12、=1，t-=、即t=30秒，这条索道首次达到最高点本问题旨在探讨提高三角函数模型的应用，通常的解决方法：转换为y=sin x，y=cos x等函数解决图像、最大值、单调性等问题，用体现了化归思想方法的三角函数模型解决实际问题主要有两个：一个是用已知模型分析实际问题另一个是建立精确或数据拟合的模型来解决问题，特别是利用数据拟合函数来解决实际问题如图所示，某个夏天814点的耗电量变化曲线近似满足函数y=Asin(x ) b，(0，)。(1)求出当天的最大耗电量及最小耗电量(2)写出该曲线的函数解析式解(1)最大耗电量为50万度，最小耗电量为30万度(2)观察图像可知，814时的图像是y=Asin(

13、x ) b的半周期的图像。A=(50-30)=10，b=(50 30)=40。=14-8=，=，y=10sin 40。如果将x=8，y=30代入上式，求的解析式是y=10sin 40，x- 8，14 。利用三角函数的性质求解析式典型例： (12点)图是y=Asin(x )的图像的一段。(1)求其解析式当通过将具有(y=Asin(x )的图像向左位移一个单位长度获得y=f(x )时，获得f(x )的对称轴方程式。审查问题的视角(1)图像可以看作y=Asin(x )的图像即第2个零点规范解答从解(1)图像中A=、将m设为第1个零点，将n设为第2个零点。解联立方程式的分数4分求的解析式是y=sin.

14、6分(2)f(x)=sin=sin，8分假设2x-=k(kZ )，则x= (kZ )，十分f(x )的对称轴方程式是x= (kz )。第一步：基于图像的第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点步骤2 :将“x”作为一体，找出对应的值第三步：解方程第四步：写求出的函数解析式第五步：反思回顾，看重点、易错点及解答规范温暖注意(1)求函数解析式时，寻找准图像中的“五点”，利用方程式求、。 (2)讨论性质时将x 视为一体。方法和技巧基于1.5点法的函数图像及函数图像转换问题(1)明确了函数图像的基本特征之后，“画法”是制作函数图像的快捷方式。 使用“五点法”制作正、侑弦型函数图像时，应该取5个特殊的

15、点，注意曲线的凹凸方向(2)在进行三角函数的图像变换时，提倡“先平行移动，后平行移动”，但“先伸缩，后平行移动”也总是出现在主题中，所以无论是什么样的变形，各个变换总是对于文字x来说，即图像变换必须看到“变量”2 .根据图像来确定函数解析式从函数y=Asin(x )的图像中确定a、的问题类型，总是以“五点法”的第一零点为突破口，从图像的升降状况中寻找第一零点的位置。 要善于抓住特殊量和特殊点。3 .对称性问题函数y=Asin(x )的图像和x轴的各升交点成为其对称中心，通过该图像上的坐标(x，a )的点和与x轴垂直的各直线成为该图像的对称轴，这样的最近傍点间的横坐标的差的绝对值成为半个周期(或2个相邻平衡点之间的距离)失误与防范从具有函数y=sin x(xR )的图像进行转换来获得具有函数y=Asin(x )的图像。 在具体问题中，可以在变换后进行伸缩变换，也可以在变换后进行平移变换，