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1、第六节 第二型曲面积分,一、曲面的侧,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,当曲面的法向量 指向朝上，就认为曲面取上侧；,当曲面的法向量 指向朝外，就认为曲面取外侧；,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,Mobius 带,典型单侧曲面:,播放,.,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型

2、单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,1.分割,记该点流速为,法向量为,2. 求和,3.取极限,设有向曲面S在xoy面上的投影（S)xy， 规定：,因此,三、概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,物理意义: 流向曲面的流量,性质:,四、计算法(投影法),注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,(一投二代三定号),解,自己做: 设是球面 x2y2z2R2，取内侧，则,C,五、两类曲面积分之间的关系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,解,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,思考题,思考题解答,

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