02 地图数学基础

1、第二章，地图的数学基础，地图投影的判别与选择，高斯-克鲁格投影及其应用，地图定位，地图投影的基本概念，地图比例尺，地图帧数，1地图投影的基本概念，3，1。地图投影的定义和本质，定义：由于球体上任何一点的位置都是用地理坐标(，)表示的，而该点在平面上，这种建立球体与平面之间点的对应函数关系的数学方法称为地图投影。1.地图投影的定义和本质：地图投影的本质是按照一定的数学规则将地球椭球面上的经纬度网络转移到平面上，并建立球面上的点与平面之间的函数关系，可以表示为：5，2。地图投影的基本方法，可概括为几何透视法和数学分析法。投影法、几何透视法、数学分析法、(1)、(2)、第二，地图投影的基本方法，(1

2、)几何透视法几何透视法是一种利用透视将地球表面上的点投影到投影平面上的投影方法。2.地图投影的基本方法。数学分析方法数学分析方法是建立球面和投影面之间的点与点之间的函数关系，用数学方法确定平面上的坐标网络的投影方法。几何透视法是一种相对原始的投影方法，具有很大的局限性，很难校正投影失真，且精度较低。因此，目前大多数地图投影采用数学分析方法。(1)地图投影变形的概念地图投影的方法有很多，但不同投影方法得到的经纬网有不同的形式。几条经纬线的不同投影；9.地图投影变形；2.变形椭圆图的投影变形随位置不同而变化，变形椭圆能很好地解释投影变形。变形椭圆是指地球椭球面上的一个小圆，投影到地图平面上后变成椭

3、圆，尤其是圆。10，实验：投影变形图，11，变形椭圆，12，地图投影变形，(3)长度比和长度变形长度比：指投影平面上的微分线段ds和椭球面上相应的微分线段ds之间的比值。长度变形v:指投影平面上的微分线段长度ds与椭球面上对应的微分线段长度ds之差与微分线段长度ds之比。十三三。地图投影的变形，(4)极限长度比和主方向(1)极限长度比在某一点上，所有方向的长度比是否相同？因此，只研究了特定方向上的一些长度比：最大长度比A(变形椭圆长轴方向上的长度比)、最小长度比B(变形椭圆短轴方向上的长度比)、经度长度比M和纬度长度比N.最大和最小长度比统称为极限长度比。14，3。地图投影变形，(4)极端长度

4、比与主方向，(1)极端长度比在经纬线投影后不正交，如果交角为0，则经纬线长度比m和n与最大和最小长度比a和b之间存在以下关系：15，3。地图投影变形，(4)极限长度比和主方向，(2)主方向主方向长度比是极限长度比、最大值和最小值。16，3。地图投影的变形，(5)面积比和面积变形，(1)投影面上的面积比与微分面积的比值，以及椭球面上相应的微分面积的比值。p是一个变量，它随不同的点而变化。它是一个正数1，=1，1，仅用于指示在缩小和投影某个区域后，该区域是增加还是减少。17，3。地图投影变形，(5)面积比与面积变形，(2)面积变形是(dF-dF)与dF之比，面积变形用VP表示，面积变形表示面积变形

5、的程度，是衡量面积变形的一个相对指标。它是一个0，0，0的数字，通常用百分比表示。例如，V，18，3。地图投影的变形(6)角度变形穿过投影平面上某一点的任意两条方向线与椭球面上相应两条方向线之间的角度差(-)称为角度变形。在某一点上，有无数的角变形值。通常，在研究角变形时，不可能也没有必要研究每个角变形的数量，而只能研究最大角变形。19，3。地图投影变形，(7)标准点、标准线和等变形线标准点：地图投影面上无任何变形的点，即投影面与地球椭球面之间的切点。离标准点越远，变形越大。等变形线：指投影平面上变形值相等的点的连线。标准线：指地图投影面上没有任何变形的线，即投影面与地球椭球面相切或相交的一条

6、或两条线。离标准线越远，变形越大。20，3，地图投影变形，标准线，21，3，地图投影变形，(7)标准点，标准线和等变形线，标准线的分类，22，4，地图投影分类，根据美国著名地图投影师斯奈德的统计，世界上有256种地图投影，根据不同的目的和要求，分类1:基于投影变形的分类；分类2:基于投影面和球面相对位置的分类；分类3:基于投影方程的分类；分类4:基于投影方法的分类。23，4。地图投影的分类，(1)根据变形性质分类，地图投影，等距投影，等积投影，任意投影，(1)、(2)、(3)、24、4。地图投影分类，(1)共形投影特征：角变形为零。在小范围内，投影图形与实际图形相似，所以等距投影也称为共形投影

7、。25，4。地图投影的分类，(1)等距投影，26。然而，应该注意的是，尽管在一个点上的等距投影的长度比在任何方向上都是相等的，但是在不同点上的长度比是不同的，也就是说，在不同位置上的变形椭圆具有不同的尺寸。4.地图投影的分类，(1)等距投影，27。因此，从更广的角度来看，投影图与实际形状并不完全相似。除标准点和线外，其他地方的所有圆都有面积变形，且面积变形较大。等距投影，适用性：等距投影无角度变形，便于在地图上测量方向和距离，因此常用于编制海图、海流图和风向图。地图投影分类，(1)根据变形性质分类，地图投影，等距投影，等积投影，任意投影，(1)、(2)、(3)、29、4，地图投影分类，(2)等

8、积投影概念：特征：面积变形等于零。除了标准的点和线，变形的椭圆在任何地方都被描述为椭圆，并且面积比是一致的，保持地面物体的面积不变。30，4。地图投影的分类，(2)等投影在等投影的不同点，变形椭圆的长轴不断拉长，短轴不断缩短，导致大角度变形和图形轮廓形状的巨大变化。地图投影的分类，(2)等投影的适用性：由于等投影没有面积变形，可以对地图上的面积进行比较和测量，所以常用于编制对面积精度要求较高的自然地图和社会经济地图，如地质图、土壤图、行政区划图和土地利用图。32，4。地图投影的分类，(1)根据变形性质分类，地图投影，等距投影，等积投影，任意投影，(1)、(2)、(3)、33、4。地图投影的分类

9、，(3)任意投影特点：角度变形：等积投影；面积变形：等距投影；这是一个适度变形的投影。34，任意投影的特例：等距投影，指沿变形椭圆的一个主方向没有长度变形的投影，但这并不意味着该投影没有长度变形。等距投影，适用性：任意投影主要用于具有中等投影变形要求或大面积的地图，如教学地图、科学参考地图、世界地图以及需要单向等距属性的地图，如交通地图和时区地图。36，具有不同变形属性的地图投影的比较，理论上，在等距投影中，椭球上的小圆被投影为不同大小的圆；在等积和任意投影中，椭球上的小圆被投影成不同形状的椭圆。投影后，地图上的长度变形、面积变形和角度变形相互关联，相互影响。37.比较不同变形属性的地图投影，

10、示例，结束，4。地图投影的分类，(2)按投影、地图投影、几何投影、条件投影的合成方法分类，(1)、(2)、(1)几何投影是指将经纬度网直接投影到椭球面上或在几何面上有一定条件的情况下，再将几何面展开成平面而得到的一种投影，包括方位投影、圆柱投影和圆锥投影。几何投影，方位投影，圆柱投影，圆锥投影，多圆锥投影，40。地图投影分类，方位投影概念：它是以平面为投影平面，使平面与椭球相切或相切，并将球面上的经纬度网络投影到平面上形成的投影。因为投影中心的方向与球体上的实际方向相同，所以称为方位投影或前向投影。地图投影的分类和方位投影的分类：根据平面和球面的位置，可以分为三种类型：正轴、横轴和斜轴(下图)

11、。地图投影的分类，正轴方位投影的变形分布规律：平行线为同心圆；子午线是从圆心辐射出来的直线。离切点或割线越远，变形越大。割线外侧的变形为正，而内侧的变形为负。地图投影的分类，方位投影的经纬网示例：地图投影的分类，柱面投影的概念：以柱面为投影平面，使柱面与椭球面相切或相切，将球面上的经纬网投影到柱面上，然后将柱面展开成平面投影。地图投影分类和柱面投影分类：根据柱面和球面的位置，可分为三种类型：正轴、横轴和斜轴。地图投影的分类、法向轴圆柱投影的变形分布规律：各种变形都是纬度的函数，无论经度如何，等变形线都与纬度线平行，切线或割线都没有变形，大与小，大与小，大与小，小与小，47，4。地图投影分类、圆

12、锥投影概念：以圆锥表面为地图投影分类和圆锥投影分类：根据圆锥和球体的位置，可分为三种类型：正轴、横轴和斜轴。地图投影的分类，正圆锥投影的变形分布规律：各种变形都是纬度的函数，等变形线是与经度无关的平行的纬度直线，呈同心圆弧分布，切线或割线不变形，地图投影的分类，多边形投影的概念：将几个大小不同的同轴圆锥表面作为投影面，在地球表面某一所需的纬度线上切割， 分别投影，将球面上的经纬网投影到锥面上，然后沿公共母线分割成一个平面，并沿中心加入每个投影生成的经纬网地图投影分类，多圆锥投影，地图投影分类，地图投影，几何投影，条件投影，方位投影，圆柱投影，圆锥投影，多圆锥投影，地图投影分类，(2) 4。地图

13、投影的分类(2)条件投影是在方位、圆锥和圆柱投影经纬度网格的基础上，根据一定条件进行改进的投影。条件投影，伪方位投影，伪圆柱投影，伪圆锥投影，55，内容略，请看书！注意：每个投影都有自己的特点，所以它有不同的应用范围。我们需要根据图纸要求选择最合适的投影。增刊，56，中国地图投影系统，57，国家地图：正圆锥投影，地形图：高斯-克鲁格投影，海洋地图：等轴圆柱投影，中国地图投影系统，大比例尺：高斯-克鲁格投影；中小尺度：兰伯特投影。中国基本比例尺地形图(1:1万、1:5万、1:25万、1:10万、1:5万、1:25万、1:1万和1:5000)除1:1万外，均采用高斯-克鲁格投影，中国1:100万地

14、形图采用兰伯特投影，其分幅原则与国际100万一致，58，地理信息系统与地图投影的关系，地图投影渗透到地理信息系统建设的各个阶段和方面：59，Over，2，地图投影的判别与选择，60，1，地图投影的判别，概念：利用地图投影的知识，根据不同投影的特征经纬度形状，结合地理位置、轮廓形状和地图内容及用途，综合分析、判断并做出必要的测量。什么？1.地图投影辨析。辨别对象：主要是小比例尺地图。大比例尺地图通常属于国家地形图系列，投影数据一般容易找到。判别方法：一般来说，投影系统是根据经纬网的形状来确定的，如方位、圆柱、圆锥等。其次，确定投影的变形性质，如等角投影、等积投影或任意投影。62，1。地图投影辨析

15、，1。投影系统的确定，可以通过辨别经纬线的形状来确定。判断经纬线形状的方法如下：直线：只要用尺子测量就可以确定；圆弧：可以用透明纸覆盖曲线，沿曲线以一定的间隔设置三个以上的点，然后沿曲线移动透明纸，使这些点位于曲线的不同位置。如果这些点处处与曲线一致，则证明该曲线是圆弧，否则就是其他曲线；(点法)同心弧和同轴弧：可以测量相邻弧之间的垂直距离。如果它们在任何地方都相等，它们就是同心弧，否则它们就是同轴弧。(直线法)，63，1。地图投影的判别。投影变形性质的确定，在确定投影类型后，更容易判断一些投影的变形性质。例如，如果已确定为圆锥投影，则只能通过测量从投影中心到南北的纬度距离的变化来判断变形特性：等距投影、等积投影、等距投影、64、1。地图投影的判别。确定投影的变形属性，其中一些可以从经纬网形状的分析中看出，例如，经纬线不