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高 等 数 学 (上),第四章 不定积分,第四节 几种特殊函数的不定积分,有理函数：两个多项式的商表示的函数 .,一、有理函数的积分,称为真分式；,称为假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,把有理函数的积分化成一个多项式和一个 真分式积分之和.,关键：将真分式化为部分分式之和.,由代数学里的部分分式定理知：,1）分母中若有因式 ，则分解后为,例如,2）分母中若有因式 ,其中,则分解后为：,其中Ai , Bi 都是常数 ( i 1 , 2 , ),定理1 有理函数的原函数都是初等函数.,例1,（待定系数法）,1）分母中若有因式 ，则分解后为,2）分母中若有因式 ,则分解为：,因此,只要求出四类积分.,例2,由,得 ， ， .,所以,例3,得,因此,例4 求,可求得,例5,注意 一般的方法不一定是最佳的方法, 故有理式 的积分应先考虑其它方法, 不得已时才用一般方法计算.,三角函数有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，一般记为 .,二、三角函数有理式的积分,因为,因而,若令 ，则,（称为万能代换）,定理2 三角函数有理式的原函数都是初等函数.,讨论类型,解决方法：作代换去掉根号 .,三、简单无理函数的积分,例8,解 令 ，则,所以,原式=,

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