3.2.1常见函数的导数.ppt

1、如果函数f(x)在时x=x0时，导数f (x0)对应着一个确定的数，,当x变化时， f (x) 便是x的一个新的函数，我们把这一新函数叫做f（x）的导函数，记作,或,注：导函数也简称为导数,导函数,例 求,由定义求导数（三步法）,例,解:,即,y,x,2、由定义求导数（三步法）,步骤:,练习：已知函数y= 的导数f (x)，,并求y|x=2,解：,y|x=2 =,练习：已知函数y= 的导数f (x)，,并求y|x=2,3.2.1 常见函数 的导数,问题: 用导数的定义求下列各函数的导数： (2)f(x)=kx+b(k,b为常数）,f(x)=(kx+b)=k,f(x)=(c)=0,几种常见函数的

2、导数,-2,-2,0,1,0,1,1、常数函数：,2、一次函数：,特别：,练习:,问题: 用导数的定义求下列各函数的导数：,.f(x)=x2,.f(x)=x3,3.幂函数:,1,P 1114,例1：求下列函数的导数,解：,例2:,4、三角函数：,几种常见函数的导数,例3.求下列函数的导数,公式五:指数函数的导数,公式六:对数函数的导数,例4.求下列函数的导数,例4.求下列函数的导数,注意:关于 是两个不同的函数,例如:,求过曲线y=cosx上点P( ) 的切线的直线方程.,例5,求过曲线y=cosx上点P( ) 的切线的直线方程.,例5,例6 (1)求过点P(2,4)且与曲线y=x2相切的直线

3、方程. (2)求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.,注意判断点P是否在曲线上, 点P在或不在曲线上,切线方程求法不同,解(2) 设所求切线的切点在A(x0,y0).,因为A是曲线y=x2上的一点, 所以y0=x02 .,又因为函数y=x2的导数为,由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为,联立,解得:,所以在A(x0,y0)处切线的斜率k=,.,所以切点分别为(1,1)或(5,25).,当切点为(1,1)时,切线的斜率为k=2x0=2;,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k=2x0=10;,所以所求的切线有两条,方程分别为: y-1=2(x-1)或y-

4、25=10(x-5),故切点分别为(1,1)或(5,25).,当切点为(1,1)时,切线的斜率为k=2x0=2;,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k=2x0=10;,所以所求的切线有两条,方程分别为: y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即2x-y-1=0或10 x-y-25=0.,练习：求过点P(2,0)且与曲线y= 相切的直线方程,若直线y=4x+b是函数y=x2图象的切线,求b以及切点坐标.,例7,若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1 ,由,得3x0+1=ax03

5、,所以a(-1/2)2=1,即:a=4,例8,y0=ax03 ,3ax02=3. ,由得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=1/2.,1、求下列函数的导数,练习:,常见函数的导数,1、常函数：,2、一次函数：,3、幂函数：,4、指数函数：,特别：,特别：,特别：,5、对数函数：,6、三角函数：,特别：,特别：,例:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 距离等于 ,求直线m的方程.,设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:,故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.,1求下列函数的导数：,作业:,3. 若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,O A x,M P,y,例:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度.,解:时刻t时,因为角速度1rad/s, 所以 .,故点M的运动方程为:y=10sint.,故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.,例:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.,解:设存在一个公共点P(x0,y