量子力学11.2.ppt

1、上次课复习,对含时Hamilton体系，有,则,含时微扰论的一级近似解为,有简并的情况下跃迁几率为,前面学习了量子跃迁和含时微扰，下面我们研究-,11.3 量子跃迁理论与不含时微扰论的关系,一、不含时微扰论所处理的两类问题,上学期我们学习了微扰论。仔细分析一下， 发现这种微扰论实际上处理两类问题,1. 纯粹是求能量本征值问题的一种技巧,即人为地把H分成两部分， ，其中 的本征值问题已有解或容易求解。然后 逐级把 的影响考虑进去，以求得 的更为精确的解,例如，Stark效应、Zeeman效应等。,在此过程中， 实际上是随时间变化的。但 人们通常仍用不含时微扰论，即定态微扰论 来处理。,2. 真正

2、加上了某种外界微扰。,这样做是否合理？我们分析一下。,式中参数 表征微扰加 进来的快慢。 表示 微扰无限缓慢地引进来。 的变化如右图所示：,设,1) 长时微扰,设 时体系处于 的非简并态 ，按微 扰论一级近似公式,时刻体系跃迁到 态 的波幅为,利用初始条件,来自,及前面所给公式,上式右边第一项是 的非简并本征态 ， 第二项正是微扰 带来的一级近似修正。,此式正好是定态微扰论中 的一个 本征态。,但这种微扰是“绝热地”引进来的，即微扰时 间参数 比所处理体系的特征时间长得多. 或者说，体系有足够的时间调整自己的状 态来应对外界的微扰。所以可以用定态微扰 论来处理。,可以求出准确到一级近似下的波函

3、数,2) 短时常微扰,即常微扰只在一定时间间隔中起作用。,设,其中 为阶梯函数， 定义为,如右图。,则在时刻 ，微扰 导致的体系从 态 到 态的跃迁振幅的一级近似为,分部积分，得,当t T后,上式右边第一项为0，利用公式,第二项化为,因此，跃迁几率 为,而 随 变化的曲线如下图所示：,二、Fermi黄金规则,下面我们利用上述结论来讨论散射问题中的一个重要公式,对公式,当微扰作用的时间间隔 T足够长 时， 只在 的 一个窄范围中不为0。 见右图。,1. 跃迁速率,利用公式,则有,因此，当 时，,而单位时间的跃迁几率（跃迁速率）为,从公式,中可以看出：,如常微扰只在 起作用，则只要 足够 长（远大

4、于体系的特征时间），则跃迁速 率与时间无关；,只有当末态能量 和初态能量 相近的情 况下，才有可观的跃迁发生。而 恰是常微扰作用下体系能量守恒的反映。,2. 黄金规则,前面我们讲过，一级微扰论成立的条件是：,跃迁几率很小，体系有很大几率仍停留在 初始状态。,但在公式,中出现了 函数，与 有关。此时一级微 扰论还成立吗？,解释：,函数出现上述公式中只有当能量 连续变化的情况下才有意义。,此时我们对所有能量积分时，函 数就被积分掉，不存在问题了。,设 表示体系 的末态的态密度，即在 范围中的末态数为 。 因此，从初态 到 附近一系列可能 末态的跃迁速率之和（求积分）为,上式应用很广，非常有价值，故

5、人们习惯 称之为Fermi黄金规则(golden role).,物理含义容易理解：跃迁速率与能态密度 成正比，与跃迁矩阵元的平方成正比。,利用公式,3. 黄金规则的应用 -弹性散射,前面我们学习过，对于一维入射粒子，碰到 势垒后会发生反射和透射，而且反射和透射 系数定义为,对于三维粒子，入射粒子沿确定方向入射， 动量为 （取为 轴方向）。在受到靶子作 用 （视为微扰 ）后，可以沿不同方向 出射，相应的几率也与出射方向有关。,或者说，出射粒子有一个角分布，见下图：,设出射粒子的动量为 ，与入射粒子动量方 向 夹角为 。对于弹性散射， 。,采用平面波近似，入射波表为,利用流密度公式,可以算出入射流

6、密度为,出射波表为,这样,式中,是 的Fourier变换,设沿 角方向的立体角 中出射粒子的末 态密度为 ，则能量在 范围内的 末量子态数为,其中：相空间中的一个体积元 相当于一 个量子态,在相对论和非相对论条件下，都可以证明：,v 是粒子的速度。因此由,得到沿 角方向的 立体角中出射的速率为,得,所以,故,在相对论情况下，因为,定义散射截面：,及,将,代入上式，得,对于非相对论粒子， 则,这就是粒子与靶碰撞的散射截面，反映了散 射后粒子的空间分布几率。,11.4 能量与时间测不准关系,前面我们学习了Heisenberg测不准关系：,它从一定程度上反映了对经典粒子和微 观粒子描述的关系。,下面

7、讨论另一种测不准关系,-能量-时间测不准关系,同当时引入Heisenberg测不准关系类似，我 们仍然从几个特例出发来探讨这个问题。,一、几个特例,例1 设粒子初始状态为 和 是粒子的两个能量本征态，本 征值分别为 和 ，则有非定态,在此态下，各力学量的几率分布要随 时间改变。,比如粒子的空间几率分布,其中,由于在此非定态下，有可能测得 ， 也可 能测得 ，故可将 视为测量体 系能量时出现的不确定度。,由,可知， 随时间呈周期性变化,其周期为,对定态来说，能量是完全确定的，即,而定态的特点是：所有不显含时间的力学量 几率分布都不随时间改变，或者说，变化周 期为无穷大，特征时间 。这与关系 是一

8、致的。,动量及其它力学量的几率分布也有同样的变 化周期.,故此周期 T 是表征体系性质变化快慢的特征时间，记为,例2,设原子处于激发态，它可以通过自发辐射 而衰变到基态，寿命为 。见下图。,此激发态是非定态,其能量不确定度为E, 称为能级宽度并用表示。,粒子在每个激发态上都有一定寿命,受此限制,自发辐射光子相应的辐射波列的长度为,从而能量 的不确定度为,由此得出粒子激发态能量的不确定度 为,(波列的长度是由原子发光的持续时间和传播 速度所确定的),因而光子动量不确定度为,问题：,处于不同能级的两个粒子,那个寿命长?,二、能量-时间测不准关系的严格推导,设体系的Hamilton量是H，A 为另一

9、个不含 时的力学量。,有,其中,分别表示在给定状态下能量和力学量的不确 定度。,由前面所学习的测不准关系,利用前面学习的不显含时间力学量的平均值 随时间的变化规律,式,可表为,或,令,意义： 改变 所需的时间间隔，表征 变化快慢的周期。,此时,每一个力学量 都有相应的 ，在这些 中，最小的一个记为 ，它当然满足式,或写成,此所谓能量-时间测不准关系。,三、能量-时间测不准关系的意义,1. 物理含义,对能量-时间测不准关系,表示状态能量的不确定度， 为该状态 的特征时间，可理解为状态性质有明显改 变所需要的时间间隔，或变化周期。,上式表明， 与 不能都任意地小下去， 而要受到一定的制约。,如 激

10、光脉冲：,2. 能量-时间测不准关系与坐标-动量 测不准关系的区别,在非相对论情况下，时间 只是一个参 量，而不是属于某一特定体系的力学量。 因此不能套用坐标-动量测不准关系的普 遍论证方法。,在坐标-动量测不准关系中， 与 都 是指同一时刻而言，而在能量-时间测不 准关系中，不可能理解“同一时刻”的 是什么含义。,物理意义不同。,不能随便地令 ，由此得出,而能量-时间测不准关系给出:能量分辨和时 间分辨是不可能同时达到高精度要求的。,坐标-动量测不准关系给出的是微观粒子坐 标和动量二力学量的不能同时确定性；,我们知道， 是表征体系随时间演化特性 的力学量, 而体系状态的演化要满足方程,但这绝

11、不表明,对于任意 ,上式都成立。,11.5 光的吸收与辐射的半经典处理,一、几个基本概念：,1. 光的吸收,在光的照射下，原子 可能吸收光从低能级 跃迁到高能级。,11.5.0 概述,2. 受激辐射,在光照下，原子可能吸收一个光子从较高能级跃迁到较低能级并放出光两个光子。,3. 自发辐射,无光照下，原子也可以自发的从高能级跃迁到低能级，并放出光子。,4. 谱线频率（或波数）,5. 谱线相对强度,是一个与跃迁速率成比例的量，实际上与参与跃迁的粒子数成正比。,比如氢原子的可见光光谱为,按照频率条件，与初末态能量差E相对应的频率v= E/h,二、处理光的吸收和发射常用的方法,1. 量子电动力学：,研

12、究光的吸收和辐射现象时，涉及到 光子的产生和湮灭，需要把电磁场量 子化（光子即电磁场量子）。,2. 非相对论量子力学,研究光的吸收和受激辐射现象时，可以 采用半经典方法，把光子产生和湮灭的 问题转化为在电磁场的作用下原子在不 同能级之间跃迁的问题。,但处理自发辐射时，这种方法无能为力。,3. 相对论量子力学的方法,一个方兴未艾的研究课题,此时辐射场的作用可以看作与时间有关 的微扰来处理。,Einstein基于热统中平衡概念的考虑，回 避了光子的产生和湮灭,巧妙地予以解决。,强场物理,外场中电子的动力学行为,以上三种方法并不互相独立,11.5.1 光的吸收与受激辐射,一、 微扰项的给出,假设入射

13、光为平面单色光，其电磁场强度 为,在原子中,电子的速度 ，磁场对电子 的作用远小于电场对电子的作用(?),因此只需考虑电场的作用。另外，对于可见 光，波长,即在原子大小范围内，,电场变化极其微小，可以看成是均匀电场。 所以,其相应的电势为,由于常数项对微扰项的贡献仍是常数，对 跃迁矩阵元的贡献为0，不妨略去。,故入射可见光对原子中电子的作用可表为,其中,将 代入跃迁振幅的一级微扰公式,二、 跃迁几率和速率的计算,对于跃迁振幅,所以方括号中的两项只有当 时才有显著贡献。,由,当 时， , 则 时，后项贡献显著,当 时， , 则 时，前项贡献显著,对于原子吸收光的跃迁， ,此时，只有当入射光 的情

14、况，才会引起 的跃迁。此时,举个确切的例子：,从而 的跃迁几率为,可以发现，当时间 充分长以后，只 有 的入射光 对 的跃迁 有明显贡献。这种吸收叫共振吸收。,右图为 t 足够长时 几率的变化情况：,这实际上是公式 的必然结果,而跃迁速率为,式中 是 与 的夹角。,此时利用公式,可将上式,写为,如入射光是非偏振光，光偏振的方向是完全 无规的，此时可把 换为它对空间各方向 的平均值，即,所以,这里 是角频率 的单色光的电场强度值。,但自然界中不存在严格的单色光，只不过 有的光单色性比较好，如激光。,对自然光引起的跃迁，要对上式中各种成分的贡献求和。,令 表示角频率为 的电磁场的能量密度。,利用,

15、可将 换为 ，就得出非偏振自然光引起的跃迁速率, 代入,由上式,有,从上式可以看出：,跃迁快慢与入射光中角频率为 的光强 度 成比例。,跃迁速率还与 成比例，即与初末态的性质相关。举例说明如下：,对,设,首先考虑到 为奇宇称算符，对于 ， 只有当宇称 时才可能不为零。,由此得出电偶极辐射的宇称选择定则：,宇称： 改变,其次考虑角动量的选择定则。,三、电偶极辐射选择定则,利用基本公式,在具体计算 的矩阵元时，需要求解因子,即求解 的矩阵元，分析上述 基本公式，可知下面的递推公式是重要的 (见曾谨言习题精选与剖析相关内容)：,再根据球谐函数的正交性，可以看出，只当,时， 才可能不为0。,由此得电偶

16、极辐射的角动量选择定则：,以上未考虑电子自旋。,可以证明，电偶极辐射的选择定则为(见曾书习题精选与剖析相关内容),在考虑电子自旋及旋轨耦合作用后,电子状态用好量子数nljmj来描述。,上次课复习,能量-时间测不准关系,意义: 能量分辨和时间分辨是不可能同时达 到高精度要求的。,光的吸收与受激辐射,微扰项,跃迁几率,跃迁速率,如入射光是非偏振光，光偏转的方向是完全 无规的，此时可把 换为它对空间各方向 的平均值，此时,非偏振自然光引起的跃迁速率，要对各成分 贡献求和，从而有,下面研究自发辐射理论,11.5.2 自发辐射的Einstein理论,前面提过,在非相对论量子力学理论框架内是 无法解释原子

17、的自发辐射现象的。,Eintein曾提出一个很巧妙的半唯象理论来说 明原子的自发辐射现象。,如初始时原子处于某一定态,则原子将保持在 该定态,不会跃迁到较低能级去。,因为按量子力学一般原理，如无外界作用,原 子Hamilton量是守恒量。,他借助于物体与辐射场达到平衡时的热力学关系，指出自发辐射现象必然存在，并建立起自发辐射与吸收和受激辐射之间的关系。,一、受激辐射和吸收系数,按照上节的讨论，在强度为 的光的照射 下，原子从 态到 态的跃迁速率可表为,其中,称为吸收系数。,与此类似，对于从 态的受激辐射，跃迁速率也可以表成,其中,称为受激辐射系数。,由于 为厄米算符，所以,即受激辐射系数等于吸收系数，它们都与入 射光强度无关。,二、自发辐射和自发辐射系数的给出,现在用热力学与统计物理的知识来处理这个 问题。,设处于平衡态下体系的绝对温度是 分别为处于能级 上的原子数目。,可知,式中 为Boltzman常数。,由Boltzman分布律,吸收粒子数,辐射粒子数,因此，如只有受激辐射，就无法与吸收过程 达到平衡。,出自平衡的要求，