则上图的脉冲传递函数为.ppt

1、则上图的脉冲传递函数为:,需指出的是,例1: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数,解:,例2: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数,解:,例3: 求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,解: 令,则:,由Z变换的滞后定理可得:,B. 闭环系统的脉冲传递函数,由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性, 因此 闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂. 下图是一种 常见的离散闭环系统的结构图形式:,由上图经推导可得:,叫闭环系统的误差脉冲传递函数. 实际系统的输出一般是连,续信号, 故如上图所示, 在输出端虚设一采样开关, 才可得到闭 环系统输出对输入的脉冲传递函数.,因为, 所以,上式中

2、,叫闭环系统的特征多项式,叫闭环系统,的开环Z传递函数. 在有些情况下, 无法得到闭环系统的Z传递 函数, 而只能得到闭环系统输出的Z变换表达式, 见下图:,例: 求下图所示系统的Z传递函数, 采样周期T=0.07s.,解:,6.4.3 离散系统数学模型的模式之二_离散动态方程,离散控制系统的被控对象一般都是连续的, 当用连续动态 方程描述被控对象时,就需将连续动态方程离散化. 现假设被控 对象连续动态方程的一般形式为:,设初始时刻为,初始状态为,状态方程的解为:,令, 代入上式得:,假设采用零阶保持器, 则当,时有,上式为:,令:,对上式进行变量代换, 令, 则, 当,时, 当,时, 将上述

3、变量关系代入上式得:,从而得到离散化后的动态方程为:,上式中,. 动态方程的结构图见P.351图6.4.2,例: 设连续动态方程为:,试求其离散化动态方程, 设采样周期T=1s,解: 可求得状态转移矩阵为:,令t=T, 则:,而:,当T=1时, 可得:,系统离散化状态方程为:,课外习题:P.414第6.9题(2)(3), 第6.10题(a)(b)(c)(d),第6.11题 第6.13题(1)(2),下面讨论离散动态方程的求解方法.,设离散动态方程为:,1. 递推法. 令:,将上面方程从上往下逐个依次迭代, 得:,递推法给出的状态方程的解不是闭合形式, 但便于用计算机求,解. 由输出方程可方便地

4、求出输出. 2. Z变换法 对状态方程,两边进行Z变换得:,Z变换法给出的状态方程的解是闭合形式的.由输出方程可方便 地求出输出. 令:,称为离散系统的状态转移矩阵.,例: 采样周期T=1s的离散系统的齐次状态方程为:,求其解.,解:,6.6 离散控制系统的性能分析,6.6.1 离散控制系统的稳定性 1. 稳定条件 在线性连续系统理论中已知, 其稳定的充要条件是系统的 所有极点均在S平面的左半平面上. S平面的虚轴是稳定区域的 边界. 在线性离散系统中, 如用拉氏变换, 则变换式中含有,项, 从而系统的特征方程为超越方程, 其极点不好求. 但,经过Z变换后, 离散系统的特征方程D(z)为Z平面

5、上的代数方程 但在Z平面上, 离散系统的稳定条件又如何表述? 设离散系统的特征方程为D(z), 令D(z)=0, 设其极点为, 则系统稳定的充要条件是, 在Z平面上,均在以原点为圆心, 半徑为1的单位圆内, 即,当, 即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的.,当, 即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的.,上述结论的正确性可说明如下:,设在S平面上,有,经Z变换后, 它在Z平,面上的映像为:,由上式可得: 当,时, s在S平面的左半平面上, 而,z在Z平面上的单位圆内. 当,时,s在S平面的虚轴上,而,z在Z平面上的单位圆周上. 当,时, s在S平面的右半平面上,而, z在Z平

6、面上的单位圆外.,2. 劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用 劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数, 判别代数方程的 根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上, 而无法 判别代数方程的根的模是大于1还是小于1, 或是等于1.,为此需把Z平面再进行一次变换, 令:,或令:,将上述变换叫作双线性变换, 也叫Z-W变换, 即把Z平面变换 到W平面. Z和W均为复变量, 可表为:,即:,将式(2)代入式(1), 有:,由上式可见, W平面上的虚轴对应于上式中的,而,在Z平面上正好是单位圆的圆周. 由于,所以当,时, 即u0, w在W平面的左,半平面上, 而,在Z平面上即为单位圆的内部. 当,时,即u

7、0,w在W平面的右半平面上,而,在Z平面上即为单位圆的外部.,有上述ZW变换, 可将Z平面上的特征方程D(z)变换为W平面,上的特征方程D(w), 即:,从而在W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性 例: 设闭环离散控制系统的特征方程为:,试判断此系统的稳定性.,解: 令,代入D(z)得:,列出劳斯表为:,因为劳斯表有两次符号改变, 所以D(w)有 两个根在W平面的右半平面上, 即D(z)有 两个根在Z平面的单位圆的外部, 故此系统 不稳定.,2. 李雅普诺夫稳定判据在离散控制系统中的应用,对于线性定常离散控制系统, 李雅普诺夫直接法的稳定判 据可作如下表述: 为讨论问题方便起见,

8、设采样周期T=1s. 则给定系统的状 态方程可表为:,若系统是渐近稳定的, 则任意选定一个正定的对称矩阵Q(一般 Q=I), 必存在一个正定的对称矩阵P, 满足离散李雅普诺夫方 程, 即:,而李雅普诺夫函数:,李雅普诺夫函数的变化率:,例: 试用李雅普诺夫直接法的稳定判据判别下面给出的离散,状态方程所表示系统的稳定性.,解: 取正定对称矩阵,令,将Q和P代入离散李雅普诺夫方程, 得:,由于P的一阶和二阶主子行列式都大于零, 所以P正定,系统 是渐近稳定的.,课外习题:P.416第6.15题(1)(2)(4), 第6.16题,6.6.1 离散控制系统稳态误差的计算 非单位反馈离散控制系统的典型结

9、构图如下图所示:,上图中,叫离散偏差信号, 其Z变换表达式为:,若令, 则上式为:,其中,叫开环Z传递函数. 当,时, 上图为单位,反馈离散控制系统,叫离散误差信号.,定义离散稳态误差(或偏差)信号为:,需强调指出的是, 上面定义的是离散误差(或偏差)信号在采样 时刻的稳态值. 计算离散稳态误差(或偏差)值的方法有下面三 种:,(1)求出,或,表达式后, 由定义求,(2)当闭环稳定时, 利用Z变换的终值定理求, 即,(3)当系统的输入信号分别为,或为这三种信号,的组合时, 用稳态误差系数法求, 为此, 将离散闭环系统按其,开环Z传递函数中含有0,1,2,个z=1的极点个数而分为0型, 1型,

10、2型, 系统.,下面介绍在典型输入信号作用下, 用稳态误差系数法计算稳态,误差值的具体方法. (1) 阶跃(位置)输入时,令,为位置误差系数，则,，从而对于,0型系统,为有限值。,1型系统,， 2型系统,(2) 斜坡(速度)输入时,为速度误差系数，则,，从而,对于0型系统, 1型系统,为有限值。,2型系统,令,抛物线(加速度)输入时,为加速度误差系数，则,，从而,对于0型系统, 1型系统,为有限值。高于2型系统的,2型系统,由上面推导结果可见,离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的 型式和大小有关, 与系统的结构和参数有关, 还与采样周期T的 大小有关.,例: 试求下图所示系统在输入信号r(t)

11、分别为,时的稳态误差值,. 采样周期T=0.1s,解: 1) 开环S传递函数,开环Z传递函数,可证得闭环稳定, 因开环Z传递函数有一个z=1的极点, 故 系统为1型系统. 从而稳态误差系数分别为:,当,时,当,时,当,时,课外习题:P.417第6.19题(1) ,(3) ,(4) ,(5),6.3.3 离散控制系统动态响应的定性分析,当离散控制系统的输入为单位阶跃函数时, 其输出的离散 函数的一般表达式可由下面方法求得:,输出的Z变换表达式,上式中,为离散控制系统的Z传递函数.,为分析方便起见, 假设,无重极点, 则,上式中,为,的极点, 而,所以,上式中,由输入阶跃信号Z变换表达式的极点所产

12、生,叫,输出的稳态响应,由离散控制系统的Z传递函数的极,点所产生,叫输出的瞬态响应. 研究不同极点分布时的瞬态响 应, 就可定性地说明系统的动态性能.,对于系统的任一极点, 均可表为极坐标形式, 即,从而对应于,的瞬态响应分量为:,则(1)正实数极点时,对应的瞬态响应分量为,是单,调的.,为衰减序列;,为等幅序列;,为,发散序列.,(2)负实数极点时,对应的瞬态响应分量为,是振荡的,此时振荡频率可达最高,可证明为,当,为衰减振荡序列;,为等幅振荡序列;,为发散,振荡序列.,(3)复数极点时必为共轭,瞬态响应分量为,上式中待定系数,和,也共轭, 因而瞬态响应分量为:,由上式可见, 复数极点所引起

13、的瞬态响应分量是振荡的. 当,时, 振荡的衰减速率取决于,的大小,时,瞬态响应分量是等幅振荡的. 当,越小,衰减越快,当,时,瞬态响应,分量是发散振荡的. 且可证明振荡频率,6.6.4 离散控制系统的能控性和能观性,对于n阶线性定常离散控制系统的物理原型, 如能直接 写出其离散状态方程,则其能控性的定义为: 是否存在控制作用序列,能使系统由任意初始状态,开始转移, 在第,n步上达到,? 下面直接给出能控性判据.,若能控性矩阵,的秩, 则其为系统的状态完全能控的充分,必要条件.,对于n阶线性定常离散控制系统的物理原型, 如能直接,写出其离散动态方程,则其状态完全能观的充分必要条件是其能观性矩阵,

14、的秩,当线性定常离散控制系统的动态方程是由连续控制,系统的动态方程经离散化后而得到时, 其状态的能控性 和能观性可由下面三个定理判定. 定理一: 如连续控制系统A,B,C状态不能控(或不 能观), 那么对任意采样周期T离散化后的系统其状态也 必不能控(或不能观). 定理二: 如连续控制系统A,B,C状态能控(或能观) 则离散化后的系统其状态能控(或能观)的必要条件是,不是A的特征值.,定理三: 如连续控制系统A,B,C状态能控(或能观 则以T为采样周期的离散化后的系统其状态能控(或能,观)的充分条件是: 对A的任意两个特征值,和,不存在,非零整数k, 使,成立.,定理三对于单输入-单输出系统为

15、充分必要条件.,6.7 数字控制器的设计 6.7.1 模拟化设计方法 模拟化设计方法的前提是当采样频率比系统的工作频 率高得多, 以致由采样和保持所引入的附加影响可忽略不 计. 从而系统中的离散部分可用连续控制器代替, 整个系 统可用连续系统的各种设计方法来确定模拟控制器, 再用 各种方法将模拟控制器的S传递函数离散化成数字控制器 的Z传递函数, 便于计算机进行数值计算. 下面仅介绍各种离散化方法中的一种, 即双线性变换 法, 也叫图斯汀变换法. 设经过模拟化设计后的控制器的,S传递函数为:,则上式对应的微分方程为:,将上式写成积分形式有:,上两式之间的关系可由下图直观说明,由上图可见,是由k

16、个梯形面积叠加而成,表达式的,第二项即,用梯形面积近似为,因此,对上式进行整理得:,对上式两边进行Z变换并整理得离散化数字控制器的Z传递,函数为:, 与,相比较得,将通过上面具体例子的推导而得的结论推广到一般情况,有, 当通过模拟化设计方法得到连续控制器的S传递函数,后, 令,即得离散化数字控制器的Z传递函数,6.7.2 最少拍控制系统的Z域设计方法 所谓最少拍设计, 就是要求系统的输出经过最少几个 采样周期后,在采样时刻完全跟踪系统的输入, 也即要求系 统过渡过程尽可能快,采样时刻的稳态误差为零. 下面介绍有关最少拍设计的一般方法.,设离散控制系统的结构图如下所示:,图中:,为数字控制器的脉

17、冲传递函数,为包括零,阶保持器在内的被控对象的脉冲传递函数, 系统的闭环脉,冲传递函数为:,所以,由于,是给定的, 因此,完全取决于, 而,可根据一定的输入由最少拍设计的要求确定. 下面讨论,的确定过程.,因为最少拍设计的要求是在一定型式的输入作用下, 以尽,可能快的时间, 使稳态误差为零, 故可从误差信号入手讨,论,的确定过程. 系统误差的Z变换表达式为:,而不同型式的输入信号的一般Z变换表达式为,式(4)中N为正整数,为不含,因子的,多项式即, 例如, 单位阶跃输入时,单位速度输入时,单位加速度输入时,最少拍设计要求稳态误差为零, 则有,为满足上式, 应使,式中, M为正整数, 且,为不含

18、,因子的,多项式. 为使所设计的数字控制器最简单, 系统过渡过程尽,可能快, 通常取, 从而可得,式(7)中,是阶次为(N-1)的z的多项式. 当离散控制系统的,闭环脉冲传递函数,的所有极点都在Z平面的原点时, 此系,统具有无穷大稳定度, 且过渡过程经过N拍后结束,最少拍数与输入信号形式有关: 阶跃输入时过渡过程至,少要一拍; 速度输入时过渡过程至少要二拍; 加速度输 入时过渡过程至少要三拍.,系统的闭环脉冲传递函数,确定后, 将其代入前面,的式(2), 即得数字控制器的脉冲传递函数,下面进一步讨论数字控制器,必须满足的约束条件, 也,即可实现问题. 对象的脉冲传递函数可表为,设,多项式的阶次为m,多项式的阶次为n, 则当满,足,时,才是可实现的. 即对象的极点数最多只能比它的,零点数多一个. 否则,便不可实现,此时应使,另外, 在最少拍设计中, 有关,的综合,完全是靠,和,之间的零极点相消进行的, 但在z,平面单位圆上和单位圆外的不稳定的零极点是不能相消的.,何况对于,的不稳定零点, 如用,的极点去对消, 会,引起控制器的不稳定, 因此, 当,含有不稳定的零极点,时, 必须使,包括,的不稳定零点, 而使,包,包括,的不稳定极点. 它们分别应有如下形式:,式中,和,分别表示,的不稳定零点和不稳定极点.,是根据输入信