1.1.3四种命题间的相互关系 (2)

1、1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系,1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题 和逆否命题. 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 3.会利用命题的等价性解决问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一四种命题的概念,给出以下四个命题： (1)当x2时，x23x20； (2)若x23x20，则x2； (3)若x2，则x23x20； (4)若x23x20，则x2. 你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？,答案,命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题

2、(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.,梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做 . 如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫做 . 如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫做 . 把第一个叫做原命题时，另外三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.,互逆命题,互否命题,互为逆否命题,知识点二四种命题间的关系,思考1,为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表

3、示？,答案,逆命题：若q，则p.否命题：若非p，则非q.逆否命题：若非q， 则非p.,思考2,原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？,答案,互逆、互否、互为逆否.,梳理,若p，则q,若q ，则p,若非q,则非p,若非p，则非q,知识点三四种命题的真假关系,思考1,知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？,答案,(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题.,思考2,如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？,答案,原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆

4、否命题一定是真命题.,梳理,(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是 . (2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 . (3)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：,逆否命题,没有关系,真,真,假,真,假,真,假,假,(4)当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题真假的等价性来证明.,题型探究,命题角度1四种命题的概念 例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)若xA，则xAB；,解答,类型一四种命题及其相互关系,逆命题：若xAB，则xA. 否命题：若xA，则xAB. 逆否命题：若xAB，则xA.,(2)若a，b都是偶数，

5、则ab是偶数；,解答,逆命题：若ab是偶数，则a，b都是偶数. 否命题：a，b不都是偶数，则ab不是偶数. 逆否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数.,(3)在ABC中，若ab，则AB.,解答,逆命题：在ABC中，若AB，则ab. 否命题：在ABC中，若ab，则AB. 逆否命题：在ABC中，若AB，则ab.,四种命题的转换方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题. (2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题. (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.,反思与感悟,跟踪训练1命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定

6、义域内是减函数，则loga20，a1)在其定义域内不是减函数 B.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数 C.若loga20，a1)在其定义域内是减函数 D.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数,直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.,答案,解析,命题角度2四种命题的相互关系 例2若命题p：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是 A.互为逆命题B.互为否命题 C.互为逆否命题D.

7、同一命题,已知命题p：若xy0，则x，y互为相反数. 命题p的否命题q为：若xy0，则x，y不互为相反数， 命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则xy0， r是p的逆否命题， r是p的逆命题的否命题，故选B.,答案,解析,判断四种命题之间四种关系的两种方法 (1)利用四种命题的定义判断； (2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.,反思与感悟,跟踪训练2已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a1且b2，则ab4”，则命题p的否命题是_.,由命题p的逆命题与其否命题互为逆否

8、命题可得.,答案,解析,若实数a，b满足ab4，则a1或b2,类型二四种命题的真假判断,例3有以下命题： “若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题，其中真命题为 A. B. C. D.,答案,解析,显然正确； 对于，若ABB，则BA， 所以原命题为假，故它的逆否命题也为假.,反思与感悟,原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系.逆命题与否命题也总是具有相同的真假性.,跟踪训练3命题“若ab，则ac2bc2(a，b，cR)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，

9、真命题的个数为 A.0 B.2 C.3 D.4,答案,解析,命题“若ab，则ac2bc2(a，b，cR)”是假命题， 则其逆否命题是假命题. 该命题的逆命题为“若ac2bc2，则ab(a，b，cR)”是真命题，则其否命题是真命题.故选B.,类型三等价命题的应用,例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假.,解答,方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为，判断如下： 抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上， 令x2(2a1)xa220， 则(2a1)24(a22)4a7.

10、 因为a1，所以4a70， 即关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为.故此命题为真命题.,方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假. 因为关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空， 所以(2a1)24(a22)0，,所以原命题为真，故其逆否命题为真.,解答,先判断原命题的真假如下： 因为a，x为实数，关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为R，且抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上， 所以(2a1)24(a22)4a70， 所以a . 所以原命题是真命题. 因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题.,反思与感悟,由于原命题和它的逆否命题有相

11、同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.,跟踪训练4证明：若a24b22a10，则a2b1.,证明,“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”. a2b1， a24b22a1(2b1)24b22(2b1)1 4b214b4b24b21 0. 命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.,当堂训练,原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”. 所求命题为“若方程x2xm0

12、没有实根，则m0”.,1.命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是 A.若方程x2xm0有实根，则m0 B.若方程x2xm0有实根，则m0 C.若方程x2xm0没有实根，则m0 D.若方程x2xm0没有实根，则m0,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,2.如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是 A.真命题 B.假命题 C.不一定是真命题 D.不一定是假命题,答案,解析,5,由否命题与逆命题互为逆否命题，可知这个命题的逆命题是真命题.,1,2,3,4,5,3.下列命题： “全等三角形的面积相等”的逆命题； “正三角形的三个内角均为60”的否命题； “若k0，则

13、方程x2(2k1)xk0必有两相异实数根”的逆否命题. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题； 的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60”为真命题； 当k0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题.,1,2,3,4,5,4.已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_.,1,2,答案,解析,命题：“若m1xm1，则1x2”的逆命题为“若1x2，则m1xm1”，该逆命题为真命题，,1,2,3,4,5,5.写出命题“已知a，bR，若a2b2，则ab”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.,解答,逆命题：已知a，bR，若ab，则a2b2； 否命题：已知a，bR