2.2.1等差数列.ppt

1、3.2 等差数列（第一课时）永州一中 徐映霞,一、由具体例子归纳等差数列的定义,看下面的数列： 4，5，6，7，8，9，10 ； 3，0，3，6，； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cm） 21，21 ，22，22 ，23，23 ，24，24 ，25 ; 一张梯子 从高到低每级的宽度依次为（单位cm） 40，50，60，70，80，90，100； 每级之间的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40. ,从第2项起，每一项与前一项差都等于1,这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。,从第2项起， 每一项与前一项差都等

2、于3,从第2项起，每一项与前一项差都等于10,从第2项起，每一项与前一项差都等于0,问：这6个数列有什么共同特点？,数学语言： anan1=d （d是常数，n2，nN*）,定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。,二、由定义归纳通项公式,a2 a1=d，,a3 a2=d，,a4 a3=d，,则 a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,an1an2=d,an an1=d.,这（n1）个式子迭加,an a1= (n1)d,当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成

3、立的。这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项公式。,等差数列的图象1,（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,等差数列的图象2,（2）数列：7，4，1，-2，,等差数列的图象3,（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，,三、巩固通项公式,an=a1+(n1)d (nN*),（一）求通项an,若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：a1=1, d=2, 则,an=1+(n1)2=2n1,已知等差数列8，5，2，求 an及a20(第20项)。,解： a1=8, d=58=3,a20=49,an=8+(n1)(3)=3n+11,练习：已知等差数列3，7，11

4、， 则 an=_ a4=_ a10=_,an=a1+(n1)d (nN*),4n-1,15,39,(二)求首项a1,例如 ：已知a20=49, d=3 则，,由a20=a1+(201)(3),得a1=8,练习：a4=15 d=3 则a1=_,6,an=a1+(n1)d (nN*),(三)求项数n,例如： 已知等差数列8，5，2问49是第几项?,解 ：a1=8, d=3,则 an=8+(n1)(3),49=8+(n1)(3),得 n=20。,an=a1+(n1)d (nN*),问400是不是等差数列5，9，13， 的项？如果是，是第几项？,解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则,由题

5、意知，本题是要回答是否存在正整数n， 使得 401=5+(n1)(4)成立,所以400不是这个数列的项,an=a1+(n1)d (nN*),解2：这些三位数为100，101，102，999可组成首 项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。 由 an=a1+(n1)1得999=100+（n1）1 n=999100+1=900,练习：10 100是不是等差数列2，9，16，的项？如果 是，是第几项？ 如果不是，说明理由. 20 在正整数集合中，有多少个三位数？ 30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？,第15项,an=a1+(n1)d (nN*),(四)求公差d,例如 一张梯

6、子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。,分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。,由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7,从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。,总结：在 an=a1+(n1)d nN* 中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。,那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？,an=a1+(n1)d (nN*),（五）小综合,在等差数列an

7、中已知a5=10, a12=31, 求a1、d及an,an=2+(n1)3=3n5,知识延伸：,由定义，可知： a6=a5+d a7=a6+d=a5+2d=a5+(75)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(85)d a12=a5+(125)d,猜想：任意两项an和am之间的 关系：,an=am+(nm)d,证明：am=a1+(m1)d an=a1+(m1)d+(nm)d =a1+(n1)d,本题也可以这样处理： 由a12=a5+(125)d 得 31=10+7d d=3 又 a5=a1+4d a1=2,练习：等差数列an中, 已知 a3=9, 且 a9=3, 则 a12=_,课后思考： 能

8、否对上面的结论进行推广： 若ap=q 且aq=p (pq) 则ap+q= 0 ?,0,四、能力培养： 两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项， 求：这两个数列相同项的个数,解法一：已知两个等差数列 an: 5，8，11，公差为3 bn: 3，7，11，公差为4 通项公式分别是an=5+(n1)3=3n+2 bn=3+(n1)4=4n1,假设an的第n项与bn的第k项相同，即 an=bk 则 3n+2=4k1 n=k1 nN* k必是3的倍数 k=3,6, 9, 12,， 组成新的等差数列cn 而相应的 n=3,7,11,15,， 组成新的等差数列dn 即 a3=b3, a7=b6, a11=b9, a15=b12，,解法二：已知两个等差数列an：5，8，11， 和bn：3, 7, 11, 则 通项公式分别是an=5+(n1)3 bn=3+(n1)4,观察： 5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41， 3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，,因此，这两个数列相同项