第三章 量子力学中的算符12.ppt

1、第三章 量子力学中的力学量,算符,厄米算符的本征函数 动量算符和角动量算符 电子在库仑场中的运动 基本对易关系,重点：厄米算符平均值角动量算符对易关系,第一节算符 operator,算符,算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,就是一个算符,算符的引入规则,如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将动量p换为动量算符得出,经常遇到的力学量所对应的算符,简并degeneration,当算符的某一本征值n的本征函数不止一个，而是 f 个线性无关的函数n1、 n2、 nf，则称该本征值 f 度简并。,若一个算符作用在波函数上得出一

2、个常数乘以该波函数 ，如，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数,算符的本征值和本征函数,线性算符 linear operator,x、d/dx是线性算符，而开方运算不是线性算符 量子力学中用来表示力学量的算符，都是线性算符 是态叠加原理的要求,设,根据态的叠加原理,也就是假设说是二度简并的,也是算符的本征态，应有,当为线性算符时,1 厄米算符 Hermitian operator,设u、 v为两个任意函数，如果算符满足,则称为厄米算符,量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符,量子力学的又一基本概念,厄米算符在任意状态下的平均值必须

3、是实数 力学量观测值必须是实数，要求算符的本征值是实数,线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个 元素 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系,（1） 厄米算符本征函数的正交归一性,(Orthonormality),（2） 完备性(Completeness),设1 、2、 、n，是某一线性厄米算符的本征函数系，任何与n满足同样边界条件且在同样区间定义的波函数,都可以按n展开，即,厄米算符的本征函数(本征态)具有正交、完备性,若在每个r处，此无穷级数都收敛到(r,t)，则称n是完备的,第二节,2力学量的平均值(Average Values),(1)力学量处于本征态时 设厄米算

4、符的本征函数分别为1 、2、 、n，所属的本征值为， 1、 2、 n，当体系处于n时，力学量A有确定的值 n，,（2）当体系处于的非本征态 时，力学量A为何值？,在非本征态中测量力学量的值为一平均值，当体系处于算符的非本征态时，测量力学量A所得为平均值，如果已经归一化，力学量的平均值为,如果尚未归一化，力学量的平均值为,利用归一化条件,用*左乘上式并对全空间积分,根据本征函数的完全性,力学量的平均值为：,所以为在n态中，A取n的几率,状态时，粒子的能量？,也就是说，此时粒子不处于本征态。,在此状态下，测量粒子的能量,由于波函数是归一化的,本征函数为：,解：,例：设粒子在一维无限势阱(0,a)中

5、运动，如果描述粒子状态的波函数为,3 轨道角动量算符的本征值和本征函数,(1) 轨道角动量算符定义,若位势与坐标的方向无关，即，则称此位势为 中心力场 粒子若在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的 重要物理量 为区别自旋角动量，将其称之为轨道角动量,第三节,(2) 本征问题,Spherical-harmonics,l 称为角量子数，表征角动量的大小,A的本征方程,本征函数,m称为磁量子数,本征值为,球谐函数，不仅应当在全空间有限，而且是一个单值函数,例如：l=2时,m可以取-2,-1,0,1,2;五个值,本征值,本征函数,B Lz的本征值和本征函数,Lz表示体系的轨道角动量在z轴方向的投

6、影,一个本征值对应2l+1个本征函数，本征值是2l+1度简并的,(3)讨论,算符的本征值是量子化的，只能取断续值 除了的基态外，算符的所有本征值都是简并的，且简并度为,例题,若粒子处于状态,求：分别测量的可能取值与相应的取值概率,解：首先判断波函数是否是归一化的状态 其次计算各种条件下各力学量的可能取值和取值概率,在态下，相应的取值概率公式为,4 类氢原子的波函数和能量本征值,(1) 分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解,设,在球坐标下，薛定谔方程变为,第四节,（2） 本征能量,能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解,电子的能量只与量子数n有关,n称为主量子数,玻尔第一

7、轨道半径,氢原子的基态能量为 若要使处于基态的氢原子电离，必须外加 13.6eV的能量 随量子数n的增加，氢原子能级间隔越来越 小，当n时能级接近连续分布,（3）能级的简并度,电子的能级En只与主量子数n有关,对应一个n值，,l 可以取,0,1,2n-1,共n个,对应一个l 值，,m又可以取,0,1, 2, l,共2l+1个,l、m不同，,函数,的形式不同,同一能量级对应着不同的本征函数,库仑场中运动的电子能级是简并的,简并度为,电子的能级是n2度简并的,例1对能级,简并度是9，9个不同的波函数(9个不同的本征态)有相同的能量,它们是,例2：氢原子中的电子处于,状态，求：,(1) 归一化的波函

8、数,(2) 能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？,(3) 角动量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？,(4) 角动量的z分量有无确定值？如果有，求其本征值,利用本征函数的正交性，得到,所以,归一化的波函数为,解:(1) 设归一化常数为A，利用归一化条件,(2),所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，能量的可能值为E2和E3，能量的平均值为,(3) 容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态,角动量平方的可能值为,L2平均值：,是其本征函数，本征值为,(4),作业题： 1 氢原子中的电子处于,求: (1) 归一化的波函数；

9、(2) 能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这些值的几率 (3) 角动量平方有无确定值？如果有求其本征值 (4) 角动量的z分量有无确定值？如果没有？求其可能值和取这些值的几率,2 氢原子能量简并度是多少？写出n2的所有可能的能量状态,讲义：P74 14,任选两道,量子力学中可以进一步通过代表不同力学量的算符间所满足 的关系，来判断哪些力学量可以同时取确定值，哪些力学量 不可以同时取确定值，引入了对易的概念,算符、 不对易,如果两个算符、 ，先后作用到一个波函数上，作用的结果与作用的顺序无关，如,两个算符、对易 可以同时测定,如果两个算符满足,两个算符反对易,1 算符的对易关系 commutation relation,（1）坐标算符和