2.2.2事件的独立性

1、2.2.2事件的相互独立性（一）,高二数学 选修2-3,佛山市第三中学 李亚青,复习回顾,练习探究：,我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响。,假设不透明的盒子里有2个白球，3个红球，这些球除了颜色不同，质地、大小、形状完全一样。两个人分别从盒子里各摸一个球，但第一个人摸出来后不再放回。,（1）计算第二个人摸到白球的概率？ （2）思考：第一个人摸球的结果对第二个人摸到白球的结果有没有影响？,1、伊索寓言孩子与狼,“小孩说不说谎”与“村民相信还是不相信”,举出生活中“相互独立性”,“蝴蝶是

2、否扇动翅膀”与“龙卷风是否发生”,2、一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，两周后美国引起龙卷风,3、宿舍风波,“甲同学是否睡着”与“乙同学晚上是否打呼噜”,举出生活中“相互独立性”,4、“美国政客90天后是否对 华为执行禁令”与“中国的5G两 三年内是否仍然超越美国”,央视采访华为创始人任正非,直观判断,新知探究,问题：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？ 在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，诸葛亮答对题目的概率为0.85；臭皮匠老大答对问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3, 要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人答对问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮谁的胜算比较大？,臭皮匠团队的亲友团做

3、了如下的解释， 设事件A：臭皮匠老大能解决问题； 事件B：臭皮匠老二能解决问题； 事件C：臭皮匠老三能解决问题； 则臭皮匠团队能胜出的概率为：,P=P（A）+P（B）+P（C）=0.5+0.45+0.4=1.35， 所以臭皮匠团队必胜。 （1）你认为这种计算方法合理吗？,（2）至少有一人答对的情况包括？举出其中一种情况概率计算。,练习探究：,假设不透明的盒子里有2个白球，3个红球，这些球除了颜色不同，质地、大小、形状完全一样。两个人分别从盒子里各摸一个球，但第一个人摸出来后不再放回。,（1）计算第二个人摸到白球的概率？ （2）思考：第一个人摸球的结果对第二个人摸到白球的结果有没有影响？,直观判

4、断理论研究,解：设事件A为第一个人摸到白球，事件B为第二个人摸到白球。,练习探究：,我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响。,假设不透明的盒子里有2个白球，3个红球，这些球除了颜色不同，质地、大小、形状完全一样。两个人分别从盒子里各摸一个球，但第一个人摸出来后不再放回。,直观判断理论研究,（3）尝试设计一种情况使得第一个人摸球的结果对第二个人摸到白球的结果没有影响。,小结提升,P(B|A)P(B),称事件B独立于A。,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，则,P(B |A)P(B

5、),P(B),相互独立,P(A |B)P(A),P(AB)=P(A)P(B),P(A)0,P(B)0,该公式的优势?,P(A),地位对称，反映独立 “相互”的性质,小结提升定义：若事件A,B满足,P(B),P(AB)=P(A)P(B),P(A)0,不排斥零事件,则称事件A与事件B相互独立。,P(AB)=P(A)P(B),若P（A）0，即A为零概率事件，A,B是否独立？,则P（AB）0所以AB同时发生的可能性也是0, 仍然有P（AB）P（A）P（B）。因此零概率事件与任何事件是相互独立的。,该公式的优势,地位对称，反映独立 “相互”的性质,2、相互独立事件同时发生的概率公式：,这就是说，两个相互

6、独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。,一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率?,P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）,等于每个事件发生的概率的积。,3、如果3个事件相互独立，那么这3个事件同时发生的概率如何计算？,3个独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，,P(AB)=P(A)P(B),练习1：判断下列事件是否为相互独立事件 篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”。 袋中有三个红球，一个黄球，采取有放回的取球 事件A：第一次从中任取一个球是黄球 事件B： 第二次从中任取一个球是

7、黄球 袋中有三个红球，一个黄球，采取无放回的取球 事件A：第一次从中任取一个球是黄球 事件B：第二次从中任取一个球是黄球,深入分析我们可以看出，事件A,B是不可能同时发生的。事件A,B为什么事件？,独立,独立,不独立,互斥,相互独立事件，是指一个事件出现的概率与另一事件是否出现没有关系。,互斥事件，是指一个事件出现必然导致另一个事件 不出现，从而一个事件的出现于另外一个事件是否 出现密切关系。,P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B),概率之间制约关系,事件之间制约关系,理解独立性,练习1：判断下列事件是否为相互独立事件 篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚

8、中”, 事件B表示“第2球罚中”。 事件 表示“第2球没有罚中”。 袋中有三个红球，一个黄球，采取有放回的取球 事件A：第一次从中任取一个球是黄球 事件B： 第二次从中任取一个球是黄球 事件 ： 第二次从中任取一个球是红球,A,B,独立,互斥,互斥,独立？,独立？,独立,定理,判断事件A,B是否相互独立的方法有三种： 第一种：直观判断（定性分析）； 第二种：定义法求解（定量分析）； 第三种：利用定理求解。,回应典故,问题：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？ 在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，诸葛亮答对题目的概率为0.85；臭皮匠老大答对问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3, 要求臭皮匠团

9、队成员必须独立解决，三人中至少有一人答对问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮谁的胜算比较大？,(1) 三人中至少有一人答对问题，情况包括哪些？,求事件发生的概率的解答四步： 用字母标记事件； 判断各事件之间的关系； 用公式计算； 回答实际问题。,方法二,求较复杂事件概率思路 正向思维：“所求事件” 要分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 或还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)； 逆向思维：求解“至多” “至少”事件概率时,通常转化为求其对立事件的概率。,设计,如果凶手杀了人，没有被抓现行，没有目击证人，没有罪案发生时的视频音频纪录，没有在现场留下DNA痕迹，一句话，没有任何

10、“直接证据”，那么根据“疑罪从无”的刑事诉讼规则，法律是不是拿被高度怀疑为凶手的人没有办法厂呢? 我们来研究了解一起著名的刑事案件，2003年至2004整个美国都在关注的一桩谋杀案。死者雷西.彼得森，生前是美国加州一名27岁的少妇，生活美满，并且已经有七八个月的身孕。2002年圣诞前夜，她的丈夫斯科特出海钓鱼归来，发现她不见厂。当地警方组织厂大量警力进行地毯式的搜索，但一无所获。四个月后，有人在几十公里外的海滩上发现一具腐烂的胎儿尸体和一具被砍掉头颅和四肢的女尸。经DNA测试，证明是雷西和她未出生的孩子。案情惨绝人寰，随着一桩桩事实浮出水面，警方指控斯科特谋杀厂自己的妻子雷西和未出生的孩子。但

11、是证据呢?雷西的尸体在海水里泡厂好几个月，没有留下任何指向凶手的证据。经过一年多的准备，官司开庭。法庭上，检察官出示厂精心准备的184名证人的证同和几百件证物。这此或强或弱的证据单独看都不免显得薄弱，但放到一起则构成厂一个强有力的证据链并指向一个明确的事件:斯科特杀人。经过半年的审判，2004年11月，十二名陪审团成员一致裁定:斯科特一级谋杀罪名成立，并同意判处死刑 案例分析:难道说由许多独立事件所构成的证据链，其证据效力会很高?答案是“的确如此”。我们从中可以如何设计问题，说出一两点从从概率的角度来解释审判结果的科学性和合理性吗？（小组研讨）,如果凶手杀了人，没有被抓现行，没有目击证人，没有

12、罪案发生时的视频音频纪录，没有在现场留下DNA痕迹，一句话，没有任何“直接证据”，那么根据“疑罪从无”的刑事诉讼规则，法律是不是拿被高度怀疑为凶手的人没有办法了呢?,我们来研究了解一起著名的刑事案件: 2003年至2004整个美国都在关注的一桩谋杀案。死者雷西.彼得森，生前是美国加州一名27岁的少妇，生活美满，并且已经有七八个月的身孕。2002年圣诞前夜，她的丈夫斯科特出海钓鱼归来，发现她不见了。当地警方组织了大量警力进行地毯式的搜索，但一无所获。四个月后，有人在几十公里外的海滩上发现一具腐烂的胎儿尸体和一具被砍掉头颅和四肢的女尸。经DNA测试，证明是雷西和她未出生的孩子。案情惨绝人寰，随着一

13、桩桩事实浮出水面，警方指控斯科特谋杀厂自己的妻子雷西和未出生的孩子。但是证据呢?雷西的尸体在海水里泡了好几个月，没有留下任何指向凶手的证据。令检方压力更大的是,斯科特请到了全美有名的大律师马克.格拉戈斯为自己辩护,格拉戈斯曾担任迈克尔杰克逊等名人的辩护律师,经验丰富,他扬言检方证据薄弱,经过一年多的准备，官司开庭。法庭上，检察官出示了精心准备的184名证人的证同和几百件证物。这此或强或弱的证据单独看都不免显得薄弱，但放到一起则构成了一个强有力的证据链并指向一个明确的事件:斯科特杀人。 1、斯科特和弗雷之间的241通电话记录; 2、斯科特在案发当天打的几个电话经由的不同信号塔,表明其实际去海滨的

14、时间比声称的晚了半小时,有杀人时间; 3、一位水文学家利用计算机模拟信息统计学知识证明证实,拉希母子尸体冲上岸的位置表明其最初漂浮地点和斯科特的出海地点重合; 4、斯科特在凶案前买了一条船,申请了出海驾驶证 5、斯科特在凶案前还购置了水泥,被认为较大可能用于沉尸 ,经过半年的审判，2004年11月，十二名陪审团成员一致裁定:斯科特一级谋杀罪名成立，并同意判处死刑,案例分析:难道说由许多独立事件所构成的证据链，其证据效力会很高?答案是“的确如此”。当时法官们利用智能处理处信息初步有了问题1的设想，警方称10个指向凶手杀人概率只有20%的独立事件,其构成的证据链指向凶手杀人的概率达89.3%。20

15、个呢?可达98.8%!现我们从中可以用概率的问题来解释审判结果的科学性和合理性吗？（小组研讨）,设计问题1：指向斯科特杀人的2个证据:A,B相互独立，假设其证据效力P(A)=P(B)=0.2 ,我们能否求它们构成的证据链效力。,解:P(“A,B至少有一个发生”) =P(A+ B)=P(A)+P (B)一P (AB) =P(A)+P(B)一P(A)P(B) =0.2+0.2一0.2 0.2=0.36,分析：证据链就是由这些证据链接起来的。,设想2：指向斯科特杀人的3个证据:A,B相互独立，假设其证据效力P(A)=P(B)=P(C)=0.2 ,我们能否求它们构成的证据链效力。,P(“A,B,C至少一个发生”)=P(A+B+C) =P (A) + P (B)+P (C)一P (AB)一P (AC)一P (BC)+P (AB C) =P (A) + P (B)+P (C)一P(A)P(B)一P(A)P(C)一P(B)P(C) +P(A)P(B)P(C) =0.2+ 0.2+ 0.2一0.2x 0.2一0.2 x 0.2一0.2x 0.2+ 0.2x 0.2x 0.2 =0.488,设想3：指向斯科特杀人的20个证据:A1，A2，A20相互独立，假设其证据效力P(A1