林宏数与代数板块重难点分析2011、8、4日.ppt

1、,林 宏,单元培训,处天外遥望，地球很小，永远不骄傲， 居体内细察，心域极宽，永远不自卑。,守住传统常识，不动摇； 守住新中国经验，不懈怠； 守住自己的优点长处，不折腾。 （大纲课标；观念理念；建设打造； 自学自主；互助合作；探索探究 传道、授业、解惑-三维目标。）,感悟： 1、跳出教材教教材， 把支离破碎的教材整合，是一种“大数学观”。 2、课程不仅仅是教材，生活才是教材，用生活中的例子教数学。 3、技能训练还是必要的。,主题1：单元备课方法略谈 大备课观； 读好三本书； 创造性使用教材； 充分挖掘习题功能； 主题2：数与代数板块重难点分析 主题3：万以内加减法(一）单元教材分析（勤劳的小蜜

2、蜂） （新课标学习）,教育观点：育人第一 教学观点：培养兴趣比教知识更重要,1、天天练 2、学生日记 3、个人日记,林 宏,抓数学本质 促有效教学,抓数学本质 促有效教学,余文森教授曾明确的指出：有效的课堂教学就是“三维目标”有机达成的教学，即学生不仅在课堂上获得了基本的数学知识与技能，而且还掌握了一定的数学思想方法，能运用所掌握的基本知识与技能、思想方法来解决生活中、数学中所遇到的新问题，并在学习过程中对数学和数学学习产生积极的情感体验和良好态度。（比如学生觉得数学学习很有趣，学习数学自己也可以“创造”定义和公式，而不仅仅是背诵和做大量的数学题。）,案例一,观点： 1、看上去练习量不多，但却

3、把握了数学的本质，使学生悟出“数”和“算式”太神奇了，其价值远远胜于具体的减法计算。 2、让学生充分交流，可以透视执教老师的数学观（抓数学本质）、数学教学观（利用生成揭示数学本质）、以及学生观（尊重学生，以学生为主体）。,思考： 把握数学本质是有效教学的根本。 (1)对数学概念的理解。 (2)对数学思想方法的把握. (3)对数学特有思维方式的感悟。 (4)对数学美的鉴赏。,(1)对数学概念的理解。 所谓“对基本数学概念的理解”核心是“3W”问题。 为什么（Why）：是指为什么学习这一概念？它在教学和生活中有什么用？ 是什么（What）:除了概念的形式化定义外，其本质是什么？其来龙去脉是什么？

4、怎么样（How）:这个概念与其他概念之间有什么联系？怎样建构“概念图”？这些如何在教学中落实？,（2）对数学思想方法的把握 基本数学概念背后往往蕴涵重要的数学思想方法，这些思想方法应该在学习概念和解决问题中落实。主要有： 分类思想，转化（化归）思想、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。,（3）对数学特有思维方式的感悟。 数学是聪明人的游戏，享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。数学有其独特的思维方式。 小学主要思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想、验证，其中“概括”是数学思维方式的核心。,（4）对数学美的鉴赏。 能否领悟和欣

5、赏数学美是一个人数学素养的基本成分，能把握数学美的本质有助于培养学生对待数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩。 数学的基本原则是：求真、求简、求美。 数学美的核心是：简洁、对称、奇异，其中 “对称”是数学美核心。,第一：数的认识- -重在理解意义 第二：“数的运算”-重视口算 强化估算 第三：常见的量重视体验 体会意义 第四：式与方程把握转折： 从“算术”走向“代数” 第五：探索规律-培养兴趣 发展思维 第六：解决问题重视建模 发展能力,第一方面：数的认识-重在理解意义. 整数的认识； 分数的认识； 小数的认识；,一、整数的认识 概述： 首先认识自然数，分四块：认识100以

6、内的数、认识比100大的数，因数与倍数、认识负数。 认识100以内的数一般分为三个阶段，认识10以内的数（含10以内数的加减），认识11-20之间的数（含20以内数的加减），第三阶段认识100以内的数（含相应的加减和表内乘除）。 认识比100大的数，不同版本有不同呈现方式。青岛版是二下学习万以内数的认识，四上学习万以上数的认识。 因数和倍数的教学既帮助学生进一步理解认识整数，又为分数的学习提供准备。青岛版是在四上“除数是两位数的除法”这个单元，利用一个拓展平台呈现，在五下“分数加减法”这个单元又继续学习公因数、公倍数等。 认识负数，在五下第一单元独立呈现。,（一）认数教学以理解数的意义为重点。

7、 让学生理解数的意义、建立正确的数的概念是认数教学的任务。理解数的意义一般有两个角度：从数的组成去建构和联系实际来体会。 把握概念的本质是理解意义的根本，教学时应注意，“数数”活动是自然数概念的形成和理解运算的基础，要重视0、1、5、10的教学，还要重视直观教具的应用。,1、“数数”活动是自然数概念的形成和理解运算的基础。 学前就有“数数”经验，低年级教学时教师往往忽视“数数”的教学，或虽有“数数”的教学却停留在学前类似于念歌谣，对数的意义并不理解，我们老师应在此基础上充分挖掘“数数”的教育价值。,（1）首先，“数数”活动是形成数概念的基础，没有数数这一过程，对数的认识理解是不深刻的。 一个一

8、个数，知道了某个集合的数量，2个2个数或5个5个数，丰富了对数的认识，认识数的特性，例如5个5个数，末尾要么是0要么是5.正着数倒着数能发现“自然数列“的内在规律。 (2)其次，数数活动中蕴藏着丰富的数学思想。如1个1个数，(手指着物体点数)，利用一一对应原则，是学习函数思想上和方法上的准备。 (3)数数是有序的数，否则会遗漏或重复，有序观察、有序思考也是重要思想。 （4）数数为四则运算打好基础。利用数轴，进行数形结合渗透，往前继续数是加，往后倒着数就是减，几个几个往前 数是乘，往后数是除，能数到0就是整除，不能数到0还剩几个就是有余数除法。,2、重视0、1、5、10的教学 数的发展 ：集合的

9、质阶段 、手算阶段 、群计数阶段、结绳数阶段 、结绳数的计数阶段 。 1、5、10是结绳数，是形成自然数概念的“标准数” 。 数9和19等是十进位值制计数体系下的“拐弯数”。,3、重视直观教具的应用 自然数概念的形成不是老师教会的，必须经过实际操作，在操作中感悟、体验，所以要给学生提供可操作的、直观化的材料。包括手指、木棍、豆子、纽扣这些“齐性”材料（每一种材料物理特征都相同，表示的意义也相同），最好不用带图的卡片和糖果等，特征容易分散学生注意力，不利于抽象出数量的意义。另外计数器、算盘等“结构性”（不同数位上每个珠子表示不同的数）“齐性”（同一数位上每个珠子表示相同的数）直观学具有利于学生对

10、数位的认识。使学生在操作中逐步理解用印度阿拉伯十进位值制计数法表示出来的自然数。,4、让学生在生动具体的情境中认识数。 案例：“0的认识”,教学10以内数的认识 结合情境认识10以内的数，是认数的开始，这阶段的教学对建立数的概念十分重要。,5、理解数的意义要与数的读写和计算紧密结合起来。 首先，正确理解数的意义是读好数、写好数的基础。例如：在认识整百数时，可让学生经历以下过程： 在活动中，学生体会到同一个数字在不同数位上表示的数值是不同的，初步渗透位值思想，帮助学生进一步理解数，从而达到更好地掌握数的读写的目的。,其次，熟练地读数、写数，也能更好地帮助学生理解数的意义。 教材编排是先认识一个范

11、围的数，接着就是学习这个范围内的数的有关运算。所以认识数的教学必须为数的运算的教学作铺垫。读写教学中要注意：在低年级，对数的分解和组成，要作为基本的技能来训练；在高年级，要在读写中体会数的分解与组成。读写数教学的重点是万以内数的读法和写法。读写数教学的难点是多位数的读法和写法，特别是中间有0的数的读、写。突破的方法是先分级，再从高往低逐级读，熟悉了读法，写法也就不难了。 另外，现行各版本都没有用文字形式总结多位数读法和写法，这不是不重视读写数的基本方法，而是为教学留出空间，由教师引导学生 体验方法、交流方法。其实学生总结的方法是自己真实的体会和经验。,6、让学生在数学活动中形成数感。 “数感”

12、主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达的交流信息；能为解决问题而选择适当的算法，并对结果的合理性作出解释。 数感与具有数学知识的多少、与理解数学知识的程度有关，但绝不是正比例关系。数感更多地表现为应用数与运算的态度与意识，突出表现为主动、自觉地应用。小学生的数感与是否得到培养紧密相关，而这种培养需要老师的精心设计，所以我们要善于设计活动。,（二）、了解十进制计数法对理解数的意义有重要作用。 整数的计数方法是十进制计数法，学生了解十进制计数法对理解整数的意义有重要的作用。 十进制计数法的主要内容有两部分： 一是计数单位间的关系每相邻两个

13、计数单位间的进率是10； 二是计数法的位值原则哪一个数位上的数是几，就表示有几个这样的单位。,（1）认识10是关键。 （2）按单位数数。 （3）不断扩展数位顺序表。,（1）认识10是关键。 学生从认识1，2，3起，老师就应帮助学生体会，数字是用来表示生活中各种不同的数量的，每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示。当数量从9增加1到了10，按理应该用一个新的符号来表示，但这样一来，如果每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示，就需要有无限多的符号。前人在9的后面用“10”来表示，没有创造使用新符号，而是用了一个新数位，十位上的“1”就代表10，这样就方便多了，一个10和几个

14、1是十几，就有了11，12，13，这就是位值制的基础。这样，0到9十个数字就可以表示出生活中无限多的物体的个数。这个创造太科学了，可以让学生从中体会到数学的抽象性与符号性的好处。所以，教学中建立好10的概念非常重要。,（2）按单位数数。 为帮助学生了解十进制计数法，可以通过一个单位、一个单位地数，逐步建立新的计数单位。学生在学习万以内数的时候，就要明确地知道，10个一是一十、10个十是一百、10个百是一千、10个千是一万，即10个单位就是一个相邻的较大单位。学习比万大的数，可以一边数一边接受10个万是十万、10个十万是一百万、10个百万是一千万，从而引出了新的计数单位十万、百万和千万。一千万一

15、千万、一亿一亿、十亿十亿地数，教学计数单位亿、十亿、百亿和千亿。在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率都是10。,（3）不断扩展数位顺序表。 随着认识的数越来越大，教师应不断扩充完善数位顺序表。从认识1020的数起，就让学生了解个位和十位。认识百以内数时，及时补充认识百位。在“认识万以内数”的时候，第一次出现了数位顺序表。在认识整数的最后一个单元里，学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，把十万、百万、千万这三个计数单位引上计数器，了解个、十、百千万在计数时的排列顺序。然后让

16、学生在数位顺序表里填写十万位、百万位和千万位，通过填写知道从个位到千万位的数位顺序，初步把这些数位分成个级和万级。再扩展到亿级，表里的内容也丰富了，有数级、数位、计数单位。教材把亿级及相关的数位、计数单位都留给学生填写，让他们知道数级、数位和计数单位间的对应关系。在整理了数位顺序表后，还应通过“每相邻两个计数单位之间有什么关系”这个问题，概括地讲述十进制计数法。 体会位值原则，有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读数、写数的方法。,（三）让学生体会数学符号产生的需要和作用。 数感、符号感、空间观念、统计观念等都是由标准首次明确地列为数学课程的学习内容。标准把数学思考落实到建立初步的两

17、“感”、两“观念”上，落实到学生认识并掌握重要的数学知识的过程中 。 符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表现；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。 符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解以及主动地使用符号的意识和习惯。这里包含三层意思：一是理解各种数学符号的意义，即表示什么意思，在什么时候使用以及怎样使用，这是发展符号感的基础。二是理解数学符号的作用与价值：为什么使用符号、有哪些好处，这是发展符号感的重点。三是在学习数学和应用数学时，在独立思考和与人交流时，都能经常地、主动地甚至创造性地使用符

18、号，这是具有符号感的表现。,发展学生的符号感可以从以下几方面进行： （1）结合数学内容，体会数学符号的作用。 （2）参与创造符号，体会符号发展过程。 （3）鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。,（1）结合数学内容，体会数学符号的作用。 常见的数学语言有文字语言和符号语言，符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式简练地表示出来，方便人们进行表达、交流、思考以及解决问题。 教学常用的数学符号，首先要注意结合具体的情境，让学生了解数学符号产生的需要，体会由于使用符号，才能清楚、简便地表达这些具体情境中的数量关系和变化规律。数学符号为我们进行表达和交流带来了便捷。其

19、次要在具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，使学生认识符号、会用符号，体会到符号是语言的一种形式，数学符号是数学语言的一部分。,（2）参与创造符号，体会符号发展过程。 数学符号在数学教科书里有很多。如表达大小关系的符号“”，“”和“=”；表达运算的符号“”，“”，“”，“”；表达运算顺序的小括号、中括号；0，1，2，3，9是数字符号，它们能组成无数个数；小数点、分数线、百分号、千分号等是特定的数学符号；字母也可以作为符号，用来表达数量关系、计算公式这些符号是人们公认的，习惯使用的，属于数学事实。 当学生在具体的情境中体会到需要符号的时候，先让学生经历自己创造数学符号的过程，体会到

20、数学符号原来并不神秘，是人创造的，在长期的生产生活中不同的符号在使用时逐步发展统一成现在的符号。这也能帮助学生形成符号感。 案例,（3）鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。 数学符号中还有一类不容忽视。这类符号只属于个人，是个人创造并习惯使用的。这类符号更有利于人开展数学思考，发现规律和找到解决问题的方法，更便于表达和交流。在过去的数学教学中，往往忽视了这一类数学符号。在使用自己的符号时，最能体会符号的价值，最能感受符号对自己思维的帮助，也最能积累使用符号的经验。这些正是符号感最重要的部分。所以应尽量鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。,(四)帮助学生认识负数，实现认识数的质的飞跃。 现实世界

21、中存在着许多具有相反方向的量，或某种量的增大和减小，也可用这种量的某一状态为标准，把它们看作是向两个方向变化的量。要确切地表示这种具有相反方向的量，仅仅运用原有数（自然数和分数）就不够了，还必须把这两个互为相反的方向表示出来，于是产生了正数和负数。数从表示数量的多少到不但表示数量的多少，还表示相反方向的量，是数的发展的一个飞跃，老师要帮助学生完成这个飞跃。,正数和负数的认识，过去安排在中学有理数中学习，标准安排在小学的第二学段初步认识负数，有利于完整地建立整数的概念。教学时要注意： （1）通过丰富多彩的现实生活情境，帮助学生了解负数的意义。 （2）借助直观，理解相反的分界点与“0”的关系。知道

22、0既不是正数，也不是负数。 （3）通过分步呈现数轴（不用告诉数轴名称）等办法，使学生认识到正数都大于0，负数都小于0。 （4）关于运算到第三学段解决。案例,二、分数的认识,分数的意义与运算的教学是小学数学教学中的重要内容。分数的意义对于小学生来说是个比较抽象的概念，教材一般是采用螺旋上升的安排，教材分两次完成对分数的认识，加上最后认识的百分数，对分数的认识分成了三个阶段： “分数的初步认识”一般安排在第一学段； “分数的意义”一般安排在第二学段；在这两个单元中认识的分数都是正分数。 在学习了分数的四则运算后，又安排认识百分数。,1、在与自然数的联系中借助直观来初步认识分数。,“分数的初步认识”

23、，是学生第一次建立分数的概念， 教材特点： （1）单位“1”由一个物体组成；即每次平均分的都是1个物体，如一个饼、一个圆等。 （2）只认识真分数以及分子分母相等的假分数。因为分得的结果，每一份都比1小。取一份或几份或全部，所得的分数都小于1或等于1。 （3）分母都比较小。 （4）不概括分数的定义，只通过直观描述初步建立分数概念。,由于是对分数的初步认识，应充分运用形象和直观手段，让学生在具体的情境中操作感悟，如通过操作活动初步理解分数，能够将图与分数相互表示。 课堂结构一般是： （1）创设一个平均分的情境引出分数； （2）动手操作（如折纸、涂阴影等）感知和初步理解分数； （3）在练习（图与数相

24、互表示）中巩固和进一步理解分数。,2、分数的意义教学主要下力解决对单位“1”的深入理解,分数的意义这个单元，是让学生在对分数有了初步认识的基础上，进一步系统的认识分数。特点是： （1）单位“1”由“一个”变成“一些”； (2)给出分数定义。,教学时，主要突出“也可以把一堆物体看作是一个整体来平均分”的思想。如一堆苹果、一个班级人数等，如果看成一个整体也平均分的话，分得的结果，每份也可以说是这个整体的几分之一。而这个几分之一，可能含有一个、两个、若干个，表述成“表示这样一份或几份的数是这个整体的几分之几”。 案例,3、抓住百分数的特征进行教学。,百分数有两种情况：一种是分母是100的分数，另一种

25、是表示一个数是另一个数的百分之几的数。我们说的百分数一般指的是后者，它在写法、读法上与前者也有区别，用%来表示。,认识百分数要注意以下四点： 1、分数即可表示两个数之间的关系，也可以表示具体的数量。百分数只表示两个数之间的关系，并不表示具体的数量。 2、分数可能有单位，也可能没有单位，但百分数不能加单位。 3、分数一般用最简形式来表示，但百分数为了便于比较，分母固定为100，当分母分子不互质时，不用约分成最简分数的形式，也不用化简成带分数，而且分子也可能是小数。 4、由于百分数的广泛应用，认识百分数应该联系学生的生活实际，并通过日常生活的运用加深理解概念，体会百分数的好处。,课例分析： 1、上

26、课前安排学生在生活中找一个实际应用的百分数（体现大备课观）； 2、学生课上汇报，老师呈现信息。并问学生项研究什么？ 3、老师梳理：百分数的意义是什么？用百分数有什么好处？百分数和分数有什么不同？ 4、老师设计好表格，学生探究百分数的意义。 5、小组合作学习，比较百分数与分数的不同。,思考： 百分数在日常生产和生活中使用频率很高，学生虽未正式认识分数，但对百分数却并非一无所知。因此，教师上课前让学生调查生活中的百分数完全可行，而且让学生体会到百分数在生活中的广泛应用，认识到知识对于个人的意义，对激发内在的学习动机起到了很好的作用。更难能可贵的是教师在本节课中把学生调查到的数据和问题作为学习和研究

27、的对象，学生是在理解和解释自己及同学调查得来的数据的过程中认识百分数的。 每人一张学习表，每人收到的数据和事例不尽相同，这种一人一表、一人一例的方法，与全班共同研究一个例题的方法相比，好就好在迫使每个学生都必须独立思考，都必须在不同的情境中回答相同的问题，既需要每个人的独立思考，也可以随时交流，大量的实例有助于学生在整体上把握百分数的概念和意义，体会它的作用和好处。,三、小数的认识。,我们现在常用的计数制是十进制，它的重要特征是位值制，即写在不同位置上的数字表示着不同的值。当人们在度量可以分割的量时，常常把作为单位的量细分为它的 1/10，1/100 ，1/1000 ，这样就得到一种以10的幂

28、为分母的特殊的分数，这种分数叫十进分数。为了应用上的方便，人们把十进分数改用位值制的记法，这就是小数。在有理数范围内的小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式. 当分数的分母是10，100，1000，时，可以用一位小数、两位小数、三位小数等来表示。由十进分数改写的小数都是有限小数，所以所有的有限小数都能改写成分数.,在小学里学生还要遇到无限循环小数，它可由不能化成十进分数的分数改写而成，所以无限循环小数也都可以改写成分数。有限小数和无限循环小数都是有理数范围里的数。 无限不循环小数不能由分数改写得到，它是无理数的一种表现形式。在小学生认识的数里，只有圆周率 3.141592是无理数，

29、但这并不需要告诉学生。它只是在计算圆周长的时候才被介绍到。,小数概念的引入，通常有两种做法： 一是从生活实例出发； 二是从表示度量结果的需要出发。,认识小数分为两个阶段： 第一阶段是小数的初步认识，特点是： （1）联系生活实际中具体的量来认识小数； （2）以一位小数为主； （3）不定义小数，只描述为：像0.5，1.06，16.85，这样的数叫做小数。 第二阶段较系统地认识小数的意义。特点是： （1）给出小数的定义：分母是10，100，的分数，可以用小数表示； （2）再次扩展数位顺序表，建立十分位、百分位、千分位的概念； （3）运用小数的计数单位分析小数的组成、小数的性质，比较小数的大小； （4

30、）把非整万（亿）的大数改写成以万（亿）为单位的小数等。,策略： 1、充分运用生活经验，建立小数概念。 2、数形结合，教学小数的知识。 3、始终把小数的意义作为教学重点。 4、利用知识迁移，建立小数与分数的联系。 5、沟通整数与小数计数与比较方法的关系。,1、充分运用生活经验，建立小数概念。 虽然小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式。但在生活中最常见到的是小数，如2.45元，30.8米，2.5吨等具体的数量，而不是分数。所以学生认识小数，不一定要从分数的概念入手，可以由测量长度的结果不是整米数、物品的价格不是整元数出发引入小数。也可以直接运用生活中各种鲜活的实例，让学生感受小数的现

31、实作用。学生已有的经验能够支持学生理解小数的意义，发现小数的性质，进行比较大小的活动，从而实现感性认识到理性认识的飞跃。,2、数形结合，教学小数的知识。 小数的意义是比较抽象的数学概念，小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。如用大正方形表示整数“1”，它的十分之几、百分之几分别表示成一位小数、两位小数；依托直尺显示几厘米是百分之几米，是零点零几米；在数轴上建立点与相应的一位小数、两位小数的联系这些都有助于学生领会小数的知识。,3、始终把小数的意义作为教学重点。 小数的意义是进

32、一步学习小数的性质、比较小数大小、改写大数的方法的基础。 十进分数除了可以写成分母是10，100，1000，的分数形式外，还可以写成另一种形式，即小数。具体地说，分母是10的分数还可以写成一位小数，一位小数表示十分之几；分母是100的分数还可以写成两位小数，两位小数表示百分之几教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系，这就是学生需要建立的小数概念。 教学小数的意义，要不要从一位小数到两位小数，再到三位小数、四位小数依次逐一进行？我们认为不一定。因为一位小数与十分之几的相互关系在三年级时已经了解，只不过学生对这种关系只有初步的感受，并不是很清楚。三位小数、四位小数与一位小数、两位小数在意义上有

33、区别，但本质上又是相通的，有一致的方面。一位小数与两位小数的意义和读写方法，对三、四位小数具有可迁移性。因此，教学时，可以两位小数的意义为主要研究对象，向前联系一位小数与整数，往后发展到三位小数和四位小数，逐渐形成比较完整的小数概念以及计数方法。,4、利用知识迁移，建立小数与分数的联系。 迁移，指一种学习对另一种学习的影响。分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接、显著的影响；小数的意义和整数的大小比较或加减计算对小数的大小比较或加减计算有直接、显著的影响。反过来，后者的学习对前也有促进作用。迁移，有时在听教师讲解的过程中实现。 例如，“5分米和4分米分别是几分之几米”是学生已有的知识

34、，只要通过提问，引起学生的回忆和思考，就不难解决。然后不妨直接告诉学生：“5/10 米还可以写成0.5米， 4/10米还可以写成0.4米。”注意：是“还可以写成”，也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接的联系，使学生进一步体会到，十分之几和一位小数，百分之几和两位小数之间的关系。用单名数或复名数表示具体的数量、把正方形平均分成10份，100份，1000份，表示其中的若干份以及用数轴表示数，过去曾经是认识整数、分数时常用的模型，而现在又拓展到了小数。比如，把一个正方形平均分成10份，100份，其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示。到了这时，学生理解的小数已经不是具体的量了

35、，自然就接受了不带单位的小数。这些做法，无论对小数意义的接受、理解，还是对小数的模型的建立，培养关于小数的数感，都很有帮助。,5、沟通整数与小数计数与比较方法的关系。 整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的进率都是“十”，小数的计数方法是整数计数方法的扩展。教学中要设计相应的教学环节，把整数的计数方法迁移到小数，为学生在计数的经验和方法上建立联系。不仅如此，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统，把原来认识的整数数位表扩充到小数，把分数单位和小数的计数单位联系起来，使学生逐步在头脑中建构起完整的认数体系。 学生已经掌握的比较整数大小的知识，有些可以应用于比较小数的大小，也有些需要在认

36、识上做必要的调整。如，在整数中，位数多的数一定比位数少的数大（四位数大于三位数）。而在小数中未必一定如此（三位小数不一定比两位小数大）。因此，从比较整数的大小到比较小数的大小，不是单纯的认知同化和方法迁移。,综上所述，理解数的意义是数学课程的重要任务。小学阶段主要学习整数、小数、分数等数的概念。这些概念本身是抽象的,只有为学生提供充分的可以感知的现实背景，才能使学生真正理解数的意义，建立数感。,第二方面：“数的运算”-重视口算 强化估算,一、教学要点。 第一学段总体要求：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述算理。” 第二学段总体要求：“应重

37、视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问题抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。”,教学中，注意如下问题的解决。,1、如何建立四则运算概念？ 首先，应注重在具体情境中体会运算意义。 四则运算是小学数学最基础的知识。一般对加法的定义是：“把两个数合并成一个数的运算。”减法的定义是：“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。”乘法的定义是：“求相同加数的和的简便运算。”除法的定义是：“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级

38、的小学生来说，仍是十分抽象的。心理学研究表明，当一个数的运算与所代表的情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。因此标准提出“结合具体情境”的要求。 案例：加法和乘法,2、如何重视口算教学？,口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，它不仅仅是笔算的基础，而且也是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。口算还是数感发展过程中的一个重要部分。,“重视口算”的目标，应注重： （1）在数形结合中理解口算原理。 数的运算，其实质是对现实生

39、活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡为数学的语言符号。 案例“整百数加、减整百数”,（2）科学合理地训练，强化基本口算。 在小学的口算内容中，两个一位数相加与其相对应的减法、表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，俗称“四张九九表”，这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。(不当：低年级过分提高口算速度要求，每分30-50道 ，而中高年级则忽视基本口算训练，过分依赖笔算。）,要强化基本

40、口算，首先应重视基本口算方法的教学。 小学生口算的方法一般有三个层次：逐一重新计数借数数加算或减算按数群运算。 在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。所谓数群，是指学生在计数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。所谓按群计数，就是计数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个地数、五个五个地数，等等。同时我们还应该注意，在教学初期，为了达到算法指导下的正确计算，可不做计算速度的要求。,其次，应注重退位减法与表内除法的思维教学。小学生正处于“具体运算阶段”，思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。而20以内退位减法和表内除法在很大程度上依赖于学生的逆

41、向思维。因此教学口算方法时，要特别强化退位减法和表内除法的基本计算思维（算减想加、算除想乘）的教学，以帮助学生掌握基本方法，同时有意识地培养学生的逆向思维能力。 再次，应注意口算训练的科学性。要提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期，做到适时、适量、适度。具体说来，一要注意加强课堂练习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性，抓住难点反复练习，不能平均用力；三要注意练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。,3、如何加强估算意识？,估算的价值：估算具有重要的应用价值，是学生应该具备的重要的计算技能。随着计算技术的进一步发展，大量的计算并不

42、要求进行精确的计算，一个人在日常生活中进行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。在小学阶段的计算教学中，与估算相关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算，等等。 课标中强调“加强估算”。,3、如何加强估算意识？,（1）培养数感是打好估算的基础。 数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。在估算中数感主要表现为能在具体情境中把握数的相对大小关系，能为解决问题而选择适当的算法，能对结果的合理性作出解释。估算可以发展学生对数的认识，培养数感；同时，良好的数感又是学生进行估算的必要基础。除了在数的认识时要加强数感的培养，在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。,3、

43、如何加强估算意识？,（2）掌握估算方法，养成估算习惯。 有研究表明，小学生最常使用的估算方法主要有三种：简约、转换和补偿。所谓“简约”，是指学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。例如估算“495310”，把495看作500，把310看作300，这样估算时只要想比较简单的形式“500300”即可。所谓“转换”，是指学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。例如，估算加法问题“602597589”，把加法问题转换为乘法问题：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运算中的不足，使估算比较准确。例如，“6025

44、97589”这一问题，学生在转换时可能会进一步想：“答案大约是1800，而且会稍小于1800，因为我在将每一个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。”,在教学中也常常发现，有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯，每做完一道题目，可以先估计一下数值，然后与实际计算所得的答案比较，及时觉察出错误并加以更正。,案例： 一个同学说“我有一串五色珠子，共98颗，每种颜色颗数都相等。”另一位同学经过估算指出“这是不可能的”。这里，后一位同学就是用估算进行了判断。他可能用乘法的思路：5乘一个数的得数个位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：

45、98除以5，是有余数的。 可见，养成了估算的良好习惯，能解释结果的合理性，验证了计算的精确度。,4、如何体现算法多样化？,标准中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应新生学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”要体现“算法多样化”的思想，应注重以下三方面： （1）理解算法多样化的内涵。 所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。这两者都由一定的程序与规则组成，因此运算方法与解题策略有共性也有区别。前者更偏重于技能，可以通过练习获得，并进而成为技巧，而后者虽然也可进行训练，但由于信息复杂，更多要依靠思维能力。两者无本

46、质区别，只有层次之差。,（2）找准算法多样化的前提。 现代学习心理学研究表明，实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。,（3）把握算法优化的标准。 过去我们仅仅用成为认为唯一合理的方法作为基本算法教给学生。现在我们认为的基本算法是什么呢？其实，基本算法并不是唯一算法

47、，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。以此为基础，这里提出判定基本算法的三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法；三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。理想的基本算法是三位一体的。在小学阶段，随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。,二、计算教学存在的基本矛盾和处理策略。,1、情境创设与复习铺垫。 现在的计算教学几乎不见了过去教学中的“复习铺垫”，取而代之的是“情境创设”。目前大多计算教学的一般教学流程常常是： 教师创设情境、学生提出问题、独立思考算法、反馈交流算法、自主选择算法。 为此，计算课不是从“买东西”开始，就是到“逛

48、商场”结束。一些教师在上课时首先关注的不是学习内容本身，而是如何挖空心思创设新奇诱人的所谓“情境”。现在的计算教学，很难再看到过去常见的复习铺垫了。 难道情境创设和复习铺垫真是水火不相容吗？情景创设和复习铺垫之间到底是怎样的关系？,建构主义学习理论认为，学习总是与一定的社会文化背景即“情境”相联系的，在实际情境下进行学习，有利于意义建构。的确良好的问题情境能有效地激活学生的有关经验、体验。标准也非常强调，计算教学时“应通过解决实际问题进一步培养数感，增进学生对运算意义的理解”；“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程”；“避免将运算与应用割裂开来”。 然而任何事物

49、都不是绝对的。因为数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要。数学两方面的来源都可能成为我们展开教学的背景。例如，“负数”过去很少出现在小学，现在标准规定要引进负数。现实生活中存在着大量的具有相反意义的量，可以作为学习负数的素材；同时，从数学本身出发，为了解决诸如“23”不够减的矛盾，也需要引进一种新的数，同样是小学生易于感知的问题情境。这里，选择两种角度之一导入都是可取的。,问题的另一方面，计算教学之前还要不要“复习铺垫”呢？ 其实，新课前的复习铺垫其主要目的，一是为了通过再现或再认等方式激活学生头脑中已有的相关旧知，二是为新知学习分散难点。

50、前者，只要有必要，则无可厚非。问题在于后者。常常有人为了使教学“顺畅”，设计了一些过渡性、暗示性问题，甚至人为设置了一条狭隘的思维通道，使得学生无需探究或者只要稍加尝试结论就出来了，这是不可取的。 案例9加几,一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，只要让学生掌握计算方法后，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求了。结果不少学生虽然能够依据计算法则进行计算，但因为算理不清，知识迁移的范围就极为有限，无法适应计算中千变万化的各种具体情况。,2、算理直观与算法抽象。,算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。 算法是实施四则计算的基本程序和方法，通常是算理

51、指导下的一些人为规定。 算理为算法提供了理论指导 ，算法使算理具体化。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。因此在计算教学中重视算理和算法是一个十分重要的课题。,2、算理直观与算法抽象。,现在，在计算教学中都十分重视让学生理解算理，特别是让学生在直观形象中理解算理，让学生不仅知道计算方法，而且知道驾驭方法的原理。 案例“一位数乘两位数的笔算”,3、算法多样与算法优化。,大家对“算法多样化” 比较认可，计算教学一改过去“教材选定算法教师讲解算法学生模仿算法练习强化算法”的机械模式，出现了非常可喜的变化，“算法多样化”已成为计算教学最明显的

52、特征。 案例“两位数减一位数的退位减法 ”,4、解决问题与技能形成。,标准中不再设置专门的“应用题”领域，而是注重让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题”。 现在的计算课，如何处理解决实际问题与计算技能形成之间的矛盾？计算本身的问题如何解决？,发现： 为了体现计算与应用的密切联系，在计算教学时不少教师总是从实际问题引入，在学生初步理解了算理后，马上就去解决大量的实际问题。 表面上看，学生的应用意识得到了培养，但另一方面我们也发现，学生常常是算式列对了，计算错误率却很高。一段时间下来，学生的计算能力并未达到目标，于是再反过来进行大

53、量的训练，使得不少学生短时间内似乎计算正确率和速度提高不少，但实际上违背了学生的认知规律，学生的计算技能并没有实质性的提高，更为严重的是，这种简单化的处理大大挫伤了学生的学习热情。,教育心理学认为，计算是一种智力操作技能，而知识转化为技能是需要过程的，计算技能的形成具有自身独特的规律。 学生计算技能的形成一般要经历四个阶段，即：认知阶段、分解阶段、组合阶段、自动化阶段。认知阶段主要是让学生理解算理、明确方法，这比较容易做到，而后面三个阶段常常被老师们忽视。 一般说来，复杂的计算技能总是可以分解为单一技能，对分解的单一技能进行训练逐渐组合，才能形成复合性技能，再通过综合训练就可以达到自动化阶段。

54、,过去计算教学中单调、机械的大量重复性的过度训练是要不得的，但是，在计算教学时只注重算理理解和解决实际问题，对计算技能形成的过程如蜻蜓点水一带而过，也是不利于培养学生的计算能力的。 特别需要指出的是，在学生初步理解算理、明确算法后，不必马上去解决实际问题，因为这时正是计算技能形成的关键阶段，应该根据计算技能形成的规律，及时组织练习。 具体地说，可以先针对重点、难点进行专项和对比练习，再根据学生的实际体验，适时缩减中间过程，进行归类和变式练习，最后再让学生面对实际问题，掌握相应的策略。,总之，计算教学的基本矛盾的平衡对于数学课程改革的成败有重要的影响，数学课程改革的深入推进也对计算教学的基本矛盾

55、起着缓和或激化的作用。计算教学的基本矛盾也会出现不同的表现形式。 在处理这些矛盾时，应该从数学教育本质出发，在大胆创新的同时，吸取传统教学中的优势，以计算教学基本矛盾的平衡为导向，促进计算教学的深入改革，为切实提高学生的计算能力和数学素养打好基础。,小学阶段常见的量很多，在这部分内容的教学中，应把通过学生的体验、感悟，来体会“量”的意义作为重点。,第三方面： 常见的量重视体验 体会意义,1、注重直接体验和间接体验的有机结合,“常见的量”这部分内容的操作性比较强，而教材的编排中也安排了很多活动，如毫米的认识中的测量课本，分米的认识中的测量课桌，千米的认识中要求到校外走1千米的路程，秒的认识中要求

56、学生通过踢毽子、画画、走楼梯、写字等活动体验1分钟的长短等等，目的就是让学生在活动中积累体验和经验，从而建立相应的观念。因此，在教学中我们要充分创造让学生亲身体验的机会。 案例克与千克,案例：一位教师执教这一课时，只准备了3袋25千克的大米，首先让学生掂一掂、抬一抬，感受25千克的大米有多重，接着要求学生选一位班上力气最大的同学上台，看一看他能抱几袋。最后借助多媒体让学生想象1吨有这样的几袋大米。这时大屏幕上的大米4袋4袋（因为4袋为100千克）地呈现，学生依次数着：100千克、200千克、300千克当40袋大米占据全屏时，学生由衷地发出感叹：1吨有那么多、那么重呀。 分析：这样的活动，既让学

57、生直观地看到了1吨的实际意义，也很好地沟通了吨和千克之间的关系。,但并不是所有量的实际意义都可以通过操作获得亲身感受和体验的，所以，教师在着手教学以前，必须要认真思考： 哪些内容必要而且可能让学生直接去体验？ 哪些内容只能让学生借助推理和想象进行间接体验？ 如在质量单位中，1克与1千克的实际含义可以让学生通过掂一掂、称一称等活动获得直接体验，但1吨有多重就不可能让学生直接去体验，只能借助间接体验和想象去理解。,2、要注意活动素材的选择应与教学重点相结合。 组织课堂活动，往往需要花费很多时间，而一节课只有35分钟，一个班又有五六十个，甚至六七十个学生，因此，要提高课堂效率就必须注意活动素材的选择

58、应与教学重点相结合。 案例 秒的认识,3、要注意课内外的结合,学生对于一些量的实际意义的理解，以及相应的量的观念的建立往往不是一次完成的，需要长期积累，而课堂教学的时间又非常有限，因此，需要拓展学习渠道，注意课内外的结合。如为了帮助学生建立1时、1分、1秒的时间观念，实验教材选用了许多贴近学生生活实际的素材，但不见得都要在课堂上完成，如练习中让学生估计穿衣、刷牙、吃早饭、整理书包等的时间，写出自己每天的作息时间，了解自己感兴趣的电视节目开始和结束的时刻，等等，都可以让学生课外去完成。再如千米的认识，要在课堂上让学生去实地走1千米，无论是场地还是时间都会受到限制，可以让学生课外去完成，记录自己走

59、1千米大约要花多少时间。,第四方面、式与方程把握转折： 从“算术”走向“代数”,“式与方程”是代数学习的开端，作为学生进行数学学习的重要转折点，教师在教学中要注意的问题比较多。,1、学习用字母表示数，要循序渐进。,用字母表示数是代数学习的首要环节，理解用字母表示数的意义是学习代数的关键，也是在后续学习中运用代数式、方程、不等式、函数进行交流的前提条件。 学生对用字母表示数的理解，要在经历大量运用字母表示具体情境中数量关系的活动中实现。 在教学时，要从学生熟悉的生活中选择一些典型的数量关系，引导学生用字母表示。 案例 用字母表示数,2、 认识方程，要体验“数学建模”。 方程思想的首要方面是“能根据具体问题中的数量