九下-26-15-反证法.ppt

1、,反证法,26.3,学习目标,1.什么是反证法； 2.反证法证明命题的一般步骤； 3.会用反证法证明数学命题。,预习提纲,1.什么是反证法？ 2.反证法证明命题的一般步骤是什么？,从前有个人叫小王，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有小王站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”,路边苦李,小故事,小朋友问小王:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”,小王说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还有那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”,小朋友摘来一尝，李子果然是苦的,没法吃。,间接证明,那么李子究竟是

2、不是苦的?,直接证明,常用的间接证明方法是:反证法,已知：A， B， C是ABC的内角. 求证： A， B， C中至少有一个 不小于60,从以上例子使我们明白到要证明一个结论成立,除了直接证明的方法,还可以用间接证明的方法去证明,那么在数学结论的证明过程中什么时候才用反证法?反证法的有关概念?,已知：A， B， C是ABC的内角. 求证： A， B， C中至少有一个 不小于60,证明：,假设 的三个内角A，B，C都小于60，, A+B+C180,反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。,一、反

3、证法的一般步骤： （1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）； （2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。,二、应用反证法的情形： 直接证明困难; 需分成很多类进行讨论 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题； 结论为 “唯一”类命题；,反证法的思维方法：正难则反,三、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用 的互为否定的表述形式是有必要的， 例如：,准确地作出反设是反证法证题的前提。,不是,不都是,不大于,不小于,存在某x不 成立,存在某x 成立,一个也没有,至少有两个,至多有(n-1)个,至少有

4、(n+1)个,非p且非q,非p或非q,一些常用正面叙述的语句和否定的语句列表如下：,一般以下几种情况适宜使用反证法,（1）结论本身是以否定形式出现的一类命题；,（2）有关结论是以“至多”，或“至少”的形式出现的一类命题；,（3）关于唯一性、存在性的命题；,（4）结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题（正难则反）.,练习,1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.(1)证明: 是无理数. (2)互补的两个角不能都大于90. (3)ABC中,最多有一个钝角,假设互补的两个角都大于90.,假设ABC中,至少有两个钝角,假设 不是无理数,(4)证明:13个人中至少有两个人的生日在同一个月,

5、(5)证明:垂直于同一条直线的两个平面互相平行,假设13个人中任何两人都不是同一个月生日,假设垂直于同一条直线的两个平面不平行,2、“已知: ABC中,AB=AC.求证:B180.这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以B90. (3)假设B90.(4)那么,由AB=AC,得B=C90.即B+C180.这四个步骤正确的顺序应是( )A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1),练习,C,练习,3.写出下列命题，用反证法证明的第一步 （1）已知a=b，则a2=b2 （2）三角形最小的角小于或等于600 （3）两条直线相交，只有一个

6、交点 （4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交,4.用反证法证明ABC中至多只能有一个角是直角。,5.用反证法证明在同一个圆中,如果两条弦不相等， 那么它们的弦心距也不相等。,1.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,分析:假设C没有撒谎, 则C话为真.,由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾.,那么假设C没有撒谎不成立;,则C必定是在撒谎.,- -那么A话为假且B话为假;,拓展探究,拓展探究,2.平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形,证明：假设以任意三个

7、点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。,(1)如果点D在 之内，根据假设，,都为锐角三角形,所以,这与一个周角为360矛盾。,演练反馈,2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形,(1)如果点D在 之外，根据假设，,都是锐角三角形，即,这与四边形内角和矛盾。,所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。,即这些三角形不可能都为锐角三角形。,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设 归谬 结论,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,3.反证法的推导问题的模式：,否定命 题结论,推导过程中 引出矛盾,与已知条件矛盾,与已有公理、定 理、定义矛盾；,自相矛盾。,否定 假设 肯定 结论,4.应用反证法的情形 (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论 (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” “否定”类命题； (4)结论为 “唯一”类命题；,总结提炼,课外思考 已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0， ab