建筑力学D11梁和结构的位移.ppt

1、第十一章 梁和结构的位移,第十一章 梁和结构的位移,111 概述,112 梁的挠曲线近似微分方程及其积分法,114 单位载荷法,113 叠加法,117 结构的刚度校核,115 图乘法,116 互等定理,111 概述,工程中的弯曲变形,x,y,x,y,P,y=y(x),梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲线。,梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用y 来表示。挠度以向下为正，向上为负。,梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用 来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。,梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程和转角方程。,x,y,x,y,P,y=y(x

2、),梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：,小变形下， 很小，tg ，于是得,这就是梁的变形，挠度与转角的关系。,113 叠加法,一、简单梁简单荷载下的变形,A,B,EI,l,A,B,EI,l,A,B,EI,l,m,P,q,A,B,m,A,B,l/2,A,B,EI,EI,EI,q,l/2,P,l/2,l/2,l/2,l/2,C,C,C,二、叠加法计算梁的变形,A,B,l/2,EI,l/2,P,C,m=Pl,A,B,EI,l/2,l/2,C,A,B,l/2,EI,l/2,P,C,=,+,m=Pl,=,=,+,+,三、几种基本变化, 悬臂梁,荷载在內侧，求端部位移,a

3、,b,A,B,P,C,EI,yB,荷载在外侧，求内侧位移,a,b,A,B,P,C,EI,yB,A,B,P,C,C,a,b,P,M=Pb,Fs=P, 外伸梁,P,A,B,C,l,a,yc,yc1,Ba,A,B,l,a,P,Fs=P,M=Pa,P,B,B,C,B,C,C,Ba,yc1,P,例6 求图示梁B，C 截面的转角和挠度。,A,B,C,EI,l/2,l/2,q,解：,A,B,C,EI,q,A,B,C,EI,q,+,A,B,C,EI,l/2,l/2,q,A,B,C,EI,q,A,B,C,EI,q,+,A,B,C,EI,l/2,l/2,q,A,B,C,EI,C,q,Fs=ql/2,Fs=ql/2

4、,M=ql2/8,l/2,2、计算结构位移的一般公式,1. 定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。,114 单位载荷法,经进一步推导，可得,式中：,E -弹性模量； G -剪切模量； A -横截面积； I -截面惯性矩；K-截面形状系数。,3. 荷载作用下的位移公式,如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移 Ci 0，位移公式则为,4. 各类杆件结构在荷载作用下的位移公式,（1）梁和刚架,弯矩影响为主 ，位移计算公式,（2）桁架,杆受轴力。公式简化为,（3）组合结构,梁和杆，公式为前两项,（4）拱,计轴力、弯矩影响，忽略剪切变形,5、静定桁架的位移计算步骤,（1）设虚拟状态

5、；,（2）计算,（3）用桁架的位移计算公式计算位移。,解,（1）设虚拟状态（如上图b所示）,（2）计算,（3）代公式求C点的竖向位移,例11-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点的竖向位移,一、图乘法原理,1、图乘法的适用条件：,（1）杆段的轴线为直线 （2）杆段的弯曲刚度EI为常数,直梁和刚架的位移公式则为,（3） 图和 图中至少有一个直线图形,115 图乘法,2图乘法原理,图乘法求位移的一般表达式为,注意：,1 应取自直线图中 2 若A与 在杆件的同侧, 取正值， 反之,取负值 3 如图形较复杂，可分解为简单图形,3.图乘法的步骤,1 设虚拟状态； 2 画 图； 图； 3 图乘求位移。,

6、4. 图形的分解,当图形的面积和形心不便确定时，可以将 其分解成几个简单的图形，分别与另一图 形相应的纵坐标相乘。,梯-梯同侧组合：,梯-梯同侧组合：,梯-梯异侧组合,二、 图乘法计算直梁和刚架的位移,例11.4 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移,梁的EI=常数,解:,MP、,分别如图,BC 段的MP图是 标准二次抛物线；,AB段的MP图 较复杂，,但可将其分解为 一个三角形和一 个标准二次抛物 线图形 。,由图乘法得,例11.5 试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移,解:,荷载弯矩图和单位弯矩图如图 。,在AB段, MP和,图均是三角形；,在BC段，MP图,可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成

7、的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图即图b中虚线与曲线之间包含的面积叠加而成。,图乘再叠加,117 梁的刚度条件,一、梁的刚度条件,梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。,土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即,机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即,二、提高梁的抗弯能力的主要措施, 增大梁的抗弯刚度EI,因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工

8、字形、槽形、箱形等。, 减小梁的跨度,因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。,A,B,EI,q,l,A,B,EI,l,q,116 简单超静定梁的解法,计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。,A,B,C,EI,P,l/2,l/2,FA,FB,MA,A,C,EI,P,l/2,l/2,FA,MA,FB,B,多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。,去掉多余约束支座B ，将支座B 的反力视为荷载，静定梁AB在荷

9、载P 、FB作用下，B 端挠度为零。,B,C,EI,P,l/2,l/2,YA,FB,MA,A,P,3Pl/16,Pl/4,M 图,上述解超静定梁的方法称为变形比较法。具体解题步骤如下：, 去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；, 根据多余约束处的变形关系建立补充方程；, 解补充方程求出多余约束反力；, 将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其它问题。,例10 解图示超静定梁，并画弯矩图。,A,B,2a,C,a,a,EI,P,A,B,C,EI,P,FC,解：,去掉可动支座C ，代之以反力FC。,A,B,P,B,C,FC,FC,FC,2aFC,A,B,C,EI,P,FC=3P/32,M图,3Pa/16,Pa