高等数学 上学期复习新

1、高等数学第一章函数、极限和连续性第一节、功能1.1功能分类分类的概念体型鉴定研究函数的主要问题：基本性质：单调性、有界性、奇偶性和周期性。分析性质：极限、连续性、可微性和可积性1.2示例(仅对应)举个例子，寻找解决办法例1，搜索。解决办法示例2，和，查找，并写入域。解决方案。例3:让满足，其中所有都是常数，并找到表达式。解决，消除。以上四个例子都强调或体现了“对应”，即自变量在抽象函数中的位置对应于具体函数中的位置。把握“对应”。功能问题基本解决了。其他问题被忽略1.3练习1.设置，然后1。2.设置，然后(d)(一)(二)(三)(四)3.如果，那么(b)(甲)0(乙)1(丙)(丁).4.是(d

2、)(a)有界函数(b)单调函数(c)周期函数(d)偶函数5.如果它是连续的，下列函数中的偶函数是(d)。(一)(二)(三)(四)6.设计和寻找。7.如果可以的话。第2节限制2.1内容概述1.基本类型：type，2.当时等同替代,，3.重要限制()其他的极限不存在的例子：4.用泰勒公式求极限5.利用pinching定理和单调有界原理求极限(主要用于级数极限问题)2.2示例基本主题I .(类型)；第二，(类型)；第三，(等价替换)1.2.()3.(注意治疗。(4.5.寻求原始公式6.寻求第四，权力是指1.2.寻求3.寻求V.泰勒公式(注意你只需要熟悉泰勒公式的展开)六.夹紧定理和单调有界性1 代表

3、整数函数解决方案1当时，因此当时，因此因此解决方案2，表示小数部分2.对于系列，知道，证明。证据：通过归纳很容易证明，同样，当时有一个下限与此同时，它只是简单地减少，从而收敛。让我们取递归公式的极限，并求解它，(或)。注意：这是一个两点递归公式，写成连续函数。如果是，它是一个单调的序列，如果是，它不是单调的，所以可以相应地调整证明目标。3.寻求_ _ _4.让()证明极限的存在并找到极限证明，假设，然后，也就是说，序列单调增加，因此，假设存在，设定，然后，通过单调有界性原理获得也就是说=25.众所周知。(1)证明序列收敛；(2)极限值。解，可以看出，通过了解、聚合和排序，其中，由，有(1)通过

4、，通过从(1)-(2)，解是收敛的，极限是特殊培训主题一、重要极限和指数极限例1例2例3第二，等价替代例1例2例3第三，反问题示例1，评估因此，求解原始公式。例2，寻找。求解原始公式，因此，有回到原来的形式例3已知，常数。从最初的公式来看，也就是说，根据罗比塔定律，分母极限为零，并且有根据罗比塔定律，分母极限为零，并且有，因此例4，找到常数。那时，分子，再次，因此，分母，此外，积分极限为零，因此b=0。,因此a=1，例5，寻找。因此，当时，那么相应地,因此。例6。当存在二阶导数时，然后是_ _ _、_ _ _、_ _ _。,0042.3实践1.寻找(1)和(2)3.寻找(1)。4.知、求(6)

5、5.让函数在某个邻域内有二阶连续导数。证明了存在一组唯一的实数，它比当时的高阶数小得多。(3，-3，1)6.寻求7.设置顺序和满意度，那么下面的断言是正确的(a)如果它发散，它将发散；(b)如果它是无界的，它将是有界的如果它是有界的，它一定是无穷小的8.让序列满足，(1)证明存在并寻求存在；(0)；(2)寻求9.让、证明存在并寻求这个极限。，假设，有也就是说，因此因此，这是第三，连续函数1.定义：在一点上连续。(本质上)2.问题分类1)讨论函数的连续性2)指出函数的不连续点并进行分类3)中间值定理的应用4)连续应用()3.例子例1讨论的连续性。当时，检查三点；(除了以上三点，函数是连续的)；是

6、第一种不连续性；这是第一种不连续性(可以被打破)同样的法律；是第一种不连续性。例2:假设，讨论的不连续性及其类型。解决办法此时，它是一个可断开的点。此时不存在，这是第二种不连续性(无限不连续性)。示例3设置在某一点上的连续性，寻求与。解决方案，在某一点上是连续的。例4。设计，(1)找出不连续点并区分类型(2)以下哪一个间隔(1)；(2)；(3)(4)内部有界性(甲)(1)(2)(乙)(3)(4)(丙)(1)(3)(丁)(2)(4)解决方案：(1)，不连续点：它是第二类(无限)不连续点，是第一种类型(可移除的)不连续性，这是第一种(跳跃)不连续什么时候？是第二种(无限)不连续性。(2)选择(d)

7、例5。功能，询问为什么价值是(1)连续的；(2)它是一个可移除的不连续性；(3)跳跃不连续；(4)这是第二种不连续性。解决方案：订购，获取或，在那个时候，在连续性中，在那个时候，是一个可去除的不连续性，当或者是一个跳跃不连续性时，就没有第二种不连续性。例6。位于连续，证明：(1)存在、制造；(2)最大值大于1。证据：(1)从和连续，必须秩序，,从连续函数的中值定理知道存在性，也就是说。(2)通过，根据数保持定理知道时间，是的，所以最大值大于1。例7证明了有三个真正的根搜查令，然后继续，还有、根据零点存在定理、制造也就是说，方程有三个实根，三次方程最多有三个实根，所以它正好有三个实根。当与微分学

8、结合时，方程的根问题将会是奇妙的。例8被设置为连续的，并且对于两者制造，证明。证书：在互联网上连续。然后有界，也就是说，制造。然后，做，因此，它使，同样，让秩序，是有的。实施例9被设置为连续的，证明，制造。证据，那么假设，添加，矛盾，即常数大于0，是不可能的。用同样的方法(常数)，是不可能的，也就是说，必须有大于0的点和小于0的点，这是由连续性和中间值定理得出的，那是1.找出函数的不连续性并判断类型。是第一种(可移除的)不连续性，是第二种(无限的)不连续性)2.函数，询问该函数是否是连续的。如果它是不连续的，请修改处的函数定义，使其连续。3.让函数如上定义并满足。如果它是一个连续函数，它被证明

9、是常数。第二章一元函数的微分学及其应用2.1导数概念的三种问题一、“分析”的形式例1可以在现场指导解决。原始公式的解可以进行实施例2。乞求。原始公式的解。示例3设置在一个可导出的点上，并搜索。分析：实施例4具有连续导数，乞求。分析：原始形式例5:假设它是一个周期为5的连续函数，它的邻域为内部满意度(*)那时无穷小比高阶小，而且曲线在一点的切线方程可以得到。分析：按(*)公式，顺序(收集定义):订单、切线方程：例6。位于指南中，然后例7。让我们假设有非零值，然后问众所周知，例8。如果它被设置，它在这个地方(一)(二)不存在(c)是最小值(d)是最大值(d)例9。那时，什么样的秩序是无限小的(甲)

10、1(乙)2(丙)3(丁)4(丙)例10。请例11。如果，那么可导的充要条件是存在；存在；(c)存在。例12。一个函数的不可微点数是(甲)0(乙)1(丙)2(丁)3(丙)实践1.在连续的附近，然后在在(a)不可导，(b)可导和(c)获得最大值(d)和最小值(d)2.当时，下列四个无穷小中哪一个比其他三个高无限小的顺序？(甲)(乙)(丙)(丁)(丁)二、“隐式”导数问题示例1在点、和搜索处是连续的。解，通过分母，然后(连续)然后例2让曲线在原点相切，试着找到极限。解在点，与两条曲线相切。Pra例3找到穿过原点并与曲线相切的直线方程。设置一个切点，正切方程将(0，0)带入等式中，求解或，切点是，并把

11、它带进来例4求对数螺线在一点的切线方程极坐标方程被转换成参数方程，并且点的直角坐标是、正切方程：第三，导数物理解释问题(速度、变化率)(相关变化率)示例1有一个底部半径为Rcm、高度为h的锥形容器，现在是水以Acm/s的速度注入容器，当容器中的水位上升时，水面上升的速度和液体表面积的变化速度。解坐标系如图所示那就点菜吧。那么点菜吧。注：理解物理解释“注水速率”和“水面上升速度”“面积变化率”例2移动点p在曲线上移动。给定点p的横坐标速度是30厘米/秒.当点移动到原点时，从原点到点的距离变化率是多少？(让坐标轴的长度单位为1cm)。为了求解这个方程，得到了两边的导数。记住，为了推导，得到,例3:

12、假设雨滴是球形的，如果雨滴以对应于其表面的速度聚集水与产品成正比。证明了雨滴半径的增长率是一个常数。那么是证书。例4梯子有5米长，一端沿着垂直的墙滑下，另一端在地上在手机上，假设其速率为0.3米/秒，当下端距离墙壁1.4米时，询问上端向下运动的速度是多少？以拐角为原点，地面为轴，梯子的末端在地面上移动运动方程是，一端在墙上运动的运动方程是，那么问题就意味着知道、寻求并满足等式，上式两边的导数也就是说，实例4具有平底容器，其内侧是通过绕轴旋转曲线形成的旋转曲面。容器底圆的半径为2m，根据设计要求，液体应以一定的速度注入容器。，液体表面的面积将以(假设在注射液体之前容器中没有液体)的速率均匀膨胀，

13、并得到曲面方程。解决方案：液位高度为，液体体积为，液位面积已知也就是说，解决方案是二、导数计算(四个关键点)重点是：隐函数求导(包括二阶导数)；分段函数的推导；积分上限函数的推导；由参数方程确定的函数的推导。1.复合函数的推导例1，搜索。解决方案。示例2、解决方案，例3，寻找。解决办法方法(1)中方程两边的推导。方法(2)=，2.隐含数的推导例1。拜托。解，两边求导组织.(1).(2)(1)两对的推导：例2。设计和寻找。解决方法是方程的两边是导数：(1)再次推导(1):(2)当时，用(2)代替。3.参数方程的推导，例1。解决方案、例2。请。解决方案。例3。让它成为由方程式决定的函数，乞求。解，

14、微分方程的两边因此、=替换成。4.绝对值函数和分段函数的推导1.如果设置，将得到存在的最高阶导数解决办法由于因此，因此它可以类似地获得，并且和因此不存在。可以看出，存在的最高秩序是。例2。设置为0点，并获取值。如果解在某一点上是连续的，那么，那么，因为它是可以进行的，所以5.积分上限的推导,，例1。拜托。解决方案，；例2。连续性，寻求。订单发布，；例3。让它由等式确定，寻找(1)；(2)交点的切线方程(3)。解决办法在于方程式的推导.(1)再次推导.(2)将被替换成(1)，切线，替代替换(2)以获得，在情况4中，以及等价无穷小且连续。解决办法,6.关于高阶导数例1。拜托。解决方案。例2。拜托。解决办法例4。拜托。解决方案，那就是。注：1 .高阶导数已被直接推广到公式中已知实施例5具有任意阶的导数，当.的时候1.如果它是可导的，那么它在这个地方就是可导的(a)充分和必要的条件必要但不充分的条件(四)既不充分也不必要的条件(一)通过存在，我们已经=2.让函数连续存在，这样(a)单调增加，(b)单调减少(c)对于任何(d)对于任何(c)3.假设有一个二阶连