九年级数学下册 第7章 最短路径问题教学设计 （新版）青岛版

1、最短路径问题一、课标分析2011年版数学课程标准指出“模型思想的构筑是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本手段”。 随着现代信息技术的迅速发展，大大推动了应用数学和数学应用的发展，数学几乎渗透到了所有科学领域和人们生活的各个方面。 为了适应科技发展的需要，培养高质量、高水平的科技人才，数学建模已经在大学教育中开展，国内外越来越多的大学参加数学建模课程的教育和开放性的数学建模竞赛， 把数学建模教育和竞赛作为高等学校教学改革和高水平科技人才培养的重要方面，数学建模难度大，新课标强调从生产、生活等实际问题出发，运用数学知识解决实际问题，引导学生培养应用意识和能力。 因此数学建模是中学数学的重要任务

2、之一是学生培养应用数学意识和能力的有效方法和有力的教育手段然而，从教学反馈信息来看，初中学生的数学建模能力普遍较弱，这与在课堂教学中忽略学生数学建模能力的培养无关。 为了提高学生的建模能力，我们必须在课堂上把学生从生活经验和现有知识中引导出来，从社会热点问题中，让学生直接接触数学建模，培养学生的抽象能力，运用数学知识能力。 在现实生活中，问题很复杂，有些问题表面上看似没有相同之处，但被抽象化为数学模型，本质上是一样的，这些问题都可以用同样的方法解决。 本节课重视模型分类，模拟多道题，培训学生归纳能力，培养学生数学建模能力。二、教材分析本节课的基本事实是：在学习“两点之间的线段最短”和轴对称性质

3、、拉链定理的基础上，引导学生综合运用知识，探索解决最短路径问题的方法。 是轴对称、梯度定理知识运用的继续，可以培养学生的自主探索，学习思维，为知识和能力的转换提供桥梁。 设计综合了以三角形、四边形、圆形、函数、立体图形为背景的最短路径问题，使学生面对数学模型，体会数学的本质，有助于学生系统的学习知识。学习目标：1、可以利用基本事实“两点间的线段最短”和“轴对称的性质”，从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型，体会轴对称的“桥梁”作用。2 .将立体图形中的“最短路径问题”转换为平面图形来解决，能够领悟思想3、通过培训，提高综合运用知识的能力。教学重点：利用轴对称将最短路径问题转换为“

4、连接点间、线段最短”问题，学习从知识内容中提取数学模型和数学方法。教学难点：从复杂图形抽象“最短路径”问题的基本数学模型。 突破难点的方法：适应模式，找出本质问题。强调重点的方法：通过设置问题、引导思考、探索讨论、例题讲课方式来强调重点。突破难点的方法：梯度定理、线段公理和轴对称性质的运用和提高是难点，指导学生学会的思考还在培养中，光靠学生是不能完成的，所以在教学中要运用多媒体教学手段，通过启发指导、小组讨论、例题讲课、变式提高、总结提高学生的知识理解的应用和方法三、学情分析对于九年级学生来说，学习关于空间和图形的简单推理知识，具有一定的理论推理能力，可以应用拉链定理、线段公理、轴对称性质等知

5、识来解决简单问题，但是演绎推理的意识和能力还没有得到增强，思维缺乏灵活性最短路径问题，学生接触八年级。 关于直线不同侧的2点，如何在直线上找到1点，使从该点到这2点的距离之和最小，学生容易考虑连接这2点，关于与直线相同侧的2点，如何在直线上找到1点，使到这2点的距离之和最小， 进入受现有经验和知识基础影响的中考复习阶段，随着以三角形、四边形、圆形、函数、立体图形为背景的最短路径问题的出现，使学生感到陌生，不得而知。从平时的教育反映出学生不重视学习方法，不注意总结，不思考，不擅长思考，学生疲劳。 因此，希望通过本课程来指导学生学会的学习，学习思考，从而感受到学习的乐趣，提高学习兴趣，避免死亡，达

6、到提高学习能力的目的。四、教学设施修订(一)创设方案；根据传说，在古希腊的亚历山大市有个名叫海伦的学者。 有一天，一位将军拜访海伦，告诉她无法解决的问题。 从图中的a地到笔直的河边喝马，到b地。 在河的哪里喝马，他去的最短？ 精通数学、物理学的海伦稍微想了想，利用轴对称的知识回答了这个问题。 这个问题后来被称为“将军饮马问题”。学到的知识能解决这个问题吗？乙al型学生活动学生思考教师的展示问题，观察照片，获得感性认识【设计意图】从生活上的问题，激发学生的学习兴趣和探索欲望(2)知识评审1 .如图所示，从a地到b地有三条路，哪条路的距离最短，你的理由是什么？2 .你能说出轴对称的性质吗？3 .链

7、定理。【学生活动】在教师的指引下回顾旧知识。图设订意图在本节课的学习中清除知识障碍。(3)模型构筑1 .如图所示，在输气管道l上建一个泵站，分别给a、b两个城镇供气，泵站修理在输气管道的哪里，能使用的输气管道最短？【设计意图】通过简单的实际问题，让学生认识到数学来源于生活、服务和生活，庆祝过学生的应用意识。2 .你能解决“将军饮马问题”吗？活动1 :观察思维，抽象化为数学题将a、b抽象化为两个点，将河l抽象化为一条直线乙的双曲馀弦值。的双曲馀弦值。 al型活动2 :这个问题的意思可以用自己的语言解释，抽象化为数学问题吗学生活动学生尝试回答，互相补充，最后达成协议。(1)从a地出发，在河边l喝马

8、，然后去b地(2)河边喝马的地方无限多，但连接这些地方和a、b的两条线段的长度之和，是从a地开始的到饮马地点为止，再次回到b地的路程之和(3)现在的问题是，如何找到两条线段的长度之和为最短的直线l上的点.把p作为直线上的一个动点上述问题被变换为以下问题，如图所示，点a、b在直线l的同一侧，点p是直线上的一个动作点，当点p在l的哪个位置时，PA PB是最小的。乙的双曲馀弦值。的双曲馀弦值。 al型强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”【设置修订意图】使学生经过观察、叙述、绘画等过程，培养学生将生活问题抽象化为数学问题的能力。活动3 :试图解决数学问题你能利用轴对称的知识解决这个问题吗？【学

9、生活动】学生独立思考，绘画分析，尝试回答，互相补充。 教师恰当地提示。做法：(1)作点b关于直线l的对称点b；(2)连接ab，直线l和点p相交。求出点p。l型ca乙【学生活动】在老师的指导下，积极思考，与同伴交流，努力解决实际问题。【设订意图】利用轴对称知识解决问题，立即进行学法指导，指导学生提取总结方法规则。3 .模型分析我们知道直线l和a、b两点，点p是直线上的一个动点，当点p位于l的哪个位置时，PA PB是最小的？(1)A、b两点位于直线不同的一侧时：l型a乙(2)A、b两点与直线位于同一侧时：乙l型a【设定修订意图】指导学生整理从实际问题抽象化的数学模型，形成认知结构，增强从复杂问题中

10、发现基本图形的能力。(4)模型的适用典型例题(一)如该图所示，在平面正交坐标系中，一次函数y=-2x 4的图像和x、y轴分别与点a、b两点相交，OA、AB的中点分别是c、d、p是OB上的移动点，在PCD的周长最小时，求出p点坐标。(1)帮助学生从复杂的图形中灵活地抽出基本模型；(2)让学生找出模型中的已知直线l和a、b两点，提高学生分析问题的目的能力，提高思考水平。问题小组(一)1 .如图1所示，在边长为1的正三角形ABC中，点d是AC的中点，AEBC，点p是AE的任意点，且PC PD的最小值为。2 .如图2所示，正方形ABCD的边的长度为8，m为DC以上，DM=2，n为AC以上的运动点，DN

11、 MN的最小值为正。a乙cde图1的图2典型例题(二)如图所示，圆柱形的玻璃杯，高12cm，底面周长18cm，在离杯子内杯底4cm的点c有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯子外壁，沿着杯子上与蜂蜜相对的点a，蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为(1)将立体图形转换为平面图形； (2)由教师导出问题的情景逐渐导出问题的本质：点a、c在直线l的同一侧，点p是直线上的一个动点，点p在l的哪个位置时，PA PB最小(3)综合使用数学模型和拉链定理解决问题。【设定修订意图】让学生将立体图形转换为平面图形，利用“最短路径”数学模型解决问题。 培训学生思维，提高分析问题的能力，培养模式思想。问题小组(2)1 .如图所示，

12、棱锥长度为1的立方体的右下角a有蚂蚁，想从立方体的侧面去吃右上角b的食物，怎么走路路径最短，最短路径是多少？2 .如图所示，圆锥的底面半径是1，母线的长度是4，一只蚂蚁从底面圆周上的点b出发，沿圆锥的侧面绕一周到达点b，它爬行的最短路径是多少？乙aa乙c(5)反省总结这门课我背下来了【设订意图】让学生从知识、方法、数学思想方面进行总结1 .为了解决上述问题，你运用了什么样的知识？ (知识)2 .在解决问题的过程中用了什么样的方法？ (方法)3 .运用上述方法的目的是什么？ 体现了什么样的数学思想？ 数学思想(6)扩大提高如图所示，在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角a有一只蚂蚁，想要从长方

13、体的外表面爬上右上b的食物，如何走路最短，最短路径是多少？543a乙【设订意图】思考的变体训练，提高学生的思考水平，让学生学习思考，学习问题。五、效果分析本节课的活动设置修订和评价练习有利于实现教学目标，强调了重点，突破了难点。 具体标志如下：1 .学生可以把“将军饮马”问题转化为数学中的“点，线”问题，利用轴对称的性质转化为“两点间线段最短”问题。2 .可以抽象化“最短路径问题”数学模型，在最大限度搜索修正路径的过程中，体会到轴对称的“桥梁”作用，悟出转换思想3 .从以三角形、四角形、圆、函数、立体图形为背景的复杂主题中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。六、审查记录(一)创设生活环境；本

14、节通过创设“将军饮马”这样的思维故事情节，可以激发学生的学习兴趣，迅速将学生引入本节课题中，为下次的进一步学习奠定基础，在课程理念中体现数学活动的深入有效开展。(2)任务层次这个修订是将教育任务修订成几个教育活动。 除了考虑活动本身的设置修订，还可以充分考虑子活动间的梯度、一贯性、联系等特点，提供自然、构想清晰、思考和发现的时间和空间。 这一层次结构提供了高认知水平的教学任务，有助于学生保持思维的高度集中，避免活动脱节引起的思路混乱，有助于避免低水平模仿和重复训练的教师建立的“立足点”逐步完成“教学工程”整体任务，局部效应之和远小于整体教学要求教师的教学思路清晰，目的明确，教育活动各部分的时间

15、表合理，教育活动各部分比较紧密，学生可以整体分析问题，解决问题。(3)数学思想方法渗透新课标明确提到了数学思想方法的显性要求。 我们在平时的教学过程中总是把重点放在解题训练上，忽略了新内容学习中数学思想方法的训练，这在很多问题上是不可能实现的。 学生好好学习，累得不得了。 本节数学思想方法的发掘和表现主要能有效地结合新旧知识的学生可以把复杂的问题转化为几个简单的问题教师在教育过程中经常受到思想方法渗透的教师引导，自己基本上可以独立完成新内容的学习用学习的方法解决新问题的思考(4)数学交流的机会本节课程的交流方式主要是在课程学习过程中有机会表达自己的想法老师在课程中与注意到不同层次学生照顾的同学

16、交流过程中可以得到启发的老师和同学提供的各种解题方法， 能够选择适合自己方法的教师能够进行详细评价的学生自主参与学习活动，相互合作，共同探讨学习问题，共同交流共享成绩的注意力集中，积极学习，有与老师合作默许的数学表达愿望；为学生交流提供充分的时间。(5)数学应用的深度在课堂上的数学应用主要是从生活中提取数学问题能够解决的这一点理解数学知识的来龙去脉，从其中寻找与数学相关的因素的数学现实中能够积极地获得知识学生在教师的指导下学习数学的可能性在教学中能够照顾到不同水平的学生学习问题七、放学后反省本节课用数学故事“将军饮马”引入课题，引导学生逐渐从生活问题中抽象地概括出“两点间的线段最短”和轴对称性质的“最短路径问题”数学模型。 让学生体验将实际问题抽象化为数学题的线段和最小问题，利用轴对称将线段和最小问题转换为“两点之间，线段最短”的问题。 在构建模型的过程中，我重视学生学习方法，在抽象化培养和渗透数学思想方法的数学模型的基础上，进一步引导学生对模型的分析，强化学生的模型