正方形的判定

1、北师大版九年级(上),第一章 特殊平行四边形,1.3 正方形的性质与判定(2),问题情景,根据正方形的定义，有一组邻边相等，并且有一个 角是直角的平行四边形叫做正方形。除此之外，你认为 还有什么条件可以判断一个四边形是正方形？,一组邻边相等 一个角是直角,新知探究,、如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角， 打开。怎样剪才能剪出一个正方形？,合作交流,、满足什么条件的矩形是正方形？,(1)一组邻边相等,一组邻边相等,(2)对角线互相垂直,对角线互相垂直,新知探究,、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。,已知：如图，矩形ABCD中， ACBD。,求证：四边形ABCD是正方形。,证明：,四边

2、形ABCD是矩形,四边形ABCD是平行四边形，DAB=90,且ACBD, AB=AD,且OB=OD,四边形ABCD是正方形,新知归纳,正方形的判定 ：,(1) 对角线互相垂直的矩形是正方形；,合作交流,、满足什么条件的菱形是正方形？,(1)有一个角是直角,有一个角是直角,(2)对角线相等,对角线互相垂直,新知探究,、求证：有一个角是直角的菱形是正方形。,已知：如图，菱形ABCD中， A =90。,求证：四边形ABCD是正方形。,证明：,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是平行四边形， AD=AB,且A=90,四边形ABCD是正方形,新知探究,、求证：对角线相等的菱形是正方形。,已知：如图，菱

3、形ABCD中， AC=BD。,求证：四边形ABCD是正方形。,证明：,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是平行四边形， AB=AD,且AC=BD,DAB=90,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形,新知归纳,正方形的判定 ：,(1) 对角线互相垂直的矩形是正方形；,(2) 有一个角是直角的菱形是正方形；,(3) 对角线相等的菱形是正方形。,合作交流,、我们知道：依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形。,那么依次连接正方形各边的中点能得到一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。,合作交流,、依次连接菱形、矩形、平行四边形各边中点，分别能得到一个什么图形？,菱形,矩形,平行四边形

4、,矩形,菱形,平行四边形,例1、已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分ABC， CE平分DCB，BFCE，CFBE. 求证：四边形BECF是正方形.,范例讲解,证明：, BFCE，CFBE,四边形BECF是平行四边形,ABC=90,DCB=90,四边形ABCD是矩形,又BE平分ABC，CE平分DCB,EBC= ABC=45,ECB= DCB=45,EBC=ECB,EB=EC,四边形BECF是菱形,在EBC中,EBC=45,ECB=45,BEC=90,四边形BECF是正方形,巩固练习,1、已知：如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的 两点，且BE=DF. 求证：四边形那个AECF是菱形.,巩固练习,2、如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的 四条边上，且AE=BF=CG=DH，四边形EFGH是什么特 殊四边形？你是如何判断的？,巩固练习,3、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形 ABCO与正方形ABCD的边长相等，在正方形 ABCO绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的 面积与正方形ABCD的面积有什么关系？证明你的结论.,