第七章 保形变换.ppt

1、1 解析变换的特性,2 分式线性变换,3 某些初等函数所构成的共形映射,第七章 共形映射,在第一章曾经说过，一个复变函数 从几何观点看来，可以解释为从 平面到 平面之间的一个变换。本章主要讨论解析函数所构成映射的一种重要变换共形映射（保形变换）。 共形变换在数学上以及在流体力学、弹性力学、电学等学科中都有重要的应用。共形映射之所以重要，原因在于它把比较复杂区域上所讨论的问题转化到比较简单区域上去讨论。,1、解析变换的保域性,1 解析变换的特性,定理1: ( 保域定理)设 在区域D内解析且不恒为常数,则D的象 也是一个区域.,推论:设 在区域D内单叶解析,则D的象 也是一个区域.,定理2:设函数

2、 在点 解析且 则 在 的一个邻域内单叶解析.,2、解析函数的导数的几何意义,平面内的一条有向连续曲线C： 它的正向取为t增大时点z移动的方向，且 ，则C在 点有切线， 就是切向量。事实上，切线可看作割线P0P当P沿C 无限趋向于点P0时的极限位置。因此，,所表示的向量与C相切于点 。且方向与C的正方向一致。如果规定这个方向作为C上点 处切线的正向。则有：,2）相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是C1与C2在交点处的两条切线之间的夹角。,1） 就是在C上点 处切线的正向与 轴正向之间的夹角；,解析函数导数的几何意义,设函数 在区域D内解析， 为D内一点，且 ，又设通过 在 平面内任

3、意引一条有向光滑曲线C： 它的正向相应于参数t增大的方向，且 映射 就将曲线C映射成 平面内通过 的像点 的一条有向光滑曲线 它的正向相应于参数t增大的方向。,若假定 平面的 轴与 平面的 轴， 轴与 轴的正向相同，且将原来的切线正向与映射后的切线正向之间的夹角理解为曲线C经过 映射后在 处的转动角。,2）转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关。故称此种映射具有转动角不变性或保角变换。,结论：1）导数 的辐角 是曲线C经过 映射后在 处的转动角。,设曲线C1： 与C2： 相交于点 。且 又设映射 将C1与C2分别映射为相交于点 的曲线 与 。 故有： 即,上式表明：相交于点 的任何两条曲线

4、C1与C2之间的夹角，其大小和方向都相同于经过 映射后的曲线 与 之间的夹角（保角性）。,的几何意义,设 。且用 表示C上的点 与 之间的一段弧长， 表示 上的对应点 与 之间的弧长（如图）。,（而 ）,此极限值称为曲线C在 处的伸缩率。,上式表明： 是经过映射 后通过 点的任何曲线C在 的伸缩率，它与曲线C的形状及方向无关。故称这映射具有伸缩率不变性。,定理3：设函数 在区域D内解析， 为D内一点，且 ，则映射在 具有两个性质： 1）保角性：通过 的两条曲线间的夹角与经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。,2）伸缩率不变性：通过 的任一条曲线的伸缩率均为 而与其形状与方向无关。

5、,推论:若 在区域D内单叶解析,则 在D内是保角的.,例:试证: 将互相正交的直线族 与 ,依次变为互相正交的直线族 与圆周族,3、单叶解析变换的保形性,定义:如果 在区域D内是单叶且保角的,则称变换 在D内是保形的,也称为D内的保形变换.,例:讨论解析函数 (n为正整数)的保角性和保形性.,解:由 得 在Z平面上除原点 外处处是保角的. 又由于 的单叶性区域是顶点在原点张角不超过 的角形区域.故在此角形区域内 是保形的.在张角超过 的角形区域内,不是保形的.但在其中各点的邻域内是保形的.,定理4:设 在区域D内单叶解析,则 (1) 将D保形变换成区域 . (2)反函数 在区域G内单叶解析,且

6、,注: (1)保形变换理论的基本任务是:寻找一个函数 将区域D保形变换成区域G. (2)两个保形变换的复合仍然是一个保形变换.,2 线性变换,线性变换是保形变换中比较简单的但又很重要的一类映射，它是由 必要的，否则 ，故 恒为常数，此时分式线性映射将整个复平面映射成一点。分式线性映射是由德国数学家默比乌斯（17901868）首先研究的，故也称为默比乌斯映射（双线性映射，线性映射）。分式线性映射的逆映射仍是线性映射。,分式线性映射的三种简单类型,（1） （2） （3）,这是因为当 时，分式线性映射 变为映射 ，类似于（1）、（2）的简单映射。当 时，分式映射改为：,三种映射的几何性质,（1） 这

7、是一个平移映射。因为复数相加可以化为向量相加，所以在映射 之下， 沿向量 的方向平行移动一段距离 后，就得到 。（如图）,（2） 这是一个旋转与伸缩映射.设 ，则 。因此，把 先转一个角度，再将 伸缩到 倍，就得到 。（如图）,（3） 可称为倒数映射，它可分解：,关于圆周的对称点：设C为以原点为中心，半径为r的圆周。在以圆心为起点的一条射线上，如果有两点P与 满足关系式 ，则称P与 是关于圆周C的对称点。,设P在圆周C外，从P作圆周的切线PT，切点为T，由T作OP的垂线 ，与OP交于 ，则P与 即互为对称点（如图）。因为 ，所以 ,即 。,规定：无穷远点的对称点是圆心O。,如果设 ，则 ,从而

8、 ，由此可知， 与 是关于单位圆周 的对称点， 与 是关于实轴的对称点。因此，要从 作出 ，应先作出点 关于圆周 对称的点 ，然后再作出 关于实轴的对称点，即得（如图）。,分式线性映射的性质,1、保角性,1） 这个映射将 映射成 .如果改写为 ，可知当 时， 。由此可知，在扩充复平面上映射 是一一对应的。又 当 且 时， ，故除去 与 映射 是共形的。,规定：两条伸向无穷远的曲线在无穷远点 处的夹角，等于它们在映射 下所映成的通过原点 的两条象曲线的夹角。,映射 在 处解析，且 所以映射 在 处，即 在 处是共形的。再由 知 处该映射是共形的，即映射 在 处是共形的。,结论：映射 在扩充复平面

9、上是处处共形的，为一共形映射。,2） 显然这个映射在扩充复平面上是一一对应的。因 ，所以当 时，映射是共形的。为讨论 也是共形的,令 ，此时，映射 变为 ，而 ，因而 在 处是共形的，即 在 处是共形的。,定理：分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性。,2、保圆性,结论：映射 在扩充复平面内为共形映射。,1）映射 是将 平面内一点经过平移、旋转和伸缩而得到象点 ,因此,圆周或直线经过映射后象曲线仍是圆周或直线。若把直线看成是无穷大为半径的圆周，则有：,保圆性：映射 在扩充复平面上把圆周映射成圆周。,2）令 得： 或 因此映射将方程 变为方程 故映射 把圆周映射成圆周。,易知：在分

10、式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点，则它映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，则它映射成直线。,分式线性映射除具有保角性、保圆性，还有保持对称点不变的性质，即保对称性。,定理：分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射成扩充 平面上的圆周，即具有保圆性。,3、保对称性,定理： 是关于圆周C： 的一对对称点的充要条件是经过 的任何圆周 与C正交。,证明：从 作 的切线，设切点为 。由平面几何的黄金分割定理有 又由 是关于C对称的定义有 故 ，即 在C上，故 是C与 的 交点，而且C与 正交。,反过来，设 是过 且与C正交的任一圆周。那么连接 与 的直线作为 的特殊情

11、形（半径为无穷大）必与C正交，因而必过 。又因 与C在 处正交，因此C的半径 是 的切线，故有 ， 即 是关于C的对称点。,定理：设点 是关于圆周C的一对对称点，则在分式线性映射下，它们的象点 与 也是关于C的象曲线 的一对对称点。,证：设过 的任一圆周 是经过 与 的任一圆周 映射而成的。因 与C正交，而分式线性映射是具有保角性的。所以 与 也必正交。故 与 是一对关于 的对称点。,由于分式线性映射中的四个常数，可用一个去除以分子和分母，就化为三个常数。故只需给定三个条件，就能决定一个分式线性映射。,3 唯一决定分式线性映射的条件,定理：在 平面上任意给定三个相异的点 在 平面上也有三个相异

12、的点 ，则存在唯一的分式线性映射，将 依次映射成 。,证明：设 将 依次映射成 。即 所以得分式线性映射： 唯一性易证。证毕。,上述定理说明，在两个已知圆周C与 上，分别取定三个不同的点后，必能找一个分式线性映射将C映射成 。现在讨论这个映射会将C的内部映射成什么？,在这个分式线性映射下，圆C的内部不是映射成圆 的内部，就是映射成 的外部。不可能一部分映射成 的内部的一部分，而另一部分映射成 外部的一部分。,结论：在分式线性映射下，如果在圆C内任取一点 ，而点 的象点在 圆 的内部，则C的内部就映射成 的内部；如果 的象在 的外部，则C的内部就映射成 的外部。,也可用下述方法，在C上取定三点

13、，它们在 上的象分别是 .如果C依 的绕向与 依 的绕向相同时，则C的内部就映射成 的内部；相反时，C的内部就映射成 的外部。（如图）,事实上，在过 的半径上取一点 ，线段 的象必正交于 的圆弧 。根据保角性，当绕向相同时， 必在 内，相反时必在 外。这就说明了上述结论是正确的。,在C为圆周， 为直线的情况下，上述分式线性映射将C的内部映射成 的某一侧的半平面。究竟是哪一侧，由绕向确定，其它情况类似。,结论: 1）当二圆周上没有点映射成无穷远点时，这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域。 2）当二圆周上有一个点映射成无穷远点时，这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域

14、。 3）当二圆周交点中有一个映射成无穷远点时，这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域。,1,2,3,4,例,例1、中心分别在 与 ，半径为 的二圆弧所围成的区域（下图），在映射 下映射成什么区域？,1,2,3,4,解：两圆弧C1与C2的交点为 和 ，且相互正交。交点 映射成无穷远点， 映射成原点。因此所给定区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域，张角为 。 而 时， 这一点在第三象限的角平分线 上，由保角性知C2映射为第二象限的角平分线 ，从而映射成角形区域如上图。,1,2,3,4,例2、求将上半平面 映射成单位圆 的分式线性映射（如图）。 解1、如果将上半平面看成半径为的圆域，则实轴就相当

15、于圆域的边界圆周。因为分式线性映射的保圆性，因此它必能将上半平面 映射成单位圆 。由于上半平面总有一点 要映成单位圆 的圆心 ，实轴要映射成单位圆。而 与 是关于实轴的一对对称点， 与 是与之对应的关于圆周 的一对对称点。根据分式线性映射具有保对称性， 必映射成，从而所求的分式线性映射形如 ，其中 为常数。,1,2,3,4,因为 ，而实轴上的点 对应 上的点，这时 ，所以 即 ，故所求分式线性映射为 解2、在 轴上任取定三点： 使它们依次对应于 上的三点： 那么 与 的绕向相同。由前知所求的分式线性映射为： 即,1,2,3,4,例3:求将上半Z平面保形变换成圆 的线性变换 ,使满足 , .,1

16、,2,3,4,4 某些初等函数所构成的保形变换,1、幂函数 （ 为自然数） 因为 ，故在 平面内除原点外，由 所构成的映射是处处共形的。 下面讨论映射在 处的性质。 令 ，则 。 由此可见，在映射 下， 平面上的圆周 映射成 平面上的圆周 。特别，单位圆周 映射成单位圆周 ；射线 映射成射线 特别正实轴 映射成正实轴 ；角形域 映射成角形域 。因此在 处映射 没有保角性。,1,2,3,4,结论： 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变为原来的n倍。 例1、求把角形域 映射成单位圆 的一个映射。 解：先用映射 将所给的角形域 映射成上半平面 。又从上节例2知，映射 将上半平面

17、映射成单位圆 。因此所求映射为： （如下图）,1,2,3,4,1,2,3,4,例2、求将下图中由圆弧C1与C2所围成的交角为 的月牙域映射成角形域 的一个映射。,1,2,3,4,解：此过程分解为：先将月牙域映射成角形域 ，再将此角形域旋转 角度，即得到要求的区域。 因为要将月牙域的边界C1与C2的交点 与 分别映射成 与 ，故将月牙域映射成 平面上的角形域具有以下形式的分式线性映射： ，其中 为待定常数。此映射将C1上的 映射成 ，取 使 ，这样映射 就将C1映射成 平面上的正实轴，根据保角性，它把月牙域映射成角形域 。再用映射 将角形域旋转得到 平面上的角形域 于是得到所求映射 。,1,2,

18、3,4,2、指数函数,由于 在 平面内有 ，故 在全平面上是一个共形映射。 令 ， 则 。 因此， 平面上的直线 常数，被映射成 平面上的圆周 常数。而直线 被映射成射线 常数。,1,2,3,4,当实轴 平行移动到直线 时，带形区域 映射成角形域 。特别，带形域 映射成沿实轴剪开的 平面： 。它们的点是一一对应的。 结论：映射 将水平的带形域 映射成角形域 。 注意：在实际中，如果要将带形区域映射成角形区域，常采用指数函数。,1,2,3,4,例3、求把带形区域 映射成单位圆 的一个映射。 解：映射 将所给的带形域映射成 平面上的上半平面 。而根据前面的例子可知，映射 将上半平面 映射成单位圆 。因此，所求映射为,1,2,3,4,例4、求把带形域 映射成上半平面 的一个映射。,1,2,3,4,5 关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理,1、黎曼存在定理 前面讨论了:一个单叶解析函数将它的单叶性区域保形变换成另一个区域. 于是提出 问题:在扩充平面上任意给定两个单连通区域D与G,是否存在一个(单叶)解析函数,使D保形变换成G?函数唯一的条件?,1,2,3,4,问题简化为:在扩充平面上任给单连通区域D,能否保形变换成单位圆?唯一性条件? 两种极端情形: (1)区域D是扩充平面(D无边界点); (2)区域D是扩充平面除去一点(D