第一模块第二讲(命题及其关系充分条件与必要条件).ppt

1、第二讲命题及其关系充分条件与必要条件走进高考第一关 基础关,教 材 回 归1. 命题(1)一般地,我们把用_或_表达的,可以判断真假的_叫命题,其中判断为_的语句叫_,判断为_的语句叫_.(2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的_,q叫做命题的_.,语言,符号,式子,语句,真,真命题,假,假命题,条件,结论,(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为_,它的否命题为_,它的逆否命题为_.(4)互为逆否的命题是_,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为_个.,若q则p,若p则q,若q则p,等价的,024,(5)否命题与命题的否定的区别:首先,只有“若p则q

2、”形式的命题才有否命题,其形式为“若p则q.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.,2. 充要条件(1)“若p则q”为真命题是指_,这时我们就说由p可以推出q,记作_,并说p是q的_条件,q是p的_条件.(2)若既有pq又由qp,则p是q的_条件,记作_.,由p通过推理可以得出q,pq,充分,必要,充分必要,pq,(3)从集合的角度认识充分条件必要条件.设AB为两个集合,A=x|p(x),B=x|q(x)则若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若BA,则p是q的必要条件;若A=B,

3、则p是q的充要条件.(4)“qp”“pq”;“pq”“qp”.,3. 反证法证明命题的一般步骤(1)_,(2)_,(3)_.反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多”“至少”“惟一”“不可能”“不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.,否定结论,从假设出发,经过推理论证得出矛盾,断定假设错误,肯定结论成立,考 点 陪 练1.(2010新创题,易)在命题“若抛物线y=a +bx+c的开口向上,则x|ax2+bx+c0”的逆命题,否命题,逆否命题中以下结论成立的是( )A. 都真 B. 都假C. 否命题真 D

4、. 逆否命题真,答案:D,解析:当抛物线y=ax2+bx+c的开口向上时,函数图象一定在x轴上方有一部分(或全部),因此不等式ax2+bx+c0一定有解,即x|ax2+bx+c0,所以原命题正确,逆否命题为真,但当x|ax2+bx+c0时,抛物线的开口却不一定向上,故逆命题为假,否命题也为假,故选D.,2. (基础题,易)已知0ab,设结论甲:|x+a|b,则下列结论中,甲的充分不必要条件是( )A. |x+b|a B. |x-a|bC. |x-a|b D. |x+b|a,解析:首先求出不等式|x+a|b的解集为(-a-b,b-a),其次分别求出四个选项中不等式的解集分别为(-a-b,a-b)

5、,(a-b,a+b), .由于0ab,所以在上述四个不等式的解集中,仅有(-a-b,a-b)(-a-b,b-a),故|x+b|a可推出|x+a|b,但反之不成立.,答案:A,评析:如果AB,则“xA”可推出“xB”,但是“xB”却推不出“xA”,所以“xA”是“xB”的充分不必要条件.因此,本题在四个选项中寻找甲的充分不必要条件,就是寻找四个选项中所给出的不等式的解集中,哪一个解集是甲的解集的真子集.,3. (基础题,易)已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,那么在以下命题中:M的元素都不是P的元素;M中有不属于P的元素;M中有P的元素;M中元素不都是P的元素,真命题的个数为(

6、 )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,解析:是假命题,是真命题,否则M中的元素就都是P的元素,M中可以无P中元素,所以为假命题;真命题.,答案:B,4.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件,解析:当a0且b0,a+b0且ab0成立.当a+b0且ab0时,得a,b同号,又a+b0,a0且b0.,答案:C,5.已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“m”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,解

7、析:由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面内的一条直线,m,则.反过来则不一定.所以“”是“m”的必要不充分条件.,答案:B,解读高考第二关 热点关类型一:判断命题及其真假,解题准备:1. 判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.2. 判断命题的真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.,典例1(反例法)有下列四个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;(2)“若ab,则a2b2”的逆否命题;(3)“若x-3,则x2+x-60”的否命题;(4)“若ab是无理数,则ab是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是( )A.0

8、 B. 1 C. 2 D. 3,解：(1)逆命题为“若xy互为相反数,则x+y=0”是真命题.(2)原命题为假,其逆否命题为假.(3)否命题为“若x-3,则x2+x-60”,假如x=4-3,但x2+x-6=140,故为假.(4)逆命题“若ab是无理数,则a b也是无理数”,假如a=( ,b= ,则ab=2是有理数.故为假.答案：B评析：判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明.,典例2(数形结合)判断命题“已知ax为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,则a1”的逆否命题的真假.,解：原命题:已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+

9、20的解集非空,则a1.逆否命题:已知a,x为实数,如果a1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集.判断如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a1,所以4a-70,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.,评析：直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.本题还可利用原命题与其逆否命题互为等价命题的性质来解.此解的求解用到抛物线与x轴交点问题,借助图形解决问题.,探究1：(等价转化)判断

10、命题“若m0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.分析：可以直接进行逻辑推理判断,可以从逆否命题直接判断,也可以先判断原命题的真假,然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解.,解法1:m0,4m0,4m+10.方程x2+x-m=0的判别式=4m+10.方程x2+x-m=0有实数根.原命题“若m0,则x2+x-m=0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.,解法2:原命题“若m0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实数根,则m0”.x2+x-m=0无实数根,=4m+10,m- 0.若x2+

11、x-m=0无实数根,则m0为真.,解法3:p:m0,q:x2+x-m=0有实根,p:m0,q:x2+x-m=0无实数根.p:A=m|m0,q:B=m|方程x2+x-m=0无实数根= .BA,“若q,则p”为真,即“若方程x2+x-m=0无实数根,则m0”为真.,评析：解法1:本解法是直接进行逻辑推理判断的.解法2:本解法从逆否命题入手直接判断.解法3:本解法是利用原命题与逆否命题的等价关系判断的.,类型二:四种命题及其关系解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;原命题逆命题否命题逆

12、否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个2个4个.,典例3分别写出下列命题的逆命题否命题逆否命题命题的否定,并判断它们的真假:(1)若q1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若x,y都是奇数,则x+y是偶数;(3)若xy=0,则x=0或y=0;(4)若x2+y2=0,则x,y全为0.,(1)原命题是真命题;逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,为真命题;否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题;逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1,为真命题;命题的否定:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.,(2)原命题是真命题;逆命题:若x+y是偶数,则

13、x,y都是奇数,是假命题;否命题:若x,y不都是奇数,则x+y不是偶数,是假命题;逆否命题:若x+y不是偶数,则x,y不都是奇数,是真命题;命题的否定:x,y都是奇数,则x+y不是偶数,是假命题.,(3)原命题为真命题;逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题;否命题:若xy0,则x0且y0,是真命题;逆否命题:若x0且y0,则xy0,是真命题;命题的否定:若xy=0,则x0且y0,是假命题.,(4)原命题为真命题.逆命题:若x,y全为0,则x2+y2=0,为真命题;否命题:若x2+y20,则x,y不全为0,为真命题;逆否命题:若x,y不全为0,则x2+y20,为真命题;命题的否定:若x

14、2+y2=0,则x,y不全为0,是假命题.,(1)注意:“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,因为“x,y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”“x不是奇数y是奇数”“x,y都不是奇数”三种情况;“x=0或y=0”的否定是“x0且y0”,而不是“x0或y0”,因为“x=0或y=0”包含“x=0且y0”,“x0且y=0”“x=0且y=0”三种情况.,(2)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.,(3)互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它

15、的逆否命题的真假;原命题逆命题否命题逆否命题这四个命题真命题的个数可能是0个2个4个.,类型三:充分必要条件的判定与证明,解题准备:1. 判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义:如果pq,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件;如果qp,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.,2. 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由

16、“条件”“结论”是证明充分性,由“结论”“条件”是证明必要性.证明分两个环节:一是充分性;二是必要性.,2. 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”“结论”是证明充分性,由“结论”“条件”是证明必要性.证明分两个环节:一是充分性;二是必要性.,典例4(探究问题)方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是什么?,探究2：是否存在实数p,使“4x+p0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.分析：“4x+p0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的p的范围.,评析 本题用集合的包含关系去理解更容易解答，注意结合数轴确定的范围,笑对高考第三关 成熟关名 师

17、 纠 错误区一:四种命题的结构不明致误,典例1写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.剖析：解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命题否命题逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.,正解：逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命题;否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题;逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.,评析：四种命题的结构与等价关系如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的

18、逆命题是“若B,则A”,否命题是“若A,则B”,逆否命题是“若B,则A”.这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系.,变式1:命题“若函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,则loga20,a1)在其定义域内不是减函数B. 若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数C. 若loga20,a1)在其定义域内是减函数D. 若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,解析:先写其逆命题“若loga20,a1)在其定义域内是减函数”,再同时否定这个命题的条件和结论,即“若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内不是