从力做的功到向量的数量积.ppt

1、无意义,5.1 从力做的功到向量的数量积 (第一课时),学 校：西安建筑科技大学附属中学 讲课人：高博,物理背景：力做的功,问题：如图，一个物体在力 的作用下产生位移 ，如何计算力 所做的功？,力做的功：,思考：其中 表示什么意义？,思考：其中 表示一个什么角度？,一、两个向量的夹角,夹角记作：,注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的。,思考：夹角 的取值范围？,已知两个非零向量 和 ，如图，作 叫作向量 与 的夹角。,一、两个向量的夹角,与 同向,思考：在这种规定下两向量的夹角是唯一确定的吗？,与 反向,规定：零向量可与任一向量垂直。,已知两个非零向量 和 ，如图，作 叫作向量 与

2、 的夹角。,练习,如图,等边三角形ABC中,求： （1） 与 的夹角_ ； （2） 与 的夹角_,A,B,C,D,物理背景：力做的功,问题：如图，一个物体在力 的作用下产生位移 ，如何计算力 所做的功？,力做的功：,思考：其中 表示什么意义？,思考：其中 表示一个什么角度？,二、射影,如图， 过点 作 于点 则,叫作向量 在 方向上的射影（也叫投影）。,思考：向量的射影这个数量的正负与什么有关？,二、射影,思考：向量的射影这个数量的正负与什么有关？,物理背景：力做的功,问题：如图，一个物体在力 的作用下产生位移 ，如何计算力 所做的功？,力做的功：,思考：其中 表示什么意义？,思考：其中 表示

3、一个什么角度？,三、向量的数量积（或内积）定义,已知两个向量 和 ，它们的夹角为 ， 我们把 叫作向量 与 的数量积（或内积）。 记作： ，即,1、 表示数量而不表示向量，与 不同，它们表示向量。,2、“ ”不能省略不写，也不能写成“”。,3、零向量与任一向量的数量积为0。即，,思考：向量的数量积是一个数量，它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为零？,四、向量数量积的几何意义和物理意义,与 的数量积等于 的长度 与 在 方向上射 影 的乘积，或 的长度 与 在 方向上 射影 的乘积。（几何意义）,物理意义：力对物体做功，就是力 与其作用下物体的位移 的数量积 。,五、特殊向量的数量积,1、当

4、两个向量相等时，两个向量的数量积等于向量 长度的平方：,2、当两个向量都是单位向量时，它们的数量积就等 于它们夹角的余弦值。若 ， 是单位向量，则,六、向量数量积的性质,1、若 是单位向量，则,2、若 ，则 ；反之，若 ，则 。通常记作,3、,4、,判断两向量垂直,计算向量的长度,用于计算向量的夹角,思考：这些性质能帮助我们解决哪些类型的问题？,一个向量在另一个向量上的射影,判断两向量平行,正确,错误,正确,正确,七、向量数量积的运算律,七、向量数量积的运算律,（1）交换律,（2）数乘结合律,（3）分配律,由向量数量积的定义： ，可以知道，向量数量积运算满足交换律。,两个力的合力做的功等于这两

5、个力分别做功的和。向量数量积运算对向量的和的运算是可分配的。,当力扩大 倍时，力所做的功也扩大 倍。向量数量积运算与数乘向量的运算是可交换的。,解,例1：已知 ， ，且 与 的夹角 求 。,1. 已知向量 与 共线，且 ， ，求 。,练习（课本第93页）,（1）当 时，,（2）当 时，,解,2. 已知向量 与 的夹角 且 ， 求 。,练习（课本第93页）,补充练习,3. 已知向量 与 的夹角 且 ， 那么 的模为（ ）,4. 已知 ， 且 与 垂直，则向量 与 的夹角是（ ）,B,C,总结,同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？,2.向量的射影,4.向量数量积的性质,1.两个向量的夹角,3.向量的数量积（内积）,5.向量数量积的运算律,课后作业,1. 必做题： 课本第95页， 习题2-5 A组，第3题，第4题和第5题。 2. 选做题：