高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案理 新人教A版选修

1、31.3空间向量的数量积运算(理)班级 姓名 小组 号 【学习目标】1 掌握空间向量夹角的概念及表示方法2 掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律【学法指导】【重点难点】重点：掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律难点：掌握两个向量的数量积的主要用途【学情分析】数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积通过向量积的运用，培养数学应用意识.自主学习内容回顾旧知：平面向量数量积的公式二、基础知识感知阅读教材第9062页内容，然后回答问题 一、空间向量的夹角1如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取

2、一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的_，记作_2a，bb，a，a和b的夹角的范围是_，其中当a，b0时，a与b_；当a，b时，a与b_.3当a，b时，a与b_.4若ab，则a，b_，若ab，则a，b_.二、空间向量的数量积1数量积的定义(1)已知a，b是两个非零向量，则_叫做a，b的数量积，记作_，即ab_.规定，零向量与任一向量的数量积为_，即0a_.(2)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的_的乘积2数量积的运算律 (1)(a)b_. (2)交换律：ab_. (3)分配律：a(bc)_.3数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向

3、，则ab|a|b|；若反向，则ab_.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos _|ab|a|b|2空间向量数量积的性质及几何意义(1)空间向量的数量积ab可以为正，可以为负，也可以为零(2)若向量a，b是非零向量则ab0ab.(3)特例与变形：若a是单位向量，则ab|b|cosa，b；cos；aa|a|2.(4)几何意义：a与b的数量积ab等于a的长度|a|与|b|在a的方向上的投影|b|cosab的乘积3空间向量数量积运算与运算律向量的数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，不满足：消去律，即由abbc不能推出ac，即向量不能约分；乘法结合律，即(ab)ca(bc)不

4、一定成立，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，但c与a不一定共线3、 探究问题 重点1空间向量的数量积的运算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：（1）； (2).小组讨论问题预设：变式1 设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60，且|a|5，|b|3，|c|8，那么(a3c)(3b2a)_；(2ab3c)2_.课堂展示问题预设：重点2利用空间向量的数量积求夹角例2(2014山东高密高二检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BC和CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角

5、课堂训练问题预设： 变式2 如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成角的余弦值整理内化：1、 课堂小结 2、 本节课学习内容中的问题和疑难31.3空间向量的数量积运算(理)班级 姓名 小组 号 限时训练 时间45分钟，满分100分1设a，b为空间的非零向量，下列各式：a2|a|2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2；(ab)cb(ac)(bc)a；向量b在向量a的方向上的投影为|a|cos其中正确的个数为()2.空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则.的值为()A60 B45 C120 D903如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a

6、，对角线AC1和BD1相交于点O，则有()A.2a2 B.a2C.a2 D.a24.给出下列命题：零向量与任何向量的数量积仍然是零向量；若ab0，则a，b为钝角；若ab1，|a|1，|b|，则a，b；ab2，|a|4，|b|3，则向量a在向量b上的投影数量为.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D35.已知非零向量a，b，c，若p，那么|p|的取值范围是()A(0,1 B1,2 C(0,3 D1,36.已知ab0，|a|2，|b|3，且(3a2b)(ab)0，则等于()A.BCD17.已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为1，则AD的长为()A1B2C3D.8.设|m|1，|n|2,2mn与m3n垂直，a4mn，b7m2n，则a，b_.9(2014赣州高二检测)三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160, 求 异面直线AB1与BC1所成角的余弦值