全国通用版版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第讲不等关系与不等式优选学案

1、第31讲不等关系与不等式考纲要求考情分析命题趋势1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用.2016北京卷，52016浙江卷，82016江苏卷，5利用作差、作商法比较大小，利用不等式的性质判断关于不等式的命题的真假.分值：5分1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab_ba_传递性ab，bc_ac_可加性ab_acbc_可乘性_acbc_注意c的符号_acbc_同向可加性_acbd_同向同正可乘性_acbd0_可乘方性ab0_anbn_(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0_(nN，n2)

2、3不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0_；a0b_；ab0，dc0_；0axb或axb0_.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则：，(bm0)；，(bm0)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab三种关系中的一种()(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(4)同向不等式具有可加和可乘性()(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母()解析(1)正确两个实数a，b之间的大小关系只有三种(2)错误同乘以一个负数或0时不等号改变(3)错误如24.(5)正确当这个比值中的分

3、母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母2下列四个结论，正确的是(D)ab，cdacbd；ab0，cd0acbd；ab0；ab0.ABCD解析利用不等式的同向可加性可知正确；根据不等式的性质可知acbd，故不正确；因为函数yx是单调递增的，所以正确；对由ab0可知a2b20，所以，所以不正确故选D3若ab0，cd0，则一定有(D)ABCD解析因为cd0，所以cd0，即得0，又ab0，得，从而有.4设a，b，cR，且ab，则(D)AacbcBCa2b2Da3b3解析yx3在(，)上为增函数，所以a3b3.5下列各组代数式所有正确的判断是_.x25x62x25x9；(x3

4、)2(x2)(x4)；当x1时，x3x2x1；x2y212(xy1)解析2x25x9x25x6x230，所以x25x62x25x9，故正确(x3)2(x2)(x4)1，所以(x3)2(x2)(x4)，故错误当x1时，x3(x2x1)(x1)(x21)0，所以当x1时， x3x2x1，故正确x2y212(xy1)(x1)2(y1)210，所以x2y212(xy1)，故正确一比较两个数(式)的大小比较大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论

5、要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小【例1】 (1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是(B)AMNBMNCMND不确定(2)对于0a1，给出下列四个不等式：loga(1a)loga；loga(1a)loga；a1aa1；a1aa1.其中成立的是(D)A与B与C与D与(3)若a，b，则a与b的大小关系为_ab_.解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a

6、1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.MN.(2)当0a1时，(1a)0，则1a1，因此成立(3)a0，b0，1，ab.二不等式的性质及应用(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等【例2】 (1)已知a，b，c，d为实数，则“ab且cd”是“acbdbcad”的(A

7、)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)若0，则下列不等式：abab；ab；abb2中，正确的不等式有(C)ABCD解析(1)因为cd，所以cd0.又ab，所以两边同时乘以(cd)，得a(cd)b(cd)，即acbdbcad.若acbdbcad，则a(cd)b(cd)，所以可能ab且cd，也可能ab且cd，所以“ab且cd”是“acbdbcad”的充分不必要条件(2)因为0，所以ba0，ab0，ab0，所以abab，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以abb2.因此正确的是.三应用不等式的性质求范围应用不等式性质求范围问题的注意点应用不等式的性质求某些代数式的取

8、值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围此外，这类问题还可以用线性规划的知识求解【例3】 三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，则的取值范围是_.解析两个不等式同时除以a，得将(1)得两式相加，得112，解得.1若a，bR且ab，则下列不等式恒成立的是(C)Aa2b2B1C2a2bDlg(ab)0解析A项，当a1且b2时，显然满足ab，但不满足a2b2，故错误；B项，当a1且b2时，显然满足ab，但，故错误；C项，由指数函数的

9、单调性可知当ab时，2a2b，故正确；D项，当a1且b2时，显然满足ab，但lg(ab)lg 10，故错误故选C2已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为(B)A(1，)B(0,2)C(1,3)D(0,3)解析由已知及三角形的三边关系得即两式相加，得024，的取值范围为(0,2)故选B3下列命题中正确的是(C)A若ab，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则abD若ab，cd，则acbd解析由不等式的性质知C项正确故选C4已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是(C)A若ab，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且ab0，则D若a2b2且ab0，则解析当c0时

10、，可知A项不正确；当c0时，可知B项不正确；对于C项，由a3b3且ab0知a0且b0，所以成立，C项正确；当a0且b0时，可知D项不正确易错点忽视两个变量的相互制约关系错因分析：由两个不等式的范围求另一个式子的范围时，宜采用待定系数法，否则会扩大所求范围【例1】 已知1ab5，1ab3，求3a2b的取值范围解析 设3a2bm(ab)n(ab)(mn)a(mn)b，则有解得3a2b(ab)(ab)(ab)，(ab)，23a2b10，即3a2b的范围是2,10【跟踪训练1】 已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围解析f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2

11、b.由题意得设m(ab)n(ab)4a2b，则解得故f(2)3(ab)(ab)33(ab)6,2ab4，53(ab)(ab)10，即5f(2)10，f(2)的取值范围是5,10课时达标第31讲解密考纲主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等一、选择题1设a，b为实数，则“a或b”是“0ab1”的(D)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析可通过举反例说明，当ab10时，a，b，但ab1001，所以不是充分条件；反之，当a1，b时，0ab1，但a，b，所以不是必要条件综上可知“a或b”是“0ab1”的既不充分也

12、不必要条件2若0，则下列结论不正确的是(D)Aa2b2Babb2Cab|ab|解析令a1，b2，代入选项验证可知D项错误3如果a，b，c满足cba，且acacBbcacCcb2ab2Dac(ac)0解析因为cba，且ac0，所以a0，c0，所以abaca(bc)0，bcac(ba)c0，ac(ac)0，所以A，B，D项均正确因为b可能等于0，也可能不等于0，所以cb2ab2不一定成立4已知0abBabC(lg a)2解析因为0ab1，所以0，可得；ab；(lg a)2(lg b)2；lg alg b0，可得.综上可知，只有D项正确5设，那么2的取值范围是(D)ABC(0，)D解析由题设得02，

13、0，0，2.6(2018湖北重点高中联考)已知0c1,1ab0，下列不等式成立的是(D)AcacbBCbacabcDlogaclogbc 解析对于A项，构造函数ycx，因为0cb0，根据单调性得知cacb，故A项错误；对于B项，两边取倒数得1，1，因为0cab0，故，故B项错误；对于C项，bacabc，两边变形得c，整理得bac0，logbc0，利用对数函数的换底公式，则有logaclogbc，故D项正确故选D二、填空题7已知ab0，则与的大小关系是_.解析(ab).因为ab0，(ab)20，所以0，所以.8若1ab3,2ab|b|，则a2b2；若ab，则b，则a3b3；若a0，1ba.其中所有正确结论的序号是_.解析对于，因为a|b|0，所以a2b2，即正确；对于，当a2，b1时，显然不正确；对于，显然正确；对于，因为a0，1b0，ab2aa(b21)0，所以ab2a，即正确三、解答题10若实数a1，比较a2与的大小解析a2，当a1时，a2；当a1时，a2.11已知x，y为正实数，满足1lg xy2,3lg4，求lg(x4y2)的取值范围解析设al