工科基础数学 第十一章 拉普拉斯(Laplace)变换

1、第十一章 拉普拉斯(Laplace)变换 积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另外一个函数的变换，这种变换在解微分方程或者其他方程中，有着广泛的应用。第一节 Laplace变换及其存在性拉氏变换的定义：设函数在时有定义，而且积分 在复参数s的某一范围内收敛，则称由此积分所确定的关于复参数s的函数 为函数的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为也称是的象函数，而也称为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为 =例1 设，求解 根据定义 = 说明：（1）是工程中常用的函数，叫单位阶跃函数，本章中的都指这个函数。（2）设，那么 通过这个例题可以看出，尽管拉氏变换是含有复参数的广义积分，但由于积分

2、变量是实变量，所以仍然是实变量的积分，只是在运算过程中有时要用到复数的某些概念（特别是在时），为了方便，本章的所有函数几乎都满足= 即带上限时，总是为零。至于F(s)的存在范围一般我们有以下的定理来确定。拉氏变换的存在定理 若函数满足下列条件：（1）在上的任意一个有限区间上连续；（2）当时，的增长速度不超过某一指定的函数，即存在正数M0及，使得 则的拉氏变换 F(s)= 在半平面上一定存在。这个定理指出两点：其一，所有不超过指数增长速度的函数的拉氏变换都存在；其二，的存在范围通过来确定，一般取较小的c.例2 求解 因为在，即,所以 即 ，例3 求解 因为在，即存在定理中，所以 = 例4 设，求

3、。解 在时，其中是一个很小的正数。所以 = = 例5 设是以T为周期的函数，在时有定义，求。解 根据拉氏变换的定义和定积分的性质有 令，所以 以上周期函数的拉氏变换可以作为公式使用，不仅如此我们还可以直接使用下面的几个结果： 另外为方便起见，在今后的计算中，对一般都不作要求。 试 一 试求下列拉氏变换1 23第二节 Laplace变换的性质拉氏变换是一个含复参数的广义积分，所以求拉氏变换就是求积分。但是很多函数的拉氏变换可以通过下面的性质，而无需求积分也能够得到结果。不仅如此，拉氏变换的性质还可以用来求拉氏逆变换。利用拉氏变换的定义和积分的性质，可以较为方便的得到下面的Laplace变换的性质

4、，所以我们将直接给出，而不加证明。线性性质 设均为常数，则 这个性质实际上包含了两个性质，即 ，该性质还可以推广到多个函数的运算中去。例1 设。解 位移性质 设，则 。 这个性质主要是对含有因子的函数，利用该性质和已知函数的拉氏变换，可以较方便的求出这一类函数的拉氏变换。例2 求。 解 因为，所以 。 这个例题可以直接使用前面的公式。例3 求。解 因为 ，所以 。相似性质 设是正的实数，则 例4 求。解 因，由相似性得 。 这种做法主要是用以说明相似性的用法，实际上可以直接使用公式。滞后性质 如果满足当时，且，那么对实数， 当时，有 例5 设，求。 解 因为，且满足滞后性质的条件，所以 微分性

5、质 设，且可微，则 这是一个非常重要的性质，不仅可以用它方便的求拉氏变换，而且后面的拉氏变换的应用也主要使用的是这个性质。该性质还可以推广为： 推论 如果的任意阶导数都存在，且，则 特别地，当时，有 例6 求，其中是常数。 解 设，则一方面 另一方面 所以 例7 求，其中n是正整数。 解 记，则该函数有任意阶导数，且 ， 所以 即 积分性质 设，则 重复使用该性质，可以得到下面的结果 例8 求。利用微分性质可以求出这一题，但是利用积分性质也可以求出结果。 解 因为 所以 象函数的微分性质 设，则尽管这是对复参数s求导，但具体计算时和实数一样。 例9 求。 解 因为 ，根据位移性质所以 象函数的

6、积分性质 设，且积分收敛，则 。还可以将其推广为 例10 求。解 因为，所以由象函数的积分性质得 卷积与卷积定理 我们称积分为的卷积，记为*，即利用定积分的性质，可以得到卷积满足交换律：，并且两个函数的卷积仍然是一个t的函数。例11 求，其中。解 。 卷积定理 设，则例12 求，其中。 解 本题可以采用两种方法来计算。方法一：利用例11的结论， 方法二：利用卷积定理， 象这样的题目，利用卷积定理来做显然要简单一些。利用以上拉氏变换的性质和下面的一些公式，无须计算积分，就可以较方便的求出函数的拉氏变换。序号112 其中n是正整数345例13 求下列函数的拉氏变换 （1） ； （2）; （3）;

7、（4）; （5）。解 （1） ；（2） ;（3） ;（4） ；（5） 。试 一 试求下列拉氏变换：（1） ; （2）;（3）; （4）,其中 n,m为正整数。第三节 拉氏逆变换 在拉氏变换的定义中，我们知道：如果，那么是 的拉氏逆变换，记为，即 本节所要讨论的是上节的逆运算，即已知，如何求出它的逆运算，也就是说，哪一个函数的拉氏变换等于？拉氏变换可以通过一个积分来计算，但拉氏逆变换的积分表达式 ，；其中却很难计算，所以本节我们介绍两种其他的方法。一 性质求逆法 该方法就是利用已知函数的拉氏变换（前面表中5个），和拉氏变换的性质来求拉氏逆变换，这里要用的性质主要是：线性性质 如果，是常数，则 位

8、移性质 如果，那么 积分性质 如果则 当n=1时 象函数的微分性质 如果则 当n=1时 象函数的积分性质 如果，则 当n=1时 该性质依然要求是收敛的。卷积定理 如果，则 另外，还要用到实函数的部分分式。下面主要通过例题来说明这种方法。例1 已知 ，求。解 因为，所以由位移性质得例2 求。解 由于；由线性性质得例3 求。解 例4 求 。解 因为所以 说明：本例中，是使用部分分式得来的。例5 求。解 将F(s)化成部分分式的和，设通分后得方程： 利用代入法或者比较法解得 所以 例6 求。 解 本题可以用多种方法计算 （方法一） 通分后得方程 解得 故 （方法二） 因为所以 = （方法三） 因为

9、所以 （方法四） 因为 ，利用卷积定理得 而 所以 例7 求的拉氏逆变换。解 因为设 通分比较分子得方程 解得 所以 例8 求。解 本题可以采用部分分式来做，但这里使用的是另外一种做法。因为 所以由积分性质得 通常求一题的拉氏逆变换，都不是一种方法，但是有的方法简单，有的较繁，甚至有的方法就不能用，比如利用卷积求拉氏逆变换，分母关于s的最高次方比分子至少要高2次。读者要善于总结这些共性。二、 海维塞（Heaviside）展式法这种方法使用的是复变函数中的留数，即使复变函数没有学过，通过这里的介绍也能轻松的掌握。设是关于x的n次多项式，如果 但是 ， 则称是的m阶零点（也称m重根）；当m=1时，

10、称的单阶零点。例如，那么x=0,x=2以及x=-1分别是的一阶（或单阶），三阶和5阶零点。若均为复变量的多项式，当分别是的m阶和n阶零点时，（1） 时，是的可去奇点，且在该点处的留数为零，记为 （2） 时，的阶极点（当时，也称一阶极点为单极点），并且 当时，在该点的留数为 或者的一阶零点时， 当时，即的n-m阶极点，此时的留数为 这里通常把可去奇点和极点称为是的孤立奇点。例9 求下列的孤立奇点及其类型，并求出在这些点处的留数。（1）； （2） ；解 （1）因为s=1,s=-2均为分母的一阶零点，不是分子的零点（通常称是零阶零点），所以 s=1和s=-2是的一阶极点，有 ；（2）和分别是分母的一

11、阶和二阶零点，是分子的零阶零点，所以他们分别是的一阶和二阶极点，有 ； 海维塞展式 设的所有孤立奇点，且，则有， 由于本章所讨论的函数基本都是初等函数，而这种函数的拉氏变换在，因此使用海维塞展式几乎可以求这里的所有象函数的拉氏逆变换。例10 求例9中的拉氏逆变换。解（1）根据海维塞展式（2）同理可得 。例11 求下列拉氏逆变换 （1）； （2）； （3）。解（1）因为在复数范围内，可见是的一阶极点，所以有海维塞展式得 这里使用了欧拉（Euler）公式 。（2）由F(s)可见，分别是二阶和一阶极点，故 ；（3）这是本节的例6，那里已经给出了四种解法，下面是第五种解法。因为，所以均为二阶极点，故

12、。试 一 试 求下列象函数的拉氏逆变换。1 ； 2. ；3 ； 4. ；5.。第四节 拉氏变换的应用在工程中，很多问题的解决最终都归纳为解微分方程，尽管使用不定积分可以求很多微分方程的解，但有的较繁（特别是高阶的），而使用拉普拉斯变换来求一些常系数的微分方程却比较简单，这种方法的基本步骤是：常系数微分方程的初值问题关于象函数的代数方程未知函数的拉氏变换的表达式方程两边取拉氏变换解代数方程 满足初始条件的微分方程的特解（） 求拉氏逆变换 例1 求微分方程 ， 满足初始条件：的特解。解 微分方程两边取拉氏变换，并由拉氏变换的微分性质得 求拉氏逆变换 。例2 求微分方程满足初始条件的解。解 按求解问

13、题的三个基本步骤求拉氏逆变换 。例3 求微分方程满足 的特解。解 方程两边取拉氏变换 。例4 求微分方程组 满足的解。解 和解微分方程一样，对方程组的两边同时取拉氏变换利用微分性质并带入初始条件得解该方程组得 再分别取拉氏逆变换 其实拉氏变换不仅可以求常系数的微分方程（组）的初始问题的解，它还可以用来求积分方程，求广义积分等等。有兴趣的读者可以参阅其他教材。本 章 小 结一、主要内容拉氏变换的定义，拉氏变换的存在定理，拉氏变换的性质，卷积，拉氏逆变换的求法，拉氏变换的应用。二、基本要求(1).熟练掌握用定义和性质求函数的拉氏变换；(2).熟练掌握拉氏逆变换的求法；.熟练掌握用拉氏变换求一般常系数微分方程满足初始条件的特解。习 题 111 求下列函数的拉氏变换