高考数学理全国通用大一轮复习课件第五篇数列必修5第2节等差数列

1、第2节等差数列,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.“a,A,b是等差数列”是“A= ”的什么条件? 提示:充分必要条件. 2.如何推导等差数列的通项公式? 提示:可用累加法. 3.如何推导等差数列的前n项和公式? 提示:利用倒序相加法推导.,知识梳理,1.等差数列的相关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 都等于 常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为(n2,nN*,d为常数). (2)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A= . 2.等差数列的通项公式 (1)若等差

2、数列an的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an= . (2)通项的推广:an=am+( )d.,差,同一个,an-an-1=d,a1+(n-1)d,n-m,3.等差数列的前n项和公式 (1)已知等差数列an的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn= . (2)已知等差数列an的首项a1与公差d,则其前n项和公式Sn= . 4.等差数列an的性质 (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,qN*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq= (p,q,mN*). (2)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列. (3)若下标成等

3、差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m, (k,mN*)成等差数列. (4)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. 5.等差数列的增减性与最值 公差d0时为递 数列,且当a10时,前n项和Sn有最 值.,2am,小,减,大,增,6.等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q= a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等

4、差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点. 【拓展提升】 1.等差数列an中,若am=n,an=m,则am+n=0. 2.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=Sn(mn),则Sm+n=0. 3.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).,对点自测,1.等差数列an中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为( ) (A)14(B)18(C)21(D)27,A,2.(2016临川一中期中)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则 S5等于( ) (A)5(B)7(C)9(D)11,A,D,答案:

5、13,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,等差数列的基本量运算,【例1】 (1)(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于() (A)100 (B)99 (C)98 (D)97,答案:(1)C,答案:(2)C,(3)(2016衡水中学调研)已知Sn是等差数列an的前n项和,且S6S7S5,给出下列五个命题: d0;S12|a7|. 其中正确命题的个数是.,解析: (3)因为等差数列an中,S6最大,且S6S7S5,所以a10,dS7S5,所以a60,a70,S6最大,所以不 正确;S11=11a1+55d=11(a1+5d)0,S12=12a1+66d=

6、6(a1+a12)=6(a6+a7)0, 所以正确,错误.故正确命题的个数为3. 答案:(3)3,差数列基本运算的方法策略 (1)等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可知三求二.解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想. (2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn= 结合使用,体现整体代入的思想.,反思归纳,【即时训练】 (1)(2016湖南衡阳八中一模)已知等差数列an中,a2=7, a4=15,则an前10项的和S10等于() (A)100 (B)210 (C)380 (D

7、)400 (2)(2016嘉兴一中期中)已知等差数列an,Sn是数列an的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列an的首项a1=,通项an=.,(2)设等差数列an的公差为d, 因为a4=10,S6=S3+39,所以a4+a5+a6=39, 所以3a4+3d=39,所以d=3, 所以a1=a4-3d=1,所以an=a1+(n-1)3=3n-2.,答案:(1)B(2)13n-2,答案:(3)20,考点二,等差数列的判断与证明,判定数列an是等差数列的常用方法 (1)定义法:对任意nN*,an+1-an是同一个常数; (2)等差中项法:对任意n2,nN*,满足2an=an+1+an-

8、1; (3)通项公式法:数列的通项公式an是n的一次函数; (4)前n项和公式法:数列的前n项和公式Sn是n的二次函数,且常数项 为0.,反思归纳,(2)求数列an的通项公式.,考点三,等差数列的性质,答案:(1) C,一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,m,p,qN*).数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列; 也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具.,反思归纳,【即时训练】 (1) 导学号 18702249 在等差数列an中,有3(a3+a5)+ 2(a7+a10+a13)=48,则此数列的前1

9、3项和为() (A)24(B)39(C)52(D)104,答案:(1)C,(2)设等差数列an的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n6),则数列an的项数n=.,答案:(2)18,考点四,等差数列的最值问题,【例4】 已知等差数列an的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时,Sn有最大值?,备选例题,【例1】 数列an的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上. (1)求数列an的通项公式;,(2)是否存在实数,使得数列Sn+n+ 为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.,【例2】 在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an;,解:(1)由题意得a15a3=(2a2+2)2, 由a1=10,an为公差为d的等差数列得, d2-3d-4=0, 解得d=-1或d=4. 所以an=-n+11(nN*)或an=4n+6(nN*).,(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.,等差数