2012届高三二轮复习常考专题复习17直线与圆.ppt

1、1.掌握确定直线位置的几何要素,理解直线的倾斜角 和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公 式,能根据两条直线的斜率判定两直线平行或垂直. 2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般 式),了解斜截式与一次函数的关系. 3.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，,学案17 直线与圆,掌握两点间的距离公式，点到直线距离公式,会求两 平行线间的距离. 4.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般 方程. 5.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置 关系;能依据所给两个圆的方程判断两圆位置关系. 6.能用直线和圆的方程解决一些简单问题，初步了解 用代数方法处理几何问题的思

2、想.,1.(2009重庆)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2) 的圆的方程是 ( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析 设圆的圆心为C(0,b),则 b=2.圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.,A,2.(2009辽宁)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相 切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为 ( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 解析 由题意可设圆心坐标为(a,-a),

3、则 解得a=1,故圆心坐标为(1,-1), 半径 所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.,B,3.(2009陕西)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2 +y2-4y=0所截得的弦长为 ( ) A. B.2 C. D. 解析 过原点且倾斜角为60的直 线方程为 圆x2+(y-2)2=4 的圆心(0,2)到直线的距离为d= 因此弦长为,D,4.(2009全国)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条 相互垂直的弦,垂足为M(1,2),则四边形ABCD的面 积的最大值为_. 解析 设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2, 四边形ABCD的面积S= |AC|BD|,5,题型一 直线的倾斜角

4、、斜率 【例1】若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点 到直线l:ax+by=0的距离为 则直线l的倾斜角的取 值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 将圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为(x-2)2+(y-2)2= 得圆心(2,2),半径为 .因为圆上至少有3 个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为 ,则圆心到 直线的距离应小于或等于,倾斜角的范围为0, ). 直线l的倾斜角的取值范围是 答案 B 【探究拓展】已知斜率的取值范围确定倾斜角的取值 范围，往往结合正切函数的图象解决,但对斜率的取 值范围有正负的情况,应注意分段.,变式训练1 (1)已知 R,则

5、直线 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知,直线的斜率 当0k 时,倾斜角的取值范围是0, ; k0时,倾斜角的取值范围是 故选C.,C,(2)已知直线l平分圆C:x2+y2-2x-4y+4=0,且与以A(3, 4),B(,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率 的取值范围为_. 解析 由题意可知,圆心坐标为C(1,2),设直线的斜 率为k,则l:kx-y-k+2=0,所以,题型二 直线的位置关系 【例2】若直线l1:(m+3)x+4y+3m-5=0与l2:2x+(m+5)y -8=0平行,则m的值为 ( ) A.-7 B.-7或-1 C.-6 D. 解析 由

6、题意m-3,m-5, 解之得,m=-7或m=-1,经检验m=-1舍去. 【探究拓展】直线位置关系的判定,应首先考虑直线 的斜率是否存在,若都存在,则利用斜率的数量关系 判定;若都不存在,则平行;若一条存在,另一条不存 在,则垂直.对于直线的一般方程,更应注意斜率的存 在与否.,A,变式训练2 (1)已知直线l1:ax+4y-2=0,l2:2x+5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为 ( ) A.-4 B.20 C.0 D.-24 解析 由题意知，,D,(2)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-

7、3=0 D.x+2y-3=0 解析 方法一 根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称 的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线 交点在直线x=1上可得答案为D. 方法二 (利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y), 则它关于x=1对称点为(2-x,y)在直线x-2y+1=0上, 2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.,D,题型三 圆的方程 【例3】在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2 +2x+b (xR)的图象与坐标轴有三个交点,经过这三 个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明

8、 你的结论. 解 (1)由题意可知,(2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0 D=2,F=b. 又x=0时,y=b,从而E=-b-1. 所以圆的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)x2+y2+2x-(b+1)y+b=0, 整理为x2+y2+2x-y+b(1-y)=0, 过曲线C:x2+y2+2x-y=0与l:1-y=0的交点， 即过定点(0,1)与(-2,1).,【探究拓展】当涉及圆心和切线时,设圆的标准形式 较简单;求圆的方程一般有两类方法,几何法,充分 利用平面几何的性质,求出相关几何量,进而确定圆 的方程;代数法,先设出所求

9、圆的方程,通过适当的 计算求出相关量,进而确定圆的方程.,变式训练3 在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与 直线 相切. (1)求圆O的方程； (2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、 |PO|、|PB|成等比数列,求 的取值范围. 解 (1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线 得圆O的方程为x2+y2=4.,(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1x2. 由题意得A(-2,0),B(2,0). 设P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列, 即x2-y2=2, =(-2-x,-y)(2-x,-y) =x2-4+y2=2(y2-1). 由于点P在圆O内

10、,故 由此得y21. 所以 的取值范围为-2,0).,题型四 直线与圆的位置关系 【例4】(2009江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知 圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为 求直线l的方程； (2)设P为平面上的点,满足:存在过 点P的无穷多对互相垂直的直线l1和 l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直 线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相 等,试求所有满足条件的点P的坐标.,解 (1)由于直线x=4与圆C1不 相交,所以直线l的斜率存在,设 直线l的方程为y=k(x-4)

11、,圆C1的 圆心到直线l的距离为d,因为直 线l被圆C1截得的弦长为 所以d= 由点到直线的距离公式得 从而k(24k+7)=0.即k=0或k= 所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.,(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b= k(x-a),k0,则直线l2的方程为y-b= (x-a). 因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦 长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到 直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而1+3k+ak-b=5k+b-a-bk或1+3k

12、+ak-b=-5k-b+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因为k的取值范围有无穷多个， 这样点P只可能是点 经检验点P1和P2满足题目条件. 【探究拓展】本小题主要考查直线与圆的方程、点到 直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析 问题的能力.,变式训练4 已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且 l与圆C交于P,Q两点,点M(0,b)满足MPMQ. (1)当b=1时,求k的值; (2)若k3,求b的取值范围. 解 (1)圆C:(x-1)2+(y-1)2=1, 当b=1时,点M(0,1)在圆上,故当且仅当直线l过圆心 C时满足

13、MPMQ, 圆心坐标为(1,1),k=1.,(2)由 消去y,可得(1+k2)x2-2(1+k)x+1=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), MPMQ, 即(x1,y1-b)(x2,y2-b)=0, x1x2+(y1-b)(y2-b)=0. 又y1=kx1,y2=kx2, x1x2+(kx1-b)(kx2-b)=0, 即(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0,当b=0时,此式不成立,从而 h(k)=-2k2+4k+2在(3,+)上单调递减, 即h(k)h(3)0,故g(k)在(3,+)上为负， 所以 在(3,+)上单调递减，,即g(k)g(3)= 且 所以(注:也可以用基本

14、不等式得出此结 论), 解此不等式得: 所以b的取值范围是,【考题再现】 矩形ABCD的两条对角线相交于M(2,0),AB边所在直 线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上. (1)求AD边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD外接圆的方程; (3)若动圆P过点N(-2,0),且与矩形ABCD的外接圆外 切,求动圆P的圆心的轨迹方程.,【解题示范】 解 (1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD 与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3. 又因为点T(-1,1)在直线AD上, 所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1), 即3x+y+2=0. 4分 (2)

15、由 解得点A的坐标为(0,-2), 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0). 6分 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又|AM|= 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. 8分,(3)因为动圆P过点N,所以|PN|是该圆的半径, 又因为动圆P与圆M外切,所以|PM|=|PN|+ 即|PM|-|PN|= 9分 故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为 的双曲线 的左支. 因为实半轴长a= ,半焦距c=2. 所以虚半轴长 从而动圆P的圆心的轨迹方程为 (x ). 12分,1.直线问题:求直线方程的主要方法：待定系数法. 在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选 择,直线

16、的倾斜角确定直线的方向,斜率k是倾斜角的 正切,对直线斜率的考查也包含了对倾斜角及其取值 范围的考查，要注意结合正切函数的性质.两直线 的位置关系在高考中也频繁出现,尤其是两直线的平 行与垂直，往往延伸到对称问题. 2.直线和圆的方程常见类型的解决:基本型:主要是 基本公式的应用,有关直线方程，圆的方程等试题都 属于基本要求，多以选择题、填空题的形式出现. 位置型:关于直线与直线位置，直线与圆位置关系的,试题出现次数较多,既有选择题和填空题,又有解答 题,既考查基础知识的应用,又考查综合运用知识分析 问题,解决问题的能力,注意选择几何方法转化问题, 降低运算量.公式活用型:对一些非解析几何问题

17、, 通过数形结合,借助斜率、截距等几何意义,或转化为 坐标对称问题,应用距离公式等解析几何手段简捷地 处理.对称型:这是高考命题的热点之一,常见的是 关于原点对称,关于坐标轴对称,应正确理解各种对称 的几何意义.综合型:是指对多种知识点的问题,既 有直线中多种知识点的综合,也包括直线知识与圆锥 曲线或代数等知识联系在一起的综合题,多以高档题 的形式出现,要求考生有较强的分析问题解决问题的 能力.,一、选择题 1.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90,再向右平移1个 单位长度,所得到的直线为 ( ) A. B. C.y=3x-3 D. 解析 直线y=3x绕原点逆时针旋转90所得到的直 线方程为 再

18、将该直线向右平移1个单位得到 的直线方程为,A,2.若直线 通过点 则 ( ) A.a2+b21 B.a2+b21 C. D. 解析 因为点 在以原点为圆心的单位 圆上, 即点M满足x2+y2=1. 由于直线 通过点M,即直线 与x2+y2 =1有公共点,即原点O到直线bx+ay-ab=0的距离应小 于等于1,D,3.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的 最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面 积为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意知圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=52, 点(3,5)在圆内,点与圆心的距离为1,故最长弦长为 直径

19、10,最短弦长为 四边形ABCD 的面积S=,B,4.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点, 则直线l的斜率的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 解析 如图所示,曲线(x-2)2 +y2=1是以B(2,0)为圆心,1为 半径的圆,要使过点A(4,0)的 直线l与圆有交点,可由图形得 直线l的斜率取值范围为 设直线l的方程为 y=k(x-4),利用d=r得 故应为,C,5.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条 切线,则两切线夹角的余弦值为 ( ) A. B. C. D.0 解析 圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心为M(1,1),

20、半径为 1,从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则点P到 圆心M的距离等于 ,每条切线与PM的夹角的正切 值等于 所以两切线夹角的正切值为 该角的余弦值等于,B,6.(2008湖北)过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有 ( ) A.16条 B.17条 C.32条 D.34条 解析 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=169.圆心为 (-1,2),半径为13,因此点A(11,2)在圆内,故过点 A(11,2)作的最长的弦长为26,这样的弦只有1条;最 短的弦长为 这样的弦也 只有1条.在区间(10,26)之间共有15个整数,而对于 每个

21、整数由对称性知有两条弦的长度与之对应,故弦 长为整数的共有2+215=32(条).,C,二、填空题 7.(2008四川)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y- 1)2=2,则C上各点到l距离的最小值为_. 解析 圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2, C(1,1),点C到直线l的距离为 圆C上各点到l距离的最小值为 8.(2008天津)已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线 y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且 |AB|=6,则圆C的方程为_.,解析 设点P(-2,1)关于直线y=x+1的对称点为C(a,b), 圆心C(0,-1),圆心C到

22、直线3x+4y-11=0的距离为 又弦长|AB|=6. 由于半径、半弦长、弦心距d构成直角三角形得 R2= +d2,R2=9+9=18. 圆C的方程为x2+(y+1)2=18. 答案 x2+(y+1)2=18,9.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的 半径最小的圆的标准方程是_. 解析 曲线化为(x-6)2+(y-6)2=18,其圆心到直线 x+y-2=0的距离为 所求的最小圆 的圆心在直线y=x上,其到直线的距离为2,圆心坐标 为(2,2).,(x-2)2+(y-2)2=2,10.(2008山东)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为_. 解析 作出可行域如图所示,A(3,5).