统计学-03第三章-统计分布的数值特征

1、第三章,统 计 分 布 的 数 值 特 征,目 录,第一节 集中趋势指标 第二节 离散程度指标 第三节 分布形态描述指标 思考与练习,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,2,第一节 集中趋势指标,1.1 算术平均数 1.2 调和平均数 1.3 几何平均数 1.4 A、H、G的比较 1.5 众数 1.6 中位数 1.7 四分位数 1.8 平均指标的比较,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,3,第一节 集中趋势指标,分布的集中趋势数据呈现出在一定范围内围绕某个中心分布的特征，反映数据向某一中心靠拢或者集中的程度。 分布的集中趋势用统计平均数来反映,第三章 统计分布的数值特征

2、,2020/9/15,4,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,5,统计平均数,第一节 集中趋势指标,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,6,集中趋势指标的作用 1. 反映数据分布的一般水平和集中趋势。如数据存在向中心点集聚或靠拢的趋势，集中趋势指标便是对其中心点的描述。 2. 对于时间序列数据，集中趋势指标反映序列一般水平。如某市若干年GDP时间序列，其平均数说明该市这些年GDP的一般水平。,第一节 集中趋势指标,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,7,平均指标的一般含义：,平均指标与强度相对指标 人均钢铁拥有量 人均钢铁日产量,1.1 算术平均数,第三章

3、统计分布的数值特征,2020/9/15,8,1.1 算术平均数,算术平均数： 简单算术平均数和加权算术平均数。 简单算术平均数将各单位的标志值简单加总起来，再除以变量值个数。 适用于未分组的数据。 如果全部数据为：,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,9,1.1 算术平均数,【例3-1】某农作物在6块生产条件基本相同的地块上试种，其亩产（公斤/亩）分别为 800、900、950、960、1 000、1 050，求其平均亩产。 解 即这6块地的平均亩产为943.3公斤。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,10,1.1 算术平均数,算术平均数： 简单算术平均数和加权算术平

4、均数。 加权算术平均数适用于分组的数据。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,11,1.1 算术平均数,加权算术平均数：,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,12,1.1 算术平均数,加权算术平均数：,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,13,1.1 算术平均数,【例3-3】 现抽查某地 200户 3 口之家家庭的月生活费支出资料如下表，试计算这 200户家庭的月平均生活费支出。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,14,1.1 算术平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,15,1.1 算术平均数,【解】200户家庭月平均生活费支

5、出为：,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,16,1.1 算术平均数,2. 各变量值与平均数的离差平方和为最小。,1. 各变量值与平均数离差之和为零。,3.,4.,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,17,调和平均数： 是标志值的倒数的算术平均数的倒数，也称倒数平均数。 在统计中一般作为算术平均数的变形加以应用。 调和平均数也分为简单的和加权的调和平均数两类。,1.2 调和平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,18,1.2 调和平均数,【例3-5】甲、乙两企业生产同一产品，它们的劳动生产率和总产量的资料如下表所示。试计算甲、乙两企业的平均劳动生产率。,

6、第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,19,1.2 调和平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,20,1.2 调和平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,21,1.2 调和平均数,计算平均指标时，是采用算术平均数，还是采用调和平均数。一般不可简单套用公式。 要根据客观实际问题所反映的经济关系和所掌握的资料来选择平均数的计算形式。 可见，求解平均数问题的关键是要熟练掌握客观现象的经济关系实质。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,22,1.2 调和平均数,相对数的平均数 求相对数的平均数是一个难题，说它难，不是计算困难，而是人们往往“想当然地

7、”求解，结果一动手就发生了错误。 例如，三所大学“四、六级英语考试”的过级率分别是：50%、60%、70%。问这三所学校平均过级率是多少？ 下面来看一个较为复杂的例子。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,23,1.2 调和平均数,【例】泉州地区石材业比较发达，为了了解该行业的经济效益情况，现抽查了100家石材生产企业某年上半年和下半年的产值、利润和产值利润率的情况列入下表。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,24,1.2 调和平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,25,1.2 调和平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,26,1.2

8、 调和平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,27,1.2 调和平均数,【例】某集团公司下属三个企业，有关计划完成情况的资料如下表所示。求三企业平均计划完成百分数。,105,475 / 0.95 = 500,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,28,1.2 调和平均数,由此可以看出，计算统计指标时，一定要： 1. 理解客观经济现象的实质； 2. 根据掌握的资料灵活计算； 3. 不能简单套用计算公式。 在后面进行动态分析时，我们还会遇到这种情况。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,29,1.3 几何平均数,几何平均数的计算公式：,几何平均数在统计上更多地

9、是用于计算平均发展速度 , 进行时间数列分析。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,30,1.3 几何平均数,【例】某产品需要经过3道工序才能加工完成，任何一道工序失败则为不合格品。已知这三道工序的合格率分别为96%、98%、90%，请问三道工序的平均合格率为多少？,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,31,【解】 （简单几何平均数）,合格品 率？,1.3 几何平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,32,【例】一位投资者持有一种股票，投资期限10年，前 5 年收益率分别为 4.5%、2.1%、25.5%、1.9%、2%，后 5 年收益率均为3%，考虑复

10、利的情况，试计算该投资者在这10年内的平均收益率。,1.3 几何平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,33,【解】 设该项投资初始本金为1，年平均收益率为i，则,1.3 几何平均数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,34,算术平均数 A、几何平均数 G、调和平均数 H ，它们都是幂平均数的三种具体特殊形式。,1.4 A、H、G 的比较,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,35,1.4 A、H、G 的比较,A、G、H 三种平均数需要所有标志值参与计算，统称为数值平均数。 它们都能度量数据的集中趋势或总体的一般水平，在经济管理领域应用广泛。 数值平均数需

11、要所有数据参与计算，因而容易受极端值影响。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,36,1.4 A、H、G 的比较,下面介绍另一类平均数众数、中位数、四分位数。 这些平均数是根据数据中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定。 习惯把它们称为位置平均数 。 位置平均数具有直观代表性，这是它最大的优点。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,37,1.5 众数,众数（Mode） 是一组数据中出现次数最多的那个标志值，或频率最高的标志值。 众数也可以概括地反映全部数据的一般水平或集中趋势。 1.未分组变量数列或单项式分组数列求众数,第三章 统计分布的数值特征,2020/

12、9/15,38,1.5 众数,1.未分组变量数列或单项式分组数列 【例】下列 10 个数： 5、6、6、4、8、7、6、5、6、9 众数为： Mo= 6 （频数为4，最多）,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,39,【例】某车间工人按技术级别分组如下：,该车间工人技术级别的众数 Mo= 3 (级),频数最多、频率最高,1.5 众数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,40,1.5 众数,2.组距式分组数列 假设条件： （1）假定众数一定出现在次数最多的组； （2）众数组内各单位分布基本均匀。,2020/9/15,第三章 统计分布的数值特征,41,【例】某课程考试成绩如下

13、：,1.5 众数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,42,组距式数列确定众数的公式,下限公式： 上限公式：,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,43,方法 一：以下限为基准,1.5 众数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,44,方法 二：以上限为基准,1.5 众数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,45,1.6 中位数,【例】下列 10 个数： 5、6、6、4、8、7、6、5、6、9 排序（从小到大）： 4、5、5、6、6、6、6、7、8、9,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,46,【例】某车间工人按技术级别分组如下：,该车间

14、工人技术级别的中位数 Me = 3 ( 级 ),1.6 中位数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,47,【例】某班某课程考试成绩如下：,1.6 中位数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,48,1.6 中位数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,49,一、以下限为准：,二、以上限为准：,1.6 中位数,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,50,1.7 分位数,如将一组数据排序后分成 n 等份，可把等分点上的数值称为分位数。 若分为 4、10、16个等份，则分位点上的数就相应称为四分位数、十分位数、十六分位数。 要将数据分成n等份，则需n-1个分

15、点。 中位数也是分位数中的一种，它把整个数据分成了相等的两部分。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,51,1.8 平均指标的比较,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,52,1.8 平均指标的比较,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,53,算术平均数、众数、中位数的关系 1. 在对称钟型分布情况下：,1.8 平均指标的比较,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,54,2. 皮尔生规则钟型分布轻微偏斜情况：,正偏分布,1.8 平均指标的比较,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,55,2. 皮尔生规则钟型分布轻微偏斜情况：,负偏分布,1.8

16、 平均指标的比较,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,56,2.1 极差 2.2 四分位差（略） 2.3 平均差 2.4 方差与标准差 2.5 是非标志的数字特征 2.6 变异系数,第二节 离散程度指标,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,57,离散程度指标又称离中趋势指标、变异指标、标志变动度。 离散程度指标反映的是数据围绕中心上下波动的程度，反映数据差异程度的指标。,第二节 离散程度指标,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,58,第二节 离散程度指标,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,59,2.1 极差,第三章 统计分布的数值特征,2020

17、/9/15,60,2.3 平均差,2. 平均差 总体所有单位的标志值与其平均数的离差绝对值的算术平均数。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,61,2.3 平均差,【例】某乡耕地化肥施用量如下表。试计算化肥施用量的平均差。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,62,2.4 方差与标准差,方差与标准差是测定数据离散程度最常用的指标。 方差各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数。 标准差方差的算术平方根，标准差又称为“均方差”。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,63,方差与标准差计算公式,2.4 方差与标准差,第三章 统计分布的数值特征,2020/

18、9/15,64,方差的另一计算公式：,2.4 方差与标准差,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,65,2.4 方差与标准差,【例】某企业职工工资资料如下表，试计算职工平均工资和工资的标准差。,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,66,2.4 方差与标准差,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,67,2.4 方差与标准差,1.平移不变性：,2.线性关系：,3. x、y 相互独立，,4. 同一分布：,第三章 统计分布的数值特征,2020/9/15,68,是非标志（交替标志、0-1标志） 对于某一总体按某标志分成两类，一类具有某种属性，而另一类则不具备该种属性，其标志表现为“是”与“非”、“合格”与“不合格”、“有”与“无”等，这种标志称为是非标志，或交替标志。 通常用“1”表示具有某种属性的标志值，用“0”表示不具有这种属性的标志值，因而是非标志又称为“0-1标志”。,2.5