维开集、闭集、完备集的构造.ppt

1、2 开集、闭集、完备集,定义. 若点集 E 的点都是它的内点, 则称 E 为开集。,例如，在平面上,开集,由定义可见, 点集 E 是开集的充要条件是, E 中每一点都存在一个邻域包含在E中。,由E的内点全体所成的集称为E的内部, 记为 .,显然E的内部 是开集 .,此外, 整个空间Rn与空集,也是开集.,E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,由闭集的定义不难看出：,点集 E 为闭集的充要条件是E E .,E为开集的充要条件是 .,无外壳者是开集,有外壳者是闭集,闭集,例如，在平面上,包含E 的最小闭集称为E 的闭包, 记为 。,可以证明,例如，R1的点集,定理1. (1) 恒为开集

2、。,(2) 整个空间Rn与空集是开集。,定理2. (1) 恒为闭集。,(2) 整个空间Rn与空集是闭集。,证明：只证明(1)。,若E是有限集，则E没有聚点, 所以是闭集.,若E是无限集, 设x0是E的一个聚点, 则对于x0的任意邻域N (x0), 都含有E中异于x0 的点x, 即xN (x0)是E的一个聚点, 从而N (x0)含有E的无穷多个点, 因而x0也是E的一个聚点, 所以x0 E。因此E包含自己的导集，从而E是闭集.,因 , 故,这就证明了 是闭集。,Q. E. D.,定理3. (1) E为开集的充要条件是 E = Eo。,充分性得证。,(2) E为闭集的充要条件是 。,证明： (1)

3、显然。,(2) 若 , 则由定理2知, E为闭集。,若E为闭集, 则EE,从而,Q. E. D.,定理4. 设 E为空间Rn的子集。则E为闭集当且仅当Ec = Rn -E为开集.,证明：必要性。设E为闭集。,任取 x0 Ec = Rn E, 则x0 E。又因E为闭集, 所以x0不是E的聚点。从而存在x0的一个邻域N(x0, )只含 有E中有限个点：x1 , x2 , , xk 。因x0 E, 故这k个点异于x0。,则0。再由的取法， N(x0, ) E= , 即,N(x0, )Ec,Ec = Rn -E是开集.,令,设Ec 为开集. 则对任意 x0Ec , 存在x0 的一个邻域N(x0, ),

4、 使得N(x0, )Ec. 即N(x0, )中没有E中的点, 因此x0 不是E 的聚点. 这表明E 的聚点全部在E 中, 即E E. 因此E为闭集.,充分性。 设Ec = Rn -E为开集。,定理5 (开集的基本性质)开集具有如下的性质:,(i) 任意个开集的并集是开集.,(ii) 有限个开集的交集是开集.,证明:,(i) 设 是任意一族开集. 任取,证明存在x0的一个邻域 包含在 中即可.,(ii) 设A1 , A2 , , Ak 是k个开集. 任取,证明存在x0的一个邻域 包含在 中即可.,Q. E. D.,定理7 (闭集的基本性质)闭集具有如下的性质:,(i) 任意个闭集的交集是闭集.,

5、(ii) 有限个闭集的并集是闭集.,由De Morgan 公式, 得,注意, 任意个开集的交集不一定是开集.,Q. E. D.,定理9 若E是Rn中的开集, F是Rn中的闭集, 则E-F,是开集, F-E是闭集。,证明：,E-F= EF c,F-E= FE c,Q. E. D.,定理10 (Borel有限覆盖定理) 设F是一有界闭集，被一族开集 所覆盖(即 ), 则总可以从这族开集中选出有限多个开集U1, U2, , Um,来覆盖F，即,证明：略。,Q. E. F.,例：Cantor 集,下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集Cantor(三分)集.,(1) 第一次去掉的开区间是,在闭区间

6、0,1中,20个开区间,(2) 第二次去掉的开区间是,21个开区间,(3) 第三次去掉的开区间是,.,22个开区间,(n) 第n次去掉的开区间是,2n-1个开区间,记,则Cantor 集,G的长度,E的长度,注： 第一次次去掉开区间 后剩下的闭区间,21个闭区间,第二次去掉开区间 后剩下的闭区间,22个闭区间,记,每个闭区间长度,每个闭区间长度,则E也可表示为,1o Cantor 集E是一非空闭集, 即E E.,结论:,2o Cantor 集E是一自密集, 即E E.,3o Cantor 集E是一完备集, 即E = E.,一个集合A, 如果它的闭包不包含任何邻域, 则称为是无处稠密的(这时也称

7、A为疏朗集 、离散集)。,4o Cantor 集E是一疏朗集.,5o Cantor 集E具有连续统基数, 即它是不可 数的.,6o Cantor 集E是一零测度集.,一个集合A是疏朗集当且仅当其内部Ao = 。,证明：,1o 前已证.,2o 由Cantor 集的定义, 在第n次删除2n-1个开区间后,其长度都为 .,剩下的2n个闭区间,于是,3o 由1o和2o即得.,4o 为证E是疏朗集, 只需证明Eo = .,5o Cantor 集E具有连续统基数, 不证。可参看那汤松著实变函数论.,6o Cantor 集E是一零测度集.,构造Cantor 集E时从0,1中去掉的那些开区间的长度之和为1.,

8、Q. E. D.,我们已知, 任意个开集的并集是开集, 但任意个开集的交集未必是开集;任意个闭集的交集是闭集, 但任意个闭集的并集是未必是闭集。于是我们给出如下定义,定义 可数个闭集的并集, 称为F-型集.,可数个开集的交集, 称为G-型集.,注： F-型集未必是闭集, G-型集未必是开集.,Borel集 开集和闭集是Rn中的常见的集. 但Rn中有一些常见的集, 它们既不是开集,也不是闭集. 例如, 可数个开集的交不一定是开集, 可数个闭集的并不一定是闭集. 下面我们要考虑的Borel 集就包含了这类集, 并且Borel 集类对一切有限或可数并、交、余和差运算都封闭.,定义. 以开集、闭集为对

9、象, 作至多可数次并或交的运算所得到的集统称为Borel集Rn中所有Borel集所成之集类为Bn。 今后当没有必要指明空间维数或空间维数不指即明时， Bn 也可简记为B,定理11. Rn中的Borel集类是一个-代数。,为Rn中的开方体(或开区间), 记为(a, b).,类似可定义Rn中的其它类型的方体. 在直线R1和平面R2中方体分别就是区间和矩形.,定理12 Rn中所有的开集, 闭集, 有限集或可数集, 各种类型的方体都是Borel 集.,证明 由定义即知开集是Borel 集. 由于Borel 集类对余运算封闭, 而闭集是开集的余集,故闭集是Borel集. 因为单点集a是闭集, 所以单点集是Borel集. 由于有限集或可数集可以表示成单点集的有限并或可数并, 而Borel 集类对有限并或可数并封闭, 所以有限集或可数集是Borel 集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体和闭方体是Borel 集. 往证半开半闭方体是Borel 集. 为简单计, 不妨只考虑直线上的情形. 由于等式 和Borel 集类