人教A高中数学选修11同课异构课件313导数的几何意义情境互动课型

1、3.1.3 导数的几何意义,1.平均变化率,函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:,2.平均变化率的几何意义： 割线的斜率,O,A,B,x,y,y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,3.导数的概念,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率,4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤,1.根据导数的几何意义描述实际问题. 2.求曲线上某点处的切线方程.（重点） 3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解. （难点）,平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？,探究点1 切线,提示：按照交点的个数。,观

2、察：如图，当Pn(xn,f(xn)(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？,探究1:观察图形,思考下列问题,明确切线与割线的关系.,(1)当P1,P2,P3,Pn的位置逐渐靠近点P时,割线PPn的位置与PT的位置有什么关系?,提示:割线PPn逐渐接近PT.,【探究总结】 对切线的两点说明 (1)切线是否存在的判断:曲线上一点是否有切线,要根据割线是否有极限位置来判断.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线.,如图,直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?,l2,l1,A,B,O,x,y,【即时训练】,解答：直线

3、l1 不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线。,在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线 斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系？,平均变化率,割线的斜率,瞬时变化率（导数）,切线的斜率,探究点2 导数的几何意义,提示：,提示:据两点间的斜率公式知 kPT的值不知道,但当Pn接近于点P时,割线PPn接近于PT,可以 用 近似地表示kPT.,(2)设点P(x0,y0),Pn(xn,yn),则 是多少?你能知道kPT是多少吗?,函数 在 处的导数就是曲线 在点(x0,f(x0)处的切线的斜率 ， 即：,曲线在点(x0,f(x0)处的切线的方程为：,导数的几何意义,（2016齐齐哈尔高

4、二检测）曲线f(x)= 在 点（1，5）处的切线斜率为 ( ) Ak=3 Bk=3 Ck=4 Dk=4,C,【即时训练】,例1 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,解：,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 求出切点的坐标； 求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数； 利用点斜式求切线方程.,【总结提升】,2.已知曲线C:y=x3-x+2,求曲线过点P(1,2)的切线方程.,【互动探究】,【解题关键】 注意题中信息为过点P(1,2)的切线方程,故需要注意验证其是否为切点.,解：设切点为(x0,x03-x0+

5、2)， 则得y|x=x0 = (x)2+3x0 x+3x02-1)=3x02-1. 所以切线方程为y-(x03-x0+2)=(3x02-1)(x-x0). 将点P(1,2)代入得:2-(x03-x0+2)=(3x02-1)(1-x0) 即(x0-1)2(2x0+1)=0,所以x0=1或x0=,若曲线C:y=x3-x+2上一点P处的切线恰好平行于直线y=11x-1,则P点坐标为,切线方程为.,【即时训练】,【解析】设点P坐标为(x0,x03-x0+2),则曲线C在点P处的切线的斜率为f(x0)=3x02-1,又因为切线平行于直线y=11x-1,所以3x02-1=11,即x02=4,即x0=2,所

6、以P点坐标为(2,8)或(-2,-4),则切线方程为y-8=11(x-2)或y+4=11(x+2),即y=11x-14或y=11x+18.,答案:(2,8)或(-2,-4)y=11x-14或y=11x+18,例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,的图象. 根据图象, 请描述、,比较曲线 在 附近的变化情况.,t4,t3,解:可用曲线h(t)在t0 ,t1 ,t2处的切线刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线l0平行于 t 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.,(2)当t = t1时, 曲

7、线 h(t)在t1处的切线l1的斜率 h(t1)0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.,(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0.故在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.,从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.,通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论? (1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致 可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的 切线近似代替. (2)函数的单调性与其导函数正负的关系. (3)曲线的变化快慢及切线的倾

8、斜角的内在联系.,【总结提升】,已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示,记k1=f(1),k2=f(2),k3=f(2)-f(1),则k1,k2,k3之间的大小关系为.(请用“”连接),提示:曲线的导数越大,曲线的弯曲程度越大,图象变化得越快.,【变式练习】,解：由导数的几何意义可知k1,k2分别为曲线在A,B处切线的斜率,而 k3=f(2)-f(1)= 为直线AB的斜率, 由图象易知k1k3k2. 答案:k1k3k2,例3 如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象，根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出.(精确到0.1),解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度,从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.,f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）,以简单对象刻画复杂的对象.,B,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,y2x1,直,2.函数