人教高中数学选修44课件14柱坐标系与球坐标系简介

1、四 柱坐标系与球坐标系简介,【自主预习】 1.柱坐标系 如图,在柱坐标系中, : _ :_ z:_ 范围:0,_, _z _.,|OQ|,xOQ,QP,0,2,-,+,2.球坐标系 如图,在球坐标系中, r: _ :_ :_ 范围:r0, _,_.,|OP|,zOP,xOQ,0,02,3.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z),球坐标为(r,),则,cos,sin,z,rsincos,rsinsin,rcos,【即时小测】 1.柱坐标系中,点的柱坐标 化为直角坐标为 () A.(2,2,3)B.(2,3,0)C.(0,2,3)D.(2,0,3),【解

2、析】选C.设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z), 因为(,z)=,所以点P 的直角坐标为(0,2,3).,2.将球坐标 化为直角坐标为() A.(1, ,1)B.(1, ,0) C.(1,0, )D.(0, ,1),【解析】选D.点的球坐标(r,)化为直角坐标为(x,y,z)=(rsincos,rsinsin,rcos), 所以 化为直角坐标为,【知识探究】 探究点柱坐标系与球坐标系 1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标有什么特点?,提示:(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系在平面xOy内构造平面极坐标系,球坐标系是构造点P到原点的距离|OP|

3、=r与射线Oz构成极坐标系,且OP在平面xOy内的射影与射线Ox也构成平面极坐标系.,(2)点P的直角坐标是有序实数组(x,y,z),柱坐标是含有一个极角的有序数组(,z),球坐标是含有两个极角的有序数组(r,).,2.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制? 提示:空间点的坐标都是三个数值,至少有一个是距离.,【归纳总结】 1.柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系 柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.,2.对球坐标系

4、的三点说明 (1)在球心为O,r为半径的球中,建立球坐 标系,如图, 其中,|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且 OP在平面xOy内的射影OQ与射线Ox也构成极坐标系,所 以球坐标系也称为空间极坐标系.,(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在测量实践中,球坐标P(r,)中的角称为被测点P的方位角,90-称为高低角. (3)在球坐标系中,方程r=r0(r0为正常数)表示球心在原点,半径为r0的球面;,方程=0(00 时,“圆锥面”在平面xOy下方.,类型一柱坐标与直角坐标的转化 【典例】把点P的直角坐标(2,2 ,4)化为柱坐标.,【解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么? 提

5、示:直角坐标与柱坐标互化的依据是公式,【解析】点P的直角坐标(2,2 ,4)化为柱坐标 解得 所以点P的柱坐标为,【方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式 设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z), (1)柱坐标化为直角坐标的公式为 即柱坐标(,z)的直角坐标为(x,y,z)=(cos, sin,z).,(2)直角坐标化为柱坐标的公式为 即直角坐标(x,y,z)的柱坐标为 其中, 且的终边经过(x,y).,【变式训练】1.将点的柱坐标 化为直角坐标 为() A.( ,1,-1)B.( ,-1,-1) C.(- ,1,-1)D.(- ,-1,-1),【解析】选C.因为M点的柱坐标

6、为 设点M的直角坐标为(x,y,z), 所以 即 所以,2.将点的直角坐标(- ,-3,4)化为柱坐标为_.,【解析】设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为 (,z), 因为(x,y,z)=(- ,-3,4), 由公式 且的终边经过点(- ,-3),故= ,所以点的直角坐标(- ,-3,4)化为柱坐标为 . 答案:,类型二球坐标与直角坐标的转化 【典例】已知点M的球坐标为 求它的直角坐标.,【解题探究】球坐标与直角坐标互化的依据是什么? 提示:球坐标与直角坐标互化的依据是公式,【解析】设点M的直角坐标为(x,y,z), 因为点M的球坐标为 所以 所以M的直角坐标为,【延伸探究】 1.若点M

7、的球坐标变为 则它的直角坐标是什么?,【解析】因为 故直角坐标为,2.求点M的柱坐标. 【解析】设点M的直角坐标为(x,y,z), 因为点M的球坐标为 所以 所以M的直角坐标为,所以 由 02,得 故柱坐标为,【方法技巧】点的球坐标与直角坐标的互相转化公式 设点P的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,), (1)球坐标化为直角坐标的公式为,即球坐标(r,)的直角坐标为(x,y,z)= (rsincos,rsinsin,rcos). (2)直角坐标化为球坐标的公式为,即直角坐标(x,y,z)化为球坐标的步骤为: 先求 再求,最后求, 将球坐标表示为(r,).,【变式训练】 1.在球坐标系中,点的球坐标(2,0)化为直角坐标为 () A.(0,0,2)B.(0,0,-2) C.(0,2,0)D.(0,-2,0),【解析】选B.点的球坐标(r,)化为直角坐标为(x,y,z)=(rsincos,rsinsin,rcos), 所以球坐标(2,0)化为直角坐标为(2sincos0, 2sinsin0,2cos)=(0,0,-2).,2.求球坐标 对应的点的直角坐标与柱坐标. 【解析】因为点的球坐标为 所以,即球坐标 对应的点的直角坐标是 又由 得 即对应点的柱坐标是,自我纠错坐标互化公式的应用 【典例】求直角坐标 对应的球坐标.,【失误