七数培优竞赛讲座第13讲 一次方程组

1、第十三讲 一次方程组 一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法 解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数基本思路是通过消元，将方程组的解

2、的讨论转化为一元一次方程解的讨沦例题 【例1】 给出下列程序： ，且已知当输入x值为1时，输出值为1；输入的x值为一1时，输出值为一3，则当输入的x值为时，输出值为 (南通市中考题) 思路点拨 建立关于k，b的方程组，解方程组先求出k、b的值 注：方程、方程组是代数研究的主要内容，当未知数增加、未知数的次数增高，就得到复杂的方程组和高次方程，这是后续学习的主要内容，但解法的思想却不变，即消元与降次方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程蛆的解的基本方法透彻理解方程蛆的概念并能灵活适用，是解与方程组的概念相关问题的关键 【例2】 若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0

3、(xyz0)，则代数式的值等于( )A B C15 D13 (全国初中数学竞赛题)思路点拨 视z为常数，解关于x、y的方程组，这是解本例的关键 【例3】 解下列方程组： (1) (2) (3) 思路点拨 对于(1)解关于、的方程组，对于(2)运用整体叠加法解；对于(3)通过取倒数、拆分得到关于、的方程组 【例4】 k、b为何值时，方程组 (1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解? 思路点拨 通过消元，将方程组的解的情况的讨论转化为一元一次方程解的情况讨论 注： 所谓“整体叠加”就是说在解一些复杂的方程组，若方程组未知数系数规律可循，可直接把方程作加或作减，而不必拘泥于一般意义上的代入

4、法、加减法，就能达到简化方程组目的【例5】 已知m是整数，方程组有整数解，求m的值 ( “华杯赛”试题)思路点拨 先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数【例6】已知方程组与有相同的解，则的值为( ) A B C D思路点拨 由方程组的解的意义可知，它的解满足方程组解之得，代入得解，故选D【例7】 (全国初中联赛题)若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么a+b+c+d的最大值是( ) A1 B5 C0 D 1 思路点拨 有条件得，a+b+c+d=5b b是正整数，其最小值为1，于是a+b+c+d =5b的最大值是5故选B 【

5、例8】(全国通讯赛试题)已知：，求z-y的值 思路点拨x-y=(x-z)+(z-y)，代入方程组并化简得（4）(3)(1988+1990)得z-y=1989 学力训练1（1）方程组的解是 (荆州市中考题) (2)若关于x的方程m(x一1)2001一n(x一2)有无数个解，则m2003+n2003 2(1)已知方程组，由于甲看错了方程中的a得到方程组的解为；乙看错了方程中的b得到方程组的解为，若按正确的a、b计算，则原方程组的解为 (2)若和都是的同类项，则的值 是 3若与互为相反数，则(x+y)2001 ( “希望杯”邀请赛试题)4当a 时，方程组的解x、y互为相反数，方程组的解为 (天津市竞

6、赛题)5已知x-y=4，那么x+y的值是( ) A土 B土 c士7 D土11 (宁波市中考题)6关于x、y的方程组无解，则a的值为( ) A一6 B6 C9 D307若是方程组的解，则a与c的关系是( ) A4a+c9 B2a+c9 C4a一c9 D2ac98已知(x一y+1)2十0，则x2一3xy+2y2的值为( ) A0 B4 C6 D12 (重庆市竞赛题)9解下列方程组：(1) （2）（3） 10已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程(a一b)x一(a十b)ya+b 有一组公共解，求这个方程的公共解 (江苏省竞赛题) 11若，则= 12观察表格，由表格可得a ，b ，c x012ax21x2+bx+c33 并在表格中的空格处填上正确的数13m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，即x、y均为整数，则m2 (“希望杯”邀请赛试题)14当k、m的值符合条件 时，方程组至少有一组解15若方程组与方程组有相同的解，则a、b的值为( ) Aa=2,b=1 Ba=2,b=-3 Ca=2.5,b=1 Da=4,b=-5 (“信利杯”竞赛题)16设，若，则的值为（ ）A B1 C D217满足的整数组有（ ）组A3 B5 C8 D1218已知：三个数满足，则的值为（ ）A B C D19解下列方程组：（1） （2） （3） 求方程组的正整数解 20若满足下列