A2(5-7)导数(高阶)

1、3. 高阶导数,函数 f (x) 的导数 f (x)又称为 f (x) 的一阶导数（导函数），,则称其为 y = f (x) 的二阶导数，记为,位置函数 s = s ( t ) 在时刻 t 的速度,仍是 t 的函数，,称为运动的加速度，,a =,二阶导数的导数称为三阶导数，,一般，n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数,记作,二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。,f (x) 可看成零阶导数。,例题讨论,例1：,解：,例2：,解：,求 n 阶导数：,多次接连地求导数，直至找到规律。,例：,求下列函数的 n 阶导数：,显然，y (n+1) = 0 .,n 次多项式的一切高于 n 阶的导数均为 0 .,

2、解：,一般：,解：,特别，当 a = e 时，,解：,解：,解：,解：,同理，,解：,解：,若 u (x), v (x) 在点 x 处都具有 n 阶导数，,则有：, 莱布尼兹公式,见 P.101 例8,课外作业,习题 集2 -5（A）,1（6，7，10）、8、9、10,习题 集2 -5（B）,4（4，6，7，10）、5（3）、6,4. 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,一般地，如果在方程 F( x, y ) = 0 中，当 x 在某区间内取任一值时，相应地总有满足这方程的 y 值存在， 那么就说方程 F (x, y ) = 0 在这区间内确定了 y 是 x 的函数，

3、, 显函数, 隐函数,把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。,对 y 5 + 2y - x = 0,必存在 y = f (x),对隐函数的求导方法：, 方程两边同时对 x 求导；, 方程中函数( 如 y ) 看成中间变量。,由代数基本定理知，,但因无法解出y而不能显化。,例题讨论,例1：,解：,方程两边同时对 x 求导 ：,例2：,求由方程 x ln y + e x + y = e 所确定的隐函数 y 在 x = 0 处的切线方程与法线方程。,解：,在x = 0 处的切线方程：,即点(0,1),法线方程：,方程两边对 x 求导 ：,例3：,注意：,写出,解：,方程两边对 x 求导 ：,在(

4、*)两边再对 x 求导：,(*),= 0.,对数求导法,1. 对因式的积商求导,例：,解：,两边取对数：,2. 对幂指函数 y = u (x) v (x) 求导,例1：,解一：,利用复合函数求导法则，,解二：,两边取对数：,利用对数求导法,两边求导数：,例2：,解：,两边取对数：,两边再取对数：,两边求导数：,例3：,解：,两边取对数：,两边对 y 求导：,二、由参数方程所确定的函数（参量函数）,的导数,例题讨论,例1：,解：,例2：,切线方程与法线方程。,解：,三、相关变化率,函数 x = x ( t ), y = y ( t ) 均可导，,这种相互依赖的变化率称为相关变化率。,从其中一个变

5、化率可求出另一个变化率。,又有y = f (x) 或 x = g (y), 从而变化率,方法：,1. 建立 变量 x 与 y 的等量关系，,2.关系式中 x , y 都对第三个变量 t 求导，,3. 从一个已知变化率求另一相关变化率。,例：,参见 P. 110 例10 （自学）,课外作业,习题集 2 - 6（A）,1（3，5, 6）、4、5 、6(3，4) 、 7(2),习题集 2 - 6（B）,1（4，5，6，10）、2、3（2，3，5）、5,5. 函数的微分,对 y = f (x) , 当 x 有增量,的函数，,再如：y = x 4,要找简单的便于计算的y 的近似表达式。,一、微分的概念,

6、如：y = cos x ,1. 引例,一块边长为 x0 的正方形金属薄片，受热 膨胀后边长为 x0 + x , 求薄片面积的改变量。,x0,x0,x02,x0 + x,x,x,x2,正方形面积：,面积改变量：,对满足一定条件的函数 y = f (x)，当自变量在点 x 处有增量 x 时，我们的目的是寻求函数的增量 y 关于 x 的一次近似式，且使近似的误差是 x 的高阶无穷小，,2. 微分的定义,其中A是不依赖于x,的常数，则称 y = f (x) 在点 x0 是可微的，,微分，,记作 d y , 即 d y = A x .,3. 函数可微的条件,定理：,函数 f (x) 在点 x0 处可微,

7、函数 f (x) 在点 x0 处可导,证：, f (x) 在点 x0 处可微，,f (x) 在点 x0 处可导。,说明：,是自变量 x 的一个任意增量，且与 x 无关。,又称 d y 为 y 的线性主部（当x 0），,(3) 为统一起见，也称 x 为自变量 x 的,微分，记作 d x , 即 x = d x ,在 x0 处的微分,(4) f (x) 在任意点处的微分称为函数的微分,又称为 “微商”，,dy 与 dx 是独立的。,例题讨论,例1：,解：,= 0 ；,(1),(2),例2：,例3：,解：,解：,二、微分的基本微分公式与运算法则,1. 基本微分公式,参见 P.105,2. 四则运算法则,设 u(x), v(x) 可微，,(C:常数),由微分公式也可得,3. 复合函数的微分法则,无论变量是自变量还是中间变量，其微分形式都保持不变，微分的这种性质称为一阶微分形式的不变性。,例1：,例2：,填空：,解：,三、 微分的几何意义与应用,曲线 y = f (x) ,M0 .,M .,T,x0,y = f (x),y是函数在曲线M0点处纵坐标上的增量；,dy是函数在M0点处的切线纵坐标上的增量。,P,Q,M0Q = x ,MQ = y ,dy = PQ,右式即为 f (x) 的一阶近似式。,特别，取 x0 = 0 , 有,例：,利用微分求