A1(第一章第1节)

1、上海大学理学院数学系 崔洪泉,高等数学,A,（一）,办公室 F-608 (66132415),绪 论,1. 高等数学的研究对象与方法,数学是研究客观世界的数量关系与空间形式的科学, 即研究的是数与形，是辩证思维的辅助工具和表现形式。,我们可以将数学思想按其演变的线索分成为：常量数学变量数学随机数学模糊数学 等四种数学思想，每种数学思想之间不仅发生了质的变化，而且标志着数学研究对象和方法的重大变化。,一般说，常量数学思想时期是从公元前6世纪 到17世纪，研究的对象是不变的数量关系 和固定的空间形式，数与形是分开研究的。,其主要标志是算术代数与几何，算术是研究离散固定的数，代数研究方程的固定解，几

2、何研究平面和空间固定的图形。常量数学思想是对现实世界固定的数与形的抽象，是孤立静止地研究现实世界的数量关系。,变量数学思想时期是从17世纪到19世纪20 年代。数学研究的对象是变量。变量数学思想是用 运动、发展和联系的辨证观点来分析和把握对象的 数与形统一关系，其主要标志是解析几何和微积分。 解析几何在数学概念思维领域里实现了数与形关系 的沟通，微积分使人类思维进入无限小分析领域， 使人类视野由有限发展到无限，由静止发展到运动， 微积分为人们描述宇宙运动提供了简明而精确的数 学工具，成为自然科学与技术发展中精确表述 它们的规律和解决它们的问题的有力武器。,在理科各系，高等数学是以微积分为主体的

3、。,微积分的起源主要来自两方面的问题：一是力 学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度， 及已知速度对时间的关系求路程，二是几何学的一 些相当老的问题，作曲线的切线和确定面积和体积 等问题。这些在古代就研究过，在17世纪初期开普 勒、卡瓦列里和许多其他数学家也研究过，但是这 两类问题之间的显著关系的发现，解决这些问题的 一般方法的形成，要归功于牛顿(Newton，英)和莱 布尼兹(Leibniz，德) 。,微积分是人类二千年来智力奋斗的结晶，有着 广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础。,牛顿和莱布尼兹超越前人的功绩在于，他们能够站在更高的角度，对于以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无

4、穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法微分和积分，并且确定了两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的、也是最关键的一步，在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。,下面我们以两个具体的问题为例，来简单了 解一下用微积分解决问题时所采用的一般方法。 其中用到的有关概念和方法在以后的课程中我们 会作深入细致的介绍和分析。,求变速直线运动的瞬时速度问题。,速度 =,路程,时间,设变速直线运动的位置函数为 s = s(t) ,求 t0 时刻的瞬时速度 v(t0) .,t = 0, v = v0,t = t0 - v = ?,t,s,在时间 t 内的平均速度：,t =

5、 t0+t -,例1：,所以物体运动的瞬时速度是位置函数的 增量和时间增量的比当时间增量趋于零时的 极限。,两个增量比的极限称为变化率。,速度就是位置函数对时间的变化率。,例2.,已知：质点作变速直线运动。速度 v = v(t) 是时间间隔 T1, T2 上的一个连续函数, 且 v(t) 0. 求：在 T1, T2 内质点所经过的 位移 S。,因为速度v(t)是在 T1, T2 上连续变 化，那么在很小的一段时间间隔中变化不 大，可看成是匀速运动。,分析:,S = v t,求变速直线运动的位移问题。,步骤：,(1) 分割,将 T1, T2 用分点任意分成几个小区间,其长度分别为,(i = 1,

6、2,n).,设在这些时间段内质点所经过的路程依次为:,则,(2) 取近似,任取一点（时刻）,(3) 作和,(4) 求极限,即为所求路程。,上述两个问题尽管所求的量不同， 但采用方法却是相同的：即都是在 微小局部“以匀代非匀”，将问题转 化为匀速运动，求得近似值，通过 求极限转化为精确值。这是微积分 解决问题的基本思想方法。体现了 分析矛盾、通过矛盾的转化解决矛 盾的辩证法。与初等数学主要依据 形式逻辑的推理方法有很大不同。,由于高等数学的研究对象和研究方法 与初等数学有很大的不同，因此，高等数 学呈现出概念更复杂、理论性更强、表达 形式更加抽象和推理更加严谨的显著特点。 同学在学习高等数学的时

7、候，应当认真阅 读和深入钻研教材的内容，并配合做大量 的习题。通过阅读和练习，使我们不但掌 握数学的基本运算方法，而且可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。,2. 本门课程的特点,（1）进度快，复习时间少,（2）习题多，计算量大,（3）概念、公式多，学分高,为全校统考课程（教考分离）,3. 作业 自我训练的重要一步,要求：清洁工整、抄上题目、写出步骤。,完成质量的好坏将在平时成绩中体现。,每周一按小组收作业，交作业的次数及,3. 微积分教程,韩云瑞、扈志明主编,参 考 书 目,1. 微积分,2.微积分学习指导书,同济大学应用数学系,同济大学应用数学系,高等教育出版社,高等教育出版社,清

8、华大学出版社,本 学 期 内 容,第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分,第 一 章,函 数 与 极 限,1. 映射与函数,一、集合,把一定的并且彼此可以明确识别的事物 （这种事物可以是直观的对象，也可以是思 维的对象）放在一起，称为一个集合。, 乔治 康托,（德国数学家、集合论创始人）,集合：,A、B、C、D、E、,元素：,a, b, c, d, e, x, y, z, ,a 属于A :,x 不属于 E ：,集合 A 包含于集合 B ：,(B包含A),A 称为 B 的子集。,A = B ：,集 合 的 运 算,集合A与B的并集,集合A与B的

9、交集,集合A的余集,集合 A 是基本集 I 的子集，,集合A与B的差集,I A 称为 A 的余集。,记为 AC。,.,。,区间与邻域,区间用不等式表示：,x,-1,1,0,区间用集合表示：,x,0,?,表示满足不等式,的所有,点 x 的集合。,此区间称为点 a 的 邻域, 记为,称为点 a 的 去心邻域,x,。,。, 称为邻域半径。,a,a 称为邻域中心，,若此邻域中不包含点 a , 即,记为,或,二、映射,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位的集合,引例1.,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,定义：,设 X, Y 是两个非空集合，如果存在,一个法则 f

10、 , 使得对 X 中每个元素 x , 按法则,f ，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，,则称 f 为从 X 到Y 的映射 (算子)，记作,f ：X Y,其中 y 称为元素 x (在映射 f 下)的像，记作,f (x)，,即 y = f (x),而元素 x 称为 y (在映射 f 下)的一个原像。,X 映射的定义域，记作 Df,X 中所有元素的像所组成的集合称为映射,注：像唯一，原像不一定唯一。,几种特殊的映射：,设 f 是 X 到Y 的映射，若Rf =Y ，则称,的值域，记作 Rf 或 f (X).,f 为 X 到 Y 上的映射或满射。,2. 若对 X 中任意两个不同的元素,它们的像,

11、则称 f 为 X 到 Y,的单射（或一对一映射）,3. 若 f 既是满射，又是单射，则称 f 为,双射（或一一映射）,4. 逆映射和复合映射的概念请同学们自己,例见书第6页例2。,看教材。,三、函数,近代数学的主体主要是围绕着函数和极限概念展开的。函数概念最早是德国数学家莱布尼兹(1646-1716)引进的。他在1673年的一篇手稿里使用了函数一词。在数学史上，这是一大进步。它使得人们可以从数量上描述运动了。当时的函数指的是可以用解析式子表示的函数。但这种概念对数学和科学的进一步发展来说是太狭窄了。用符号“x”表示一般函数的是瑞士数学家伯努利(1667-1748)，他在1718年使用了这一表示

12、。这是函数概念从解析表达式走向抽象表示的第一步。1734年瑞士数学家欧拉(1707-1783)用 f (x) 作为函数的记号。历史上第一个给出函数一般定义的是德国数学家狄利克雷(1805-1859)。他在1829年给出了下面的著名函数：,这个函数具有两个特点：,（1）没有公式；函数定义从解析式子中解放了 出来；,（2）没有图形；函数定义从几何直观中解放了 出来。,这个进步相当于从具体数字到字母表示。,进而，在1837年他给出了函数的如下定义：,如果对于给定区间上的每一个 x 值，都有惟一的 y 值与它对应，那么 y 是 x 的函数。,下面我们从映射的角度来定义函数， 它与狄利克雷在1837年给

13、出的函数的一般 定义是完全相符的。,直到19世纪集合论诞生后，才出现现 在的函数定义。,x 自变量，,y 因变量。,定义在 D 上的函数，简记为,定义域、函数值、值域。,1. 函数的定义：,例：,构成函数的基本要素： 定义域及对应法则,函数的图象：,由,所确定的平面点集。(一般为平面曲线),函数相等：,判断下列函数是否为相等函数：,必须定义域及对应关系都相同。,例：,（常值函数）,定义域不同,对应关系不同,四组函数均为不同函数,(1) 绝对值函数,(2) 符号函数,几个函数的例子：,sgn x =,1,-1,显然，,.,。,。,(3) 取整函数,表示不大于 x 的最大整数。,如：,3.14,0

14、.15,= 3,= 0.,函数的表示法：,公式法，图象法，列表法。,公式法中,当自变量在不同范围内取值时用,不同的式子所表示的函数,称为分段函数。,又如：,1,2,如符号函数。,例1.,解：,函数的隐式表示：, 隐函数,为函数的显式表示,如, 显函数,为函数的隐式表示,若其中隐含,公式法的几种表示形式：,函数的参数表示：,表示摆线（旋轮线）的一摆。,引入参数来建立 x, y 的函数关系：,表示：,f ： X Y,如：,表示上半圆周,a,圆上任一点所画出的曲线。,旋轮线的动画演示,一圆沿直线无滑动地滚动，,来看动点的慢动作,圆上任一点所画出的曲线。,一圆沿直线无滑动地滚动，,旋轮线的动画演示,2

15、a,2a,a,x = a ( t sin t ) y = a (1 cos t ),t,a,当 t 从 0 2，x 从 0 2a,即曲线走了一拱,a,观察动点的轨迹:,a, a,星形线,(圆内旋轮线),一圆沿另一圆内缘无滑动 地滚动，动圆圆周上任一 点所画出的曲线。,观察动点的运动,a, a,观察动点的运动,星形线,(圆内旋轮线),a, a,0 2,或,.,P,星形线,(圆内旋轮线),2. 函数的性质,(1) 奇偶性,f (x) 的定义域 D 关于原点对称, 对任一,若都有,则称 f (x)为偶函数；,若都有,则称 f (x)为奇函数。,* 偶函数的图形关于 y 轴对称，,* 奇函数的图形关于

16、原点对称。,思考,设 f (x) 为 ( l, l ) 上的任意函数，则,f (x)能否表示成一奇函数与一偶函数的和？,关于奇偶函数的一些常用的结论,可以参见教材第 24 页习题 7。,能!,(2) 有界性,否则称无界。,设 f (x) 的定义域为D，若存在正数 M，,使对任一,则称 f (x) 在 D 上有界，,如：,= M，,为D上的有界函数。,无界。,有界。,1,2,(3) 单调性,统称 f (x)为 I 上的单调函数, I 为单调区间。,设 f (x) 的定义域为D，区间,对 I 上任二点 x1, x2 , 当 x1 x2 时，若都有,则称 f (x) 在 I 上单调增加,则称 f (

17、x) 在 I 上单调减少,如：,(4) 周期性,l 如存在，则可能不唯一。一般我们,设 f (x) 的定义域为D，若存在数 l ( l 0),使对任一个,都有,则称 f (x) 为周期函数，l 为 f (x) 的周期。,y = sin x , y = cos x 都是周期函数。,且周期都为,且,说周期函数的周期是指最小正周期。,注: 周期函数不一定存在最小正周期.,例如,又如狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,常量函数,任一不为零的实数都是它的周期.,可以证明任一不为零的有理数都是它的周期.,其反函数：, 直接函数,3. 反函数与复合函数,函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,注：单

18、调是函数存在反函数的充分非必要条件。,如：,复合函数,简称复合函数，记作,其中 u 称为中间变量。,即 u = g(x) 的值域 R(g) 与 y = f (u) 的定义域,D( f ) 的交集非空时，,为复合函数。,设 y 是 u 的函数：y = f (u),而 u 又是 x 的函数：u = g(x),且 g(x) 的值域全部或部分包含在 f (u) 的定义域内,则 y 通过 u 成为 x 的函数：,它是由 y = f (u), u = g(x) 复合而成。,同学们：你们好！,本学期作业安排在每周一交。为了 有一个良好的教学环境，请同学们在你 的作业本封面的右上角写上英文字母编 号，并在姓名处写上学号，谢谢配合。,A组： B组： C组： D组： E组：