人教A高中数学必修四课件143正切函数的性质与图象2

1、1.4.3 正切函数的性质与图象,函数y=tan x的图象和性质,R,奇函数,1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在R上是增加的.( ) (3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心.( ) (4)正切曲线有无数条对称轴,其对称轴是 ( ),【解析】(1)错误.正切函数的定义域为 值域为R. (2)错误.正切函数在 上是增加的,而在整 个定义域上不具备一致的单调性. (3)正确.点 是其对称中心. (4)错误.正切曲线没有对称轴. 答案：(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数 的定义域为

2、_. (2)函数y=tan 3x的最小正周期是_. (3)函数 的单调增区间是_.,【解析】(1)由正切函数的相关知识得， 即 故所求函数的定义域为 答案： (2)因为 所以 为函数 y=tan 3x的一个周期，且为最小的正周期. 答案：,(3)由正切函数的单调性知 解得 答案：,【要点探究】 知识点 1 正切函数的性质 1.正切函数常用的三条性质 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是 不存在 对称轴. (2)单调性：正切函数在每个区间 内是单 调递增的,但不能说其在定义域内是递增的.,(3)渐近线：直线x=k+ (kZ)称为正切曲线的渐近线,渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分.正切曲线

3、在渐近线右侧向下无限接近渐近线,在渐近线左侧向上无限接近渐近线.,2.对函数y=Atan(x+)+k(0)周期的两点说明 (1)一般地，函数y=Atan(x+)+k(0)的最小正周期 (2)当0时，函数y=Atan(x+)+k具有周期性，最小正 周期是,【知识拓展】函数y=Atan(x+)(A,为常数且0)的 对称性 令 得 所以函数的对称中 心为,【微思考】 利用正切函数的单调性比较两数的大小的关键点是什么？ 提示：是如何利用函数的周期性或诱导公式将两个角转化到同一个单调区间内.,【即时练】 1.函数 的定义域是( ),【解析】选B.由题意 即 所以 所以 故选B.,2.函数 的值域是_.

4、【解析】因为 所以1tan x1， 即 (,1)(1,+). 答案：(,1)(1,+),3.函数 的最小正周期为_. 【解析】由于 故函数的最小正周期为 答案：3,知识点 2 正切函数的图象 1.利用正切线作函数y=tan x，x 的图象的步骤 (1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆. (2)把单位圆右半圆分成8部分，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线) (4)连线.,2.“三点两线法”作正切曲线的简图 (1)“三点”分别为(k,0), 其中kZ； 两线为直线x=k+ 和直线x=k 其中kZ.(两线也称 为正切曲线的渐近线,即无限接近但

5、不相交) (2)作简图时,只需先作出一个周期中的两条渐近线,然后描出 三个点,用光滑的曲线连接得一条曲线,最后平行移动至各个周 期内即可.,【微思考】 (1)正切函数图象中相邻两条曲线的间隔是多少？ 提示：根据正切函数的图象及其周期性可知，两条曲线的间隔是.,(2)应按怎样的思路解三角不等式？ 提示：求解三角不等式，既可以用三角函数线，又可以用三角函数图象，先在一个周期内找到满足不等式的解，再根据周期性加上周期的整数倍即可得完整解集，同时要注意定义域对解集的限制.,【即时练】 1.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合. (1)满足tan x=0的集合为_. (2)满足tan x0的集合

6、为_.,【解析】1.(1)易知曲线上满足tan x=0的x值分别为， -2，0，即x|x=k,kZ. 答案：x|x=k,kZ (2)曲线上满足tan x0的点在x轴上方，即 答案：,2.作出下列函数的简图 (1)y=tan(x).(2)y=|tan x|.(3)y=tan|x|.,【解析】(1)中函数图象与正切函数的图象关于x轴对称.函数图象如图：,(2)中需要把正切函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方.函数图象如图：,(3)中函数是偶函数，把正切函数图象位于y轴右侧部分不变，然后把右侧部分图象沿y轴翻折即得左侧部分的图象.函数图象如图：,【题型示范】 类型一 正切函数单调性的应用 【典例1】

7、 (1)(2014酒泉高一检测)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小 到大的排列顺序为_. (2)(2014延安高一检测)求函数 的单调区间.,【解题探究】1.题(1)中的1,2,3,4是否在函数y=tan x的同一 个单调区间内？若不在，如何转化？ 2.题(2)中的函数 如何将x的系数转化为正数？ 【探究提示】1.函数y=tan x在区间 上是单调增函数， 2,3,4 由tan 1=tan(+1)，+1 故可将 tan 1转化为tan(+1)后进行比较. 2.利用函数y=tan x为奇函数，则可得,【自主解答】(1)y=tan x在区间 上是单调增函数，且 tan 1=tan(

8、+1)，又 所以tan 2tan 3 tan 4tan 1. 答案：tan 2tan 3tan 4tan 1 (2)y= 由 得， 所以 的减区间为,【方法技巧】 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系.,2.求函数y=Atan(x+)(A,都是常数)的单调区间的 方法 (1)若0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可 用“整体代换”的思想,令 解得x 的范围即可. (2)若0,可利用诱导公式先把y=Atan(x+)转化为y= Atan(x)=Atan(x),即把x的系数化 为正值,再利用“整

9、体代换”的思想,求得x的范围即可.,【变式训练】(2014大理高一检测)函数 的单调 递增区间为( ) 【解析】选C.由 得 x kZ，所以增区间为,【补偿训练】若函数 则f(1),f(0),f(1)按 从小到大的顺序是_ 【解析】 = 又 利用正切函数的单调性可得 f(1)f(1)f(0). 答案：f(1)f(1)f(0),类型二 正切函数奇偶性与周期的应用 【典例2】 (1)(2014曲靖高一检测) 以下函数为奇函数的是( ) A.y=tan(x+) B.y=sin|x| C.y=cos|x| D.y=|tan x| (2)(2014银川高一检测) 函数 的周期为_. (3)判断下列函数的

10、奇偶性： f(x)=3xtan 2x2x4;,【解题探究】1.题(1)中的选项A如何进行化简？ 2.题(2)中求该函数的周期的根据是什么？ 3.题(3)中可按照怎样的思路来判断函数的奇偶性？ 【探究提示】1.利用诱导公式y=tan(x+)=tan x. 2.可利用公式 求得周期. 3.先求出函数的定义域,再判断此定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶函数的定义寻找f(x)与f(x)的关系.,【自主解答】(1)选A.y=tan(x+)=tan x为奇函数. (2)由于=3，故函数的周期为 答案： (3)定义域为 关于原点对称， 又f(x)=3(x)tan 2(x)2(x)4=3xtan 2x2x4

11、 =f(x)，所以是偶函数.,定义域为 关于原点对称， f(x)= 又f(x)=sin(x)+tan(x) =-sin xtan x=f(x)，所以它是奇函数.,【方法技巧】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的 解决策略 (1)一般地，函数y=Atan(x+)的最小正周期为 常常利用此公式来求周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于 原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f(-x)与f(x)的关系.,【变式训练】(2014遵义高一检测)求直线y=2与正切曲线 y=tan 3x相交的相邻两点间的距离. 【解题指南】直线y=2与正切曲线y=tan 3x相交的相邻两点间 的距离即为该函数的一个周期，求出该函数的周期即可. 【解析】由题意直线y=2与正切曲线y=tan 3x相交的相邻两点 间的距离是一个周期，又 所以两点间的距离为,【补偿训练】判断 的奇偶性. 【解析】由 得tan x1或tan x1，所以定义域 为 关于原点对称， f(x)= = 所以此函数为奇函数.,【易错误区】忽视正切函数的单调性致误 【典例】(2014贵阳高一检测)设 则M与N 的大小关系为( ) A.MN D.不能确定,【解析】选C.因为正切函数为周期函数, 所以 又因为在 上正切函数是单调递增的, 所以 即 即MN