运筹学课堂作业――生产与销售计划

1、运筹学-机械产品生产与计划摘要：机械产品的生产与计划问题，是我们经常讨论的整数线性规划问题；在厂家各种资源有限的条件下，如何确定生产、销售、存储方案，使得预期获得的利润最大，是本文所需要解决问题。文中，我们着重讨论产品生产的设备分配、与产品市场销售数量的问题。首先，我们对问题进行分析、提出假设，然后建立数学模型，求解模型，分析并验证结果最后得出结论。通过LINGO11进行编程求解。关键字：整数线性规划；数学模型；LINGO11编程 一、 问题的提出 合理利用现有的人力，资源，时间等，使获利最大，这就是生产计划的线性优化问题。 例:某机械加工厂拥有车床、立钻、水平钻、镗钻、刨床5种设备，设备台数

2、如表1所示生产5种产品（产品编号为产品1产品5）。每件产品的利润（元/件），以及在生产单位产品时需要占用各设备的加工工时（小时）如表2所示，：表1 设备台数设备名称车床立钻水平钻镗钻刨床台数104542表2每件产品的利润（元/件）和生产单位产品需要占各设备加工工时（小时） 产品设备12345利润60100304050车床0.50.7-0.3立钻0.10.2-0.3-水平钻0.20.60.08-镗钻0.050.03-0.070.1刨床-0.01-0.05注释：表中短划线表示这种产品不需要相应的设备加工。为了保障设备的正常运行，该厂制订了一个一月份到六月份的设备检修计划如表3所示；任何一台设备在某

3、个月被检修，该设备全月不能用于生产。表3 设备检修计划月份一月二月三月四月五月六月设备检修台数1台车床1台车床1台车床1台车床1台立钻1台水平钻1台水平钻1台立钻1台镗床1台水平钻一台刨床此外，经过对往年的数据分析，已大致预测出每个月每件产品的市场销售量上限如表4所示。表4 产品的市场销售量上限（件/月）产品月份12345一月20005000150015004000二月3000250010005002000三月150030005005002500四月10001500200025001000五月50050025005005000六月2500250050015005500生产过程中，为了避免货物堆

4、积，假定每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月5元，在一月初，所有产品都有50件库存；而在六月底，每种产品要求仍保留50件库存；工人每天开两班，每班8个小时；（1）如何制定一个包含这五类产品六个月的生产-库存-销售计划，使获得利润最大？其中对利润影响最大的销售量是哪些？在保持最优化生产计划不变的前提下，这些市场销售上限提高的幅度是多大？如何采用促销手段来提高市场销售量，促销费用应如何控制?（2）哪几个月种哪些产品的最大库存量对增加利润构成限制？库存费用的变化是否会导致最优化生产-库存-销售计划变化？（3）哪几个月哪些设备的能力是紧缺的，哪些设备的能力是冗余的？列出增加设备能力的优先

5、顺序。如果增加一台某种紧缺设备，该工厂的生产状况会发生怎样的变化？（4）现有的设备检修计划是否合理？列出不合理因素。（5）建立最优化检修计划模型，使在这半年中完成表3中各种设备检修台数，让每种设备被安排在最合理的月份检修，对利润影响最小。比较设备检修计划优化前后，效益变化的情况。二、问题的假设和符号的说明 1、问题的假设 假设1：每班8小时都能正常生产，不考虑上班前后的准备工作和清理工作。假设2：每个月有22各工作日，不考虑工作日的不同。假设3：每个月末所有产品都完成加工工序，没有任何一件产品只完成其中一部分。假设4：同一种设备所有性能相同。假设5：产品的生产不会随检修方案的改变而受影响。2、

6、符号说明为第i个月第j种产品的产量,。为第i个月初第j种产品的库存量,。为第i个月第j种产品的销售量,。为第i个月第j种产品的销售量上限,。为第i种产品每一件的利润,。为生产一件i产品所需要j设备的工时,。为第i个月在第j种设备的总加工工时,。为第i个月第j产品的销售量上限修改阀值，取值0或1；。三、问题的分析 运用运筹学中的整数线性规划模型，将问题中各种因素数学量化，就生产计划优化问题转化为整数线性规划问题。对于设备工时的约束：每生产一件第j产品，需要占用设备车床、立钻、水平钻、镗床、刨床工时分别为，若第i月五产品生产数量分别为时，就共占设备车床、立钻、水平钻、镗床、刨床工时，。对于销售的约

7、束：始终有第i个月第j种产品销售数量不大于市场销售数量的上限，即，。对于产品库存的约束：第i个月底第j种产品的库存量应等于生产量与月初的库存量之和减去销售数量。其中，问题中要求一月初五种产品月初库存量为50，六月底每种产品库存为50件，即，。四、模型的建立和问题的求解1、制定六个月的生产-库存-销售计划, 使六个月的总利润最大；通过对问题的分析，我们得到模型如下目标函数 约束条件2、运用LINGO11软件求解model:sets: Month/1.6/; !六个月份;Product/1.5/; !5种产品;profit/1.5/:p; !5种产品的单位利润p(j);tool/1.5/; !5种

8、设备;Produce(Month,Product):x,y,z,volume; !5种产品每个月的生产量x(i,j),存储量y(i,j),销售量z(i,j)，市场销售量上限volume(i,j);link(Product,tool):cost; !每产品占没设备工时cost(i,j);Dxfxd(Month,tool):check; !每月每设备检修计划check(i,j);endsets !目标函数; max=sum(Produce(i,j):p(j)*z(i,j)-price*sum(Produce(i,j):y(i,j); !产品市场销售约束;for(Produce(i,j): z(i,

9、j)=volume(i,j); !每月产品库存量限制;for(Produce(i,j): x(i,j)+y(i,j)-z(i,j)=100);!一月初每件产品库存为50;for(Produce(i,j)| i#eq#1:y(i,j)=50); !库存-生产-销售关联约束;for(Produce(i,j)| i#le#5:y(i+1,j)=y(i,j)+x(i,j)-z(i,j); !六月底每件产品库存为50;for(Produce(i,j)| i#eq#6:y(i,j)+x(i,j)-z(i,j)=50); !产品、库存、销售整数限制;for(Produce:gin(x);for(Produc

10、e:gin(y);for(Produce:gin(z); !产量约束;for(Dxfxd(i,j): sum(tool(k):x(i,k)*cost(j,k)=check(i,j)*352); data: !这里是数据; p=60 100 30 40 50; price=5;check=9 4 4 4 29 3 5 4 29 4 5 3 29 4 4 4 210 3 5 4 110 4 5 4 2;cost=0.5 0.7 0 0 0.3 0.1 0.2 0 0.3 0 0.2 0.6 0.8 0 0 0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0 0.01 0 0.05;volume=20

11、00 5000 1500 1500 4000 3000 2500 1000 500 2000 1500 3000 500 500 2500 1000 1500 2000 2500 1000 500 500 2500 500 5000 2500 2500 500 1500 5500;enddataend模型求解结果如下图1：图1 LINO11求解优化模型结果其中，求得最大利润；最优化计划生产-库存-销售模型的生产量、库存量、销售量分别如表5、表6、表7所示：表5 一月份六月份5种产品的生产计划 产品月份12345一月份12781920014503950二月份1930229005002000三月份

12、1371247515002500四月份1000150038525001000五月份60060016005005100六月份340245027715505450表6 一月份六月份5种产品的库存计划 产品月份12345一月份初5050505050二月份初00000三月份初00000四月份初00000五月份初00000六月份初底100501005005005010050表7 一月份六月份5种产品的销售计划 产品月份12345一月份132819705015004000二月份1930229005002000三月份1371247515002500四月份1000150038525001000五月份50050

13、016005005000六月份390250022715005500五、模型可行性分析1、对求解结果的分析：在销售计划表格中可以发现，第一月份第六月份5种产品、第四五月份产品1产品2、第六月份产品2都达到了市场销售饱和，如果适当提高相应产品在对应月份的市场销售量上限，都有可能增加利润；而对于当月相应产品的销售量远远小于市场销售量上限，提高市场销售上限值不会影响利润；通过模型求解报告窗口（Reports Window）可以证实，提高上述月份中的产品单位销售量上限（这里不考察整数约束条件），都能使利润增加。其中第四月份、第五月份第2产品对利润影响最大(销售量上限每增加一个单位利润增加77个单位)；如

14、截图2所示，图中DUAL PRICE值对应市场销售约束不等式右端增加单位1，利润增加值；图2 更改优化模型上限值得到优化结果在最优生产计划不变的前提下，分析市场的销售量上限提升的幅度，首先我们考察不带整数约束的原模型；直接利用LINGORANGE作灵敏度分析，我们可以看到如下报告截图3：图3 市场销售量上限提高幅度的分析从以上的数据，我们可以得出销售量上限在什么范围内变化可以保持最优解不变，如下表8：表8：市场销售量上限提高幅度的分析上限值允许增加允许减少上限值允许增加允许减少1-12000INF6734-11000154010001-25000INF30284-2150051315001-3

15、1500INF14504-32000INF16151-41500153714504-4250086025001-5400011345984-51000439310002-13000INF10705-150025405002-22500INF2105-250018145002-31000INF10005-32500INF9002-45008505005-450024205002-520005609515-55000162050003-11500INF1326-12500INF21103-23000INF5226-225002426813-3500INF5006-3500INF2723-45002

16、0855006-415001396715003-5250012151176-555005661516在存储计划表格中，可以发现只有六月份初产品1、产品2库存达到了最大库存，说明其最大库存量对增加利润构成了限制。存储费用的变化控制在如下表9范围内，对最有生产计划不影响；表9：存储费用的变化幅度存储价格允许减少允许增加存储价格允许减少允许增加1-1-4-1582INF1-2-4-255INF1-3-4-355INF1-4-4-4535INF1-5-4-555INF2-155INF5-155INF2-255INF5-255INF2-35555-355INF2-455INF5-455INF2-555INF5-55