量子统计力学经典习题(大题)

1、一.简述理想波色气体波色爱因斯坦凝聚产生的原因及其特征。 解：产生的原因：理想玻色系统最突出的特征是粒子间存在统计吸引，因此玻色粒子倾向于具有相同的量子数。对一个粒子数守恒的系统，这一性质导致出现玻色爱因斯坦凝聚。玻色子具有整体特性，在低温时集聚到能量最低的同一量子态(基态)；而费米子具有互相排斥的特性，它们不能占据同一量子态，因此其它的费米子就得占据能量较高的量子态，原子中的电子就是典型的费米子。在1924年玻色和爱因斯坦就从理论上预言存在另外的一种物质状态玻色爱因斯坦冷凝态，即当温度足够低、原子的运动速度足够慢时，它们将集聚到能量最低的同一量子态。此时，所有的原子就象一个原子一样，具有完全

2、相同的物理性质。根据量子力学中的德布洛意关系，db=h/p。粒子的运动速度越慢（温度越低），其物质波的波长就越长。当温度足够低时，原子的德布洛意波长与原子之间的距离在同一量级上，此时，物质波之间通过相互作用而达到完全相同的状态，其性质由一个原子的波函数即可描述； 当温度为绝对零度时，热运动现象就消失了，原子处于理想的玻色爱因斯坦凝聚态 特征：玻色爱因斯坦凝聚是粒子凝聚到k=0的状态，本质上是粒子在动量空间的凝聚，而不是坐标空间的凝聚，实质上是一级相变，具有一级相变的特征。这种凝聚来源于体系的量子力学效应，即波函数的对称性，它与粒子间是否存在相互作用无关。但是，玻色爱因斯坦凝聚只能出现在粒子数固

3、定的系统中，对于总粒子数N不等于常数的系统，不可能出现这样的凝聚。例如，光子声子便是这样的系统。二. （7.1）通过研究占有数的数量级，试证明：我们把级数（7.1.2）式中的有限的项数与的部分合并，或者把它们包括在对的积分之内，这对（7.1.6）式右边的各个部分都是无差别的。 解: 考察其中任一项 (和归一化的分立谱) 为三项不同时为零的整数的平方和又 当 时,即: (从数量级来看加上后无影响又考虑的积分形式, 从数量级看: 加上后无影响.三、（8.1）设用虚线表示在低温下的费米分布，如图8.11所示，该虚线在处与实际曲线相切。试证明：除了有关的数值因子变成4/3而不是之外，这个近似表示会给出

4、费米气体低温比热的“正确”结果。解:设状态密度为常数,则,分析低温下,用斜线代曲线所得的与下的的差别,可图解性的得出 与前面结果有因子,的差别四.写出经典集团展开法中下图5-集团基本单元的相应的表达式。13245解：13245五量子集团展开法与经典集团展开法所得的配分函数实质上有何异同？解：要具体了解两种展开的最后所的配分函数，我首先需要分别来推导两种展开法： 从书本我们可以知道经典集团展开法的系统配分函数可以写为（中间进行了一些近似）： （1）对于粒子的动量部分的积分与经典理想气体的情况相同，积分后可以写为： （2）其中是分子的平均热波长，而且： （3）而（3）式子代表位形配分函数。而 （4

5、）从经典的集团展开法中得到： （5）将（5）代入（4）式得： （6）最后得出系统的配分函数为： （7）上面讲述的是经典集团展开法所得到的配分函数，接下来从量子力学的角度来讨论：量子力学的系统的哈密顿量为： （8） 系统的配分函数为； （9）其中各是系统的正交完备函数组，而则表示位置坐标.引入概率密度算符,他的矩阵元写为： （10）这样（9）式可以写成： (11)而是量子集团展开法的位形配分函数，通过量子的集团展开法，我们可以得到 (12) 而集团积分的表达式为： （13）有（12）和（13）式可以得出配分函数： （14）六求伊辛模型中用长程序参量及短程序参量表示的哈密顿量H解：A.首先我们写出

6、伊辛模型的哈密顿量：设有N个自旋，处于金格点位置上，每个自旋只能取向上或者向下两个态，并且我们只考虑近邻自旋之间的相互作用，这样的自旋系统称为伊辛模型，系统的哈密顿量为： （1）其中代表第i个格点位置的自旋,取值为+1或者-1,分别对应于自旋向上或者向下。表示对一切可能的求和，J为与交换积分成正比的耦合常数。为了研究上述的模型，我们引入下列变量： ：向上的自旋数 ：向下的自旋数 ：向上的自旋的近邻对数 （2） ：向下的自旋近邻对数 ：向上的自旋与向下自旋的近邻对数这五个变量满足下面的关系式：, (3),由此可见， ， ， 这五个变量中只有两个是独立的。我们选和为独立变量，则有下面的三个表达式：

7、， （4）。于是可以得出： (5) (6)将（5）和（6）带入（1）中，可以得出： (7)为了进一步研究（7）式，我们来定义长程序参量 (8)如果 ,则 ；如果，则。这两种情形都具有完全的长程序。从（8）可以得到下面的式子：。 （9） 于是 (10)这样（7）可以写成 (11)接下来，我们定义一个短程序参量 (12)将（12）带入（11）可以得出： (13)这样（13）式就是用长程序参量和短程序参量表示的伊辛模型的系统哈密顿量。七单轴各向异性铁磁体和普通的流体是否具有相同的临界行为？为什么？解：首先来分析一下各向异性铁磁体的临界现象： 对于铁磁系统而言，它们的四个热力学函数在临界点附近的临界指

8、数，它们的定义是：序参量 （1）热容 （2）磁化率 （3）态方程 （4）上述（1）（3）式是外场为零的情况下所的得到的临界指数，而（4）式是t=0时的特殊情况。其中（1）（3）式的t都用绝对值，表示可能大于0，（从高温接近临界点）也可能小于0（从低温接近临界点），它表示不论系统从高温还是低温接近临界点，临界行为都相同，因为他是用同一临界指数表示的。 下面来普通的流体（气液）相变的临界行为序参量 （靠近的汽液共存区） （5）热容 （在的临界密度处） （6）等温压缩率 （7）序参量 (8) 在（8）式中的P是之靠近临界压强的压强值。通过分别求铁磁相变和普通的相变，我们都是用了四个热力学函数的临界行为的临界指数来描述两种临界行为的，所以说二者具有相同的临界行为。在加上关联函数和关联长度的临界指数和，所以可以从这六个指数算出理解指数，这也从实验上证明了，二者具有相同的临界行为。八.坐标空间中的重正化群可以分为哪几个步骤？解：在介绍步骤之前，我们来讲述一下重正化群的基本思想：在临界点，关联长度接近无穷大。因此，体系应具有尺度变换下的不变性。由此，不去直接计算配分函数，而是找尺度变换下的不变性，从而确