复变函数教学资料41

1、4.1 数学期望,4.1.1 离散型随机变量的数学期望,假如甲、乙两选手各向目标靶射击十枪， 二人命中靶子的情况分别为,现问，甲、乙二人哪一个命中率更高点？,第4章 随机变量的数字特征,很显然，通过某一枪的命中情况比较二 人命中率是不合适的，比较容易理解的是通 过二人各自命中环数的平均值来比较。,对于甲选手，命中环数的平均值为,对于乙选手，命中环数的平均值为,从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更 高些。,如果我们用随机变量的取值表示两选手命 中的环数，则比较二人的命中率实际上是比较 两随机变量平均值的大小。,例1 设某离散型随机变量 的分布列为,可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重 的加权

2、平均。,论上讲 次取之中有 次取到1， 次取到 2, 次取到3，从而所求平均值应为：,如果级数 绝对收敛，即,期望或均值，记为 ，即,收敛，则和 为随机变量 的数学,定义1 设离散型随机变量 的分布列为,通过前面的例子可以看到，随机变量的 均值反映了变量取值的平均水平。,下面我们举例来说明。,如果级数 不绝对收敛，即,不收敛，则称随机变量 的数学期望不存在。,例2 对服从（01）分布的随机变量 ，其分布列为：,例3 设 ，求 .,求 的数学期望.,则 的数学期望为,例4 设 服从参数为 的泊松分布,求,从而,对应的概率为,例5 设随机变量 取值为,求 的数学期望.,例6 某种奖券销售单位为提高

3、大众购买奖券的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值 1 元，每 500 万张设若干奖项如下：,但 是发散的，所以随机变量X 的数学期望不存在。,试计算每购一张奖券平均能取多少奖金？,从而 的数学期望为,即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半 分钱，但在实际生活中吸引力还是相当大的.,4.1.2 连续型随机变量的数学期望,定义2 设 为连续型随机变量，概率密度,反之，如果积分 发散，则,为 ，如果积分 绝对收敛，即,称随机变量 的数学期望不存在。,收敛，则称积分,从而,例7 设 服从 区间上的均匀分布， 求 的数学期望。,从而,例8 设 服从参数为 的指数分布，求 的数学期望。,例9 对服从正

4、态分布 的随机变量 ,求其数学期望.,则所求数学期望为:,作变换 ，得到,即正态分布 的第一个参数 就是 随机变量 的均值。,4.1.3 随机变量函数的数学期望,1、离散型随机变量函数的数学期望,为连续函数,定理1 设离散型随机变量 的分布列为,试计算： 和 .,例10 设离散型随机变量 的分布列为,特别的，离散型随机变量 只取有限值， 则 的数学期望一定存在。,从而,例11 设 服从参数为 的泊松分布，试 计算 的数学期望.,2.连续型随机变量函数的数学期望,果 收敛，则,定理2 设连续型随机变量 的概率密度为,为连续函数，如,例12 已知 服从 上的均匀分布，计算 的数学期望。,则所求 的

5、数学期望为：,3.二维随机变量函数的数学期望,定理3 （1） 如果 是二维离散型随机变,是关于 和 的二元连续函数，,量，其分布列为,的数学期望为,则 的数学期望为:,（2）如果 是二维连续型随机变量，概率,密度为 , 是关于 和 的二元连,例13 设随机变量 的概率密度为,试计算 和 .,4.1.4、数学期望的性质,数，且 都存在，则数学期望有以,如果 是两个随机变量， 为任意常,如果 与 相互独立，则,下四条常见的性质。,证明 数学期望的四条性质中，前两条比较 直观，容易理解和证明，我们只证明第（3） 和第（4）条 。,（3） 设 是离散型随机变量，分布列为,则由数学期望的定义，,如果 为连续型随机变量，类似可以证明。,（4） 设 是连续型随机变量，概率密度为 ，则由 的独立性可得,从而,其中 分别为 与 的边缘概率密度，,性质（3）和性质 （4）可以推广到多个随机,推论2 设随机变量 相互独立，,变量，我们写成下面的推论.,且数学期望都存在，则,例14 设随机变量 相互独立，,试证 服从二项分布 并求 .,证明 由于每个 可能,取值为0或1，则 可能取值,且服从同一个（01）分布：,为0，1，2，n.,取值为 1，而其余 个取值为0，至于是,而且这些方式两