数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

1、数列的综合应用【考纲说明】1会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和；2能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题；3 .理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；【知识梳理】考点一：通项公式的求解技巧1. 归纳、猜想数列的通项.2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.3. 用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.4. 已知数列an前n项和Sn，则.5. 已知an-an-1=f(n)(n2),则可用叠加法求an.6. 已知=f(n)(n2),则可用叠乘法求an.7. 已知数列an前n项之积Tn，一般可求Tn-1，则an=.8. 已知混合型递

2、推式f(an,Sn)=0,可利用an=Sn-Sn-1(n2)将关系式转化为只含有an或Sn的递推式,再求an或先间接求出Sn再求出an.9. 已知数列an的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列f(an)为等差或等比数列.例如:形如an+1=Aan+f(n)或an+1=Aan+qn,均可以两边同时除以An+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如an的递推数列可以两边同时倒数来求通项.考点二：数列求和的技巧一、公式法1、等差数列

3、的前项和公式 2、等比数列的前项和公式 3、常用几个数列的求和公式（1）（2）（3）2、 错位相减法 用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。3、 裂项相消法适用于其中an是各项不为0的等差数列。即:=(-),特别:;. 4、 倒序相加法 推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它 与原数列相加，就可以得到个。5、 分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等 差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。考点三：数列的综合应用1、 数列与函数的综合2、 等差与等比数列的综合3、 数列的实际应

4、用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合【经典例题】【例1】 (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的 等比中项，为的前n项和, ,则的值为 A-110 B-90 C90 D110【解析】D【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且 ,那么 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55【解析】A【例3】（2008年江西省高考题）数列an的通项公式是an=，若前n项和为10， 则项数为（ ） A、11 B、99 C、120 D、121【解析】C【例4】（2008安徽）设数列an满足a1=a，an+1=can+1-c，nN*，其

5、中a，c为实数，c01. 求数列an的通项公式；2. 设a=，c=，bn=n（1-an），nN*，求数列bn的前n项和Sn。【解析】（1）an+1-1=c（an-1） 当a1时，an-1是首项为a-1，公比为c的等比数列 an-1=（a-1）cn-1，即an=（a-1）cn-1+1 当n=1时，an=a仍满足上式。 数列an的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（nN*）（2）由（1）得bn=n（1-a）cn-1=n（）n， Sn=b1+b2+bn=+2（）2+n（）n Sn=（）2+2（）3+（n-1）（）n+n（）n+1 -得Sn=+（）2+（）n-n（）n+1 Sn=1+（）2+（）n

6、-1-n（）n=21-（）n-n（）n Sn=2-（2+n）（）n【例5】（2008浙江省） 已知数列xn的首项x1=3，通项xn=2np+nq（nN*，p，q为常数）， 且x1，x4，x5成等差数列，求：（1） P，q的值；（2） 数列xn前n项和Sn的公式。【解析】（1） 由x1=3，得2p+q=3 又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，得3+25p+5q=25p+8q 解得p=1，q=1（2）Sn=（2+22+2n）+（1+2+n）=2n+1-2+【例6】 (2011年福建理16)已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=。（I）求数列an的通项公式；（II）

7、若函数在处取得最大值，且最大值 为a3，求函数f（x）的解析式。【解析】（I）由解得所以（II）由（I）可知因为函数的最大值为3，所以A=3。因为当时取得最大值，所以又 所以函数的解析式为【例7】(2011年全国新课标卷)等比数列的各项均为正数，且(1)求数列的通项公式.(2)设 求数列的前项和.【解析】（）设数列an的公比为q，由得所以。由条件可知a0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（）故所以数列的前n项和为【例8】(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式及（）记，当时，试比较与的大小.【解析】

8、（） 则 ，（） 因为，所以当时， 即；所以当时，；当时， .【课堂练习】1. （2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中 项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 2.（2010江西理数）等比数列中，=4，函数，则（ ） A B. C. D. (1) （2010湖北文数）7.已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数 列，则 A.B. C. D4.（2010福建理数）设等差数列的前n项和为,若,则当 取最小值时,n等于 A6 B7 C8 D95.（2013年福建（理）已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是( )A.数列为等差数列,公差为

9、B.数列为等比数列,公比为C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为6（2013年重庆（理）已知是等差数列,公差,为其前项和,若成等比数列,则7（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则_. 8、（2009年全国卷）设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知的通项公式。9、（2011浙江卷）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）对，试比较与的大小10、（2010年山东卷）已知等差数列满足：，的前项和为（）求及；（）令（），求数列的前项和为。11.（2

10、013年湖北卷（理）已知等比数列满足:,.(I)求数列的通项公式;(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.12（2013年山东（理）设等差数列的前n项和为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.【课后作业】1.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A B CD2.（2010安徽理数）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别 为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、 3（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题: 其中的真命题为(A) (B) (C) (D)

11、4（2013年新课标卷）等差数列的前项和为,已知,则的最 小值为_. 5. 已知（2008年湖北省质检题）求和：Sn=-1+3-5+7-+（-1）n（2n-1） 6. an的通项an=lg，求an的前n项和Sn。7（2013年高考四川卷（理）在等差数列中,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.8.（2009辽宁卷）等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比q； （2）求-=3，求 9.（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分. ）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列

12、的通项公式及其前项和.10.若函数对任意都有。（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论；（2）求数列的的前项和。【参考答案】【课堂练习】1、C 2、C 3、C 4、A 5、C 6、64 7、638、解： 设的公差为，的公比为由得 由得 由及解得 故所求的通项公式为 9、解：设等差数列的公差为，由题意可知即，从而因为故通项公式 （）解：记所以从而，当时，；当10、解：（）设等差数列的首项为，公差为，由于，所以，解得，由于， ，所以，（）因为，所以因此故 所以数列的前项和11、解:(I)由已知条件得:,又, 所以数列的通项或 (II)若,不存在这样的正整数; 若,不存在这样的正整数. 12、解:()设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得, 因此 ()由题意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项和 【课后作业】1、 A 2、D 3、D 4、-49 5、当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=-n6、an=lg=lg（n+1）-lgn Sn=（lg2-lg1）