2011高三数学总复习 第五篇 第七节 空间向量及其运算精品课件 文科 新人教版

1、第七节空间向量及其运算,1空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循 ；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算 ；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标 2空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是 . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是 .,三角形或平行四边形法则,相同,存在实数，使得ab,存在唯一的有序实数对(x，y)，使cxayb,(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使

2、得 ，其中，a，b，c叫做空间的一个 ,pxaybzc,基底,3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ，则 叫做向量a与b的夹角，记作 ，其范围是 ，若a，b ，则称a与b互相垂直，记为ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作ab，即 (2)数量积的运算律 结合律：(a)b ； 交换律：ab ； 分配律：a(bc) .,AOB,a，b,0a，b,|a|b|cosa，b,ab|a|b|cosa，b,(ab),ba,abac,【答案】B,2若空间三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C

3、(p,3，q2)共线，则() Ap3，q2 Bp2，q3 Cp3，q2 Dp2，q3,【答案】A,【答案】C,【答案】锐角三角形,5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)且kab与2ab互相垂直，则k_.,【解析】kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)， 2ab(2,2,0)(1,0,2)(3,2，2) 由(kab)(2ab)0得3(k1)2k40. k .,【答案】,如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 ， M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点， 试用a，b，c表示以下各向量：,【思路点拨】结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法则和运算律即可,【方

4、法点评】用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从以下角度入手 (1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来 (2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系 (3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘 (4)注意应用以下结论，,设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面,2如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接

5、PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心，求证： (1)E、F、G、H四点共面； (2)平面EFGH平面ABCD.,【证明】(1)分别连接并延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点顺次连接M、N、Q、R所得四边形为平行四边形，,设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab以及a与b所成角的余弦值，并确定，应满足的条件，使ab与z轴垂直,【思路点拨】代入向量坐标运算的公式求2a3b,3a2b，ab，利用数量积求a与b的夹角余弦值，利用(ab)(0

6、,0,1)0，确定，的关系,3已知ABC的顶点A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，试求 (1)ABC的重心坐标；(2)ABC的面积； (3)ABC的AB边上的高,1(2009年福建高考)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点 ()求异面直线NE与AM所成角的余弦值； ()在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN? 若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由,2(2009年安徽高考)如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BD ，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE1，CF2. (1)求

7、二面角BAFD的大小； (2)求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD的公共部分的体积,【解析】(1)(综合法)连接AC、BD交于点O，即为菱形的中心，过O作OGAF，G为垂足，连接BG、DG如图 由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF. 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF， 所以BGD即为二面角BAFD的平面角 由FCAC，FCAC2，得FAC ， OG . 由OBOG，OBOD ，得BGD2BGO .,(2)连接EB、EC、ED、EF、BD，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD. 过H作HP平面ABCD，P为垂

8、足 因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而PAC，HPAC.,3(2009年广东高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影 (1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线FG1平面FEE1； (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值,1利用共线向量定理，可解决立体几何中有关三点共线和两直线平行等问题，利用共面向量定理，可解决立体几何中有关直线在平面内，直线与平面平行，平面与平面平行以及四点共面等问题 2根据空间向量基本定理，选定空间不共面的三个向量作为一个基底，并用它线性表示指定的向量，这是运用空间向量知识解决立体几何问题的一个基本思想方法，其过程就是将立体几何问题转化为空间向量问题的过程,3空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算在运用空间向量的坐标形式解决立体几何问题时，首先要建立适当的空间直角坐标系，并将相关的点、线、面等用空间向量表示，进而将空间向量用坐标的形式表示，通过对向量的坐标运算使问题获解，这也是数形结合思想的一种体现 4要注意在长方体、正方体、直三棱柱、正棱柱、正四棱柱等特殊几何体中建立空间直角坐标系