人教版九年级数学圆和正多边形专题

1、圆和正多边形教学目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。教学难点：理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；正2n边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对角线交点。知识结构及知识点：1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，

2、外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正n边形每一个内角的度数为：(n-2)*180/n正n边形的一个中心角的度数为：360/n正多边形的中心角与外角的大小相等。3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180。4、圆内接正n边形的性质（n3，且为自然数）： (1) 当n为奇数时，圆内接正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；但不是中心对称图形。 (2) 当n为偶数时，圆内接正n边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关

3、系：(设圆内接正多边形的半径为r，边心距为d) （1）圆内接正三角形：d=r（2）圆内接正四边形：d=r（3）圆内接正六边形：d=r6、常见圆内接正多边形半径r与边长x的关系：（1）圆内接正三角形：x=r（2）圆内接正四边形：x= r（3）圆内接正六边形：x=r7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各点即可。（1）用量角器等分圆周。（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n边形）。8、定理1：把圆分成n(n3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点

4、为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形；经过圆的n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。 (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。 (3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。 定理2： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。经典例题 例1、已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积。 分析：要求正六边形的周长，只要求A

5、B的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。重点例题：已知O和O上的一点A(如图24-3-1).(1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是O内接正十二边形的一边.图24-3-1思路分析：求作O的内接正六边形和正方形，依据定理应将O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是O内接正十二边形的一边，由定理知，

6、只需证明DE所对圆心角等于3601230.(1)作法：作直径AC;作直径BDAC;依次连结A、B、C、D四点,四边形ABCD即为O的内接正方形;分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交O于E、H、F、G;顺次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为O的内接正六边形.(2)证明：连结OE、DE.AOD90，AOE60，DOEAODAOE30.DE为O的内接正十二边形的一边.考点例题（中考）：如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-3思路分析：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结

7、O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正O1O2O3的中心，求出这个正O1O2O3外接圆的半径，再加上O1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正O1O2O3，则正O1O2O3外接圆的半径为 cm，所以大圆的半径为+2= (cm).课堂练习：1如图1所示，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是（ ）A60 B45 C30 D225 (1) (2) (3) 2圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则APB的度数是（ ） A36 B60 C72 D1

8、08 3若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ） A18 B36 C72 D144二、课后巩固1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A. B. C. D.思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为.答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B.答案：B3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P66a

9、n求出周长.答案：184.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_度.答案：144.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为2，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可.解：设正三角形外接圆O1的半径为R3，正六边形外接圆O2的半径为R6，由题意得R3=AB，R6=AB，R3R63.O1的面积O2的面积13.6.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求.解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得-100.解得n9.（三）、附加题训练例5、在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6 （1）求ABC的边AB上的高h （2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点185的M处