第12章虚位移原理.ppt

1、第12章 虚位移原理,12.1 基本概念 12.2 虚位移 虚功 12.3 虚位移原理 12.4 虚位移原理的应用,12.1 基本概念,12.1.1 约束和约束方程,质点系 分为自由质点系和非自由质点系。,自由质点系 质点的运动状态仅取决于作用力和运动的初始条件。,非自由质点系 质点的运动状态受到某些预先给定的限制条件 。,12.1.2 约束的分类,1几何约束与运动约束,几何约束 对质点或质点系在空间位置的约束。,运动约束 不仅限制质点的几何位置，还对质点的速度或角速度等进行限制。,几何约束方程与运动约束方程,12.1 基本概念,几何约束方程,2定常约束和非定常约束,定常约束 约束方程中不显含

2、时间t的约束。,非定常约束 约束方程中显含时间t的约束。,非定常约束,12.1 基本概念,定常约束,3单面约束和双面约束,单面约束 约束只能限制质点沿某一个方向的运动，其约束方程可用不等式表示。,双面约束 约束还能限制其在相反方向的运动，其约束方程需用等式表示。,12.1 基本概念,双面约束,刚性摆杆约束,不可伸长的柔索,单面约束,本章所涉及到的只限于几何、双面、定常约束。,12.1.3 自由度,一个自由质点Mi的位置可用三个独立坐标来决定，我们说该质点具有三个自由度。若自由质点系中n有个质点，则这个质点系共有3n个自由度。,12.1 基本概念,对于受到s个约束方程的非自由质点系，其自由度数k

3、为,图12-4所示的两质点系统,12.1 基本概念,若质点系的运动只限于在某个平面内的运动，则质点系的自由度为,图示机构的3个约束方程,机构的自由度数,12.1 基本概念,如果质点系由受到s个约束的n个刚体组成，由于一个刚体在空间的位置须由六个独立坐标表示，该质点系的自由度数为,如果这样的质点系限于在平面内运动，由于一个刚体在平面内的位置须由三个独立坐标表示，则该质点系的自由度为,如图12-2所示圆轮,12.1.4 广义坐标,12.1 基本概念,通常，若选择k个独立参变量 来表示质点系的位置，这样的独立参变量称为广义坐标，系统广义坐标的数目等于其自由度数。,单摆是一个自由度系统。若选摆杆与铅垂

4、线的夹角 作为广义坐标，则质点M的位置可表示为,12.1 基本概念,曲柄连杆机构也是一个自由度系统。选取曲柄与x轴的夹角 为广义坐标，则质点 和 的位置可表示为,12.1 基本概念,图12-6所示的平面双摆具有两个自由度，如选取夹角 和 为广义坐标，则摆锤 和 的坐标可以用广义坐标表示为,12.2 虚位移 虚功,虚位移 又称为可能位移，是指在某时刻质点或质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小位移。,虚位移必须具备两个条件： (1) 虚位移是无限小的。 (2) 虚位移是约束允许的。,12.2.1 虚位移与实位移,图示位置时，凡是沿垂直于杆的任何方向（如图中AA1、AA2方向）的无限小位移

5、，都是点A在此位置时的虚位移。,12.2 虚位移 虚功,（1）虚位移是约束允许的无限小位移，而实位移可以是无限小的，也可以是有限的位移。,（2）虚位移可以有多种不同的方向，而实位移有确定的方向。,（3）虚位移是假想的，仅决定于质点系所受的约束。实位移不仅决定于质点系所受的约束，也与受力和运动情况有关。,（4）虚位移用变分符号“” 表示。实位移用微分符号“d” 表示。,虚位移与实位移的区别：,12.2.2 虚功与理想约束,虚功 作用于质点上的力F在该质点的虚位移 上所做的元功，用 表示，即,理想约束 在质点系的任何虚位移中，所有约束力所做虚功的和等于零。,若以FNi表示作用在质点 Mi 上的约束

6、力， 表示该质点的虚位移， 表示该约束力在虚位移上所做的功，则理想约束可以用数学公式表示为,光滑接触面约束，光滑固定铰链约束，不可伸缩的柔索约束等等，都是理想约束。一般来说，凡是没有摩擦或摩擦力不做功的约束都属于理想约束。,12.2 虚位移 虚功,设一质点系处于静平衡状态，作用于质点系中任一质点Mi上主动力的合力为Fi，约束力的合力为FNi，则,当设想给质点系以某种虚位移时,对于整个质点系有,若质点系具有理想约束，约束力所做的功为零，则,12.3 虚位移原理,上式是质点系平衡的必要条件，也是充分条件。,结论：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：作用于该质点系上的所有主动力在任

7、何虚位移上所做虚功之和等于零。这就是虚位移原理，也称为虚功原理。,12.3 虚位移原理,若用Fix，Fiy，Fiz表示主动力合力Fi在直角坐标轴上的投影， ， ， 为虚位移 在直角坐标轴上的投影，式(12-2)又可以写成下面的解析表达形式,上式又称为虚功方程或静力学普遍方程。,当所遇到的约束不是理想约束而具有摩擦时，只需将摩擦力当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所做的虚功即可。,12.4.1 求主动力之间的平衡关系,例12-1 图12-9a所示曲柄滑块机构，曲柄长OA=r，连杆AB=l。在图示位置，系统受到力偶M和水平力F的共同作用。求使系统平衡时，M与F之间的关系。,12.4 虚位移原理的应

8、用,12.4 虚位移原理的应用,解 设想使系统发生一虚位移，点A的虚位移为 ，点B的虚位移为 。,根据虚位移原理，写出虚功方程,其中,用“虚速度” 法求 与 之间的关系得,代入虚功方程并整理得,12.4 虚位移原理的应用,例12-2 图12-10a所示机构中，各杆件自重及各处摩擦不计。求在图示位置平衡时，机构所受主动力偶矩M与主动力F之间的关系。,12.4 虚位移原理的应用,解 设想杆OA产生无限小角位移 ，点C产生水平向左的无限小线位移 。,由虚位移原理，虚功方程为,用“虚速度” 法求 与 之间的关系（以滑块B为动点，杆OA为动系 ）,代入虚功方程并整理得,rBa=xC,12.4 虚位移原理

9、的应用,例12-3 如图12-11a所示，在螺旋压榨机的手柄AB上，作用一水平面内的力偶(F, F)，其力偶矩M=Fl。设螺杆的螺距为h。不计螺杆和螺母间的摩擦，求平衡时作用于被压榨物体上的力。,12.4 虚位移原理的应用,解 设想手柄按螺纹方向转动无限小角位移 ，螺杆和压板得到向下的无限小位移 。,由虚位移原理，虚功方程为,由机构的传动关系知，对于单线螺纹，手柄AB旋转一周，螺杆上升或下降一个螺距h，故有,代入虚功方程并整理得,作用于被压榨物体上的力与FN大小相等，方向相反。,12.4 虚位移原理的应用,例12-4 图12-12所示平面双摆中，摆锤A、B重分别为GA和GB，摆杆长分别为a和b

10、，杆重不计。若在B点加一水平力F以维持系统的平衡，求摆杆和铅垂线的夹角 和 。,12.4 虚位移原理的应用,解 此系统有两个自由度，若取 和 为广义坐标，则对应的广义虚位移为 和 。,由虚位移原理，虚功方程为,将直角坐标表示为广义坐标 和 的函数，有,12.4 虚位移原理的应用,对上式变分，得,将上式代入虚功方程中，经整理得,由于两个虚位移是任意且彼此独立的，于是有,由此解得,本例中，利用对坐标的变分得到虚位移之间的关系，称为“解析法”。此时，需建立机构在任意位置时有关坐标的函数关系。主动力和虚位移均以沿坐标轴正向为正，否则为负。,12.4.2 求内力或约束力,例12-5 图12-13a所示机

11、构，杆AB、BC的长度均为l，弹簧原长为l0，刚度系数为k，杆的重量不计，求系统平衡时角 以及弹簧的张力FT 。,12.4 虚位移原理的应用,12.4 虚位移原理的应用,解 弹簧约束属于非理想约束，需假想把弹簧去掉，用弹性力FT代替，并作为主动力作用于系统上。,给系统以虚位移，由虚位移原理，虚功方程为,列出在坐标系Axy中点B、C的x坐标,则点B、C在x方向的虚位移为,12.4 虚位移原理的应用,此时，弹簧的伸长量为,弹簧力的大小为,将虚位移和弹簧离FT 均代入虚功方程中，得,所以有,再由弹簧力的大小计算式可得弹簧的张力,例12-6 连续梁受力如图12-14a所示，Me=2qa2，F=qa。试

12、求A、D处的约束力及B截面的内力偶矩。,12.4 虚位移原理的应用,解 图示连续梁是没有自由度的结构，为了用虚位移原理求解约束力，可解除欲求约束力的约束而代之以约束力，从而使结构获得相应的自由度。,12.4 虚位移原理的应用,(1) 求A处约束力,假想解除A处约束，代之以约束力FA。给A处以虚位移 ，根据虚位移原理，虚功方程为,其中,经整理得,故可解出A处约束力为,12.4 虚位移原理的应用,(2) 求D处约束力,假想解除D处约束，代之以约束力FD。给D处以虚位移 ，根据虚位移原理，虚功方程为,其中,经整理得,故可解出D处约束力为,12.4 虚位移原理的应用,(3) 求截面B的内力偶矩,解除截

13、面B处限制转动的内约束，代之以内力偶矩MB 。并给该截面以虚位移 ，由虚位移原理,其中,经整理得,解得截面B的内力偶矩,此例，由几何关系直接确定各虚位移之间的关系，称为“几何法”。,12.4 虚位移原理的应用,1.虚位移原理解静力学问题的特点 (1) 虚位移原理通过主动力在约束所许可的虚位移上的虚功给出质点系的平衡条件，从而避免了求解矢量方程。 (2) 虚功方程中不含有理想约束力，从而大大减少了方程中未知约束力的个数，因而可以用虚位移原理方便地求出系统平衡时主动力(包括力偶)之间的关系。 (3) 虚位移原理也可用于求解其他未知的约束力，这时只需要解除该约束，并且把相应的约束力视为主动力；对于具有摩擦或弹簧的非理想约束系统，则应把摩擦力或弹簧力视为主动力。通常一次只解除一个约束，构成具有一个自由度的机构。,2解题步骤 (1) 确定研究对象，分析质点系的自由度，检查系统的约束情