中国矿业大学(徐州)2007级数学分析(3)试题及参考答案

中国矿业大学试卷 大二上学期 （理学院 2007 级用，考试时间：2008 年 12 月 15 日 星期一） 答题时间：100 分钟 考试方式： 闭卷 班级_姓名_序号_成绩_ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一 （10 分）利用二元函数的泰勒公式证明: 和 有, 。0,xy11()xyy 二 （10 分）已知： ，求 和 。2(,)ufxvyguxv 2 三 （10 分）计算 ， 是 所围闭区域。dyxDsinxy,0 四 （10 分）求球面 与锥面 所截出的曲线在点 处的法平2250xyz22xyz(3,45) 面方程。 3 五 （15 分） 设 为曲面 取上侧，计算S21,22zyxzS yxzI ddd)( 23 六 （15 分）计算 ，其中 分别是：（i） 是圆周： ，逆时针；LyxdI2LL22yx （ii） 是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii） 是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。L 4 七 （15 分）在力场 作用下，质点从原点沿直线移到 上第一),(xyzF 122czbyax 卦限点 ， 为何值时力 作的功 最大，并求最大功。),(M,FW 八 （15 分）设有一高度为 （ 为时间）的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程()ht ，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积 2()xyzhtt 成正比(比例系数 0.9),问高度为 130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时? 5 数学分析 (3) 试题（ A）解答 （理学院 2007 级用，考试时间：2008 年 12 月 15 日 星期一） 一 （10 分）利用二元函数的泰勒公式证明: 和 有, .0,xy11()xyy 证明：设 ，则1()f(0) ， ， ， ，,xf(,yf21(,)()xfxy ， 。1()()xyyf x1y 将 在点 展开为一阶泰勒公式。那么对任意的 ，必存在(,)f1, 0, ，有0(,)(,1,)(1(,)xyxyffff(,)1,(,)2xxyyff 1()1()xy 211()(),2 xy ，(1)xy(1,)(,1xxyAy 容易验证矩阵 恒为半负定的，故上式的最后一项恒小于等于零，因此结论成立。,A 注：余项不利用二次型，直接配方也可。 二 （10 分）已知： ，求 和 。2(,)ufxvyguxv 解：把 和 都看作为 和 的二元函数，方程组两边对 求偏导数，得uv x ， 12()(0)vfufxvgyx 整理得 6 ， 121()uvxfffuxgyg 因而 ， 12212112()uffgvyvygufgxx 。 1111222()fugfgufvxvyxvy 三 （10 分）计算 ， 是 所围闭区域。dDsinx,0 解：画出积分区域，考虑先对 积分得：y 。000sisindcos20xI xx 四 （10 分）求球面 与锥面 所截出的曲线在点 处的法平225xyz22yz(3,45) 面方程。 解：设 ， ，则曲线在 处法平面的22(,)0Fyz22(,)Gx(,) 法向量为： ，(3,45)68106120xyzijkijkFij 因而要求的法平面方程为： 或 。102()y43xy 五 （15 分） 设 为曲面 取上侧，计算S1,zxzxyxzI ddd)( 223 解：补辅助面 ,取下侧:,(1: Dxy1SIA1dd23 22 SVgaus yxzzyxzxz公 式 7 。21 I 21d)(dd2121 zyxzyxDV 或用柱坐标: ， 2102rzI 1022222 dcosdd1 rryxyxIxyDS ， 4cos10302r 。421 I 六 （15 分）计算 ，其中 分别是：（i） 是圆周： ，逆时针；Lyxd2LL22yx （ii） 是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii） 是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。L 解：(1) 由 Green 公式有: DLL dxyyxdyxdI 21211222 (2) 令 ,则22,QP ,yPxy2)( 且 ， ， , 在 及 上连续,故由 Green 公式有:PyxLD 。0)(2dxyPQyxdIDL (3) 以原点为圆心,作以 为半径作正向圆周 : ,其中 小于原点到集合 的距离,C22L 记 与 所围区域为 ,则由 Green 公式有:LCD ，0)(22 dxyPyxdyxdDCL 由此并利用(1)的结果有: 。 2222 CCL yx 8 七 （15 分）在力场 作用下，质点从原点沿直线移到 上第一),(xyzF 122czbyax 卦限点 ， 为何值时力 作的功 最大，并求最大功。),(M,FW 解：直线段 的参数方程:O , ，tztytx, 10: 。 2d3ddtzxyWOM 把 换成 ，即求条件极值,z,)0,(1ma22zyxcbyax 作 Lagrange 函数： )1(, 22czbyaxL ，)4(0132)2(0222czbyaxLzxayzx 上面(1),(2),(3)分别乘 相加得 ,代入(4)得 ,yx, 232xyzczbyax32xyz 再代入(1)得 ,类似可得 , ，而最大功 。3x3zabcW 八 （15 分）设有一高度为 （ 为时间）的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程()ht ，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积 2()xyzhtt 成正比(比例系数 0.9),问高度为 130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时? 解：记雪堆体积为 , 侧面积为 ,则VS ，()0dhtzzDxy()20()dhttz3()2ht (用极坐标) S021dxy04