控制工程基础第三章

2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系13、线性系统的时域分析3.1典型输入信号与时域性能指标3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时域分析3.5

线性系统状态方程的解3.6

线性系统稳态误差计算2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系2本章学习要点了解典型输入信号和时域性能指标掌握一阶系统的时域分析方法掌握二阶系统的时域分析方法了解高阶系统的主导极点及其时域分析方法掌握反馈系统的稳态误差及其误差补偿的方法掌握线性系统状态转移矩阵的性质和求解方法掌握状态方程的求解方法2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系3引言-时域分析在控制理论中的地位和作用系统数学模型G(s)时间域复数域频率域系统的性能指标系统的校正、综合时域分析是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。其特点：1).直观、精确。2).比较烦琐。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系43.1典型输入信号与时域性能指标1）系统的响应过程已知：

系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程，即为系统的时间响应。稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。稳态也称为静态，瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到稳定状态响应过程。瞬态响应也称为过渡过程。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系53.1时域响应与典型输入信号分析瞬态响应时，需要选择典型输入信号，这有如下好处：数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析、综合系统；典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数；2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系63.1时域响应与典型输入信号（1）阶跃函数2）常用的典型输入信号A=1时，称为单位阶跃函数，记为1(t)。拉氏变换为：L

；一般情况为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系73.1典型输入信号与时域性能指标（2）斜坡函数（3）抛物线函数2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系83.1典型输入信号与时域性能指标（4）单位脉冲函数δ(t)L（5）正弦函数2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系93.1典型输入信号与时域性能指标3）时域性能指标动态过程：系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应：表征系统输出量最终跟踪或复现理想输出的程度

时域中评价系统的动态态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。由于系统的响应分稳态响应与动态响应两部分所以分析系统的性能也就分稳态性能和动态性能两部分进行分析。分别定义了动态性能指标和稳态性能指标2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系103.1典型输入信号与时域性能指标动态性能指标上升时间tr延迟时间td峰值时间tp调节时间ts超调量σ%振荡次数Ntrtd2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系11h(t)tA时间tr上升超调量σ%=AB100%峰值时间tpBh(t)t调节时间ts动态性能指标定义1y(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系12y(t)t上升时间tr调节时间ts动态性能指标定义22023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系13y(t)ttstptrAB动态性能指标定义3σ%=BA100%2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系143.1典型输入信号与时域性能指标上升时间tr：响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需的时间，称为上升时间。若响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。峰值时间tp:响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值所需的时间。调节时间ts:

在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系153.1典型输入信号与时域性能指标ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即超调量表示系统响应过冲的程度，超调量过大将使系统元件工作于恶劣条件，同时加长了调节时间。振荡次数N：在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。

tr,tp和ts表示控制系统响应输入信号的快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。其中ts和σ%是最重要的两个动态性能的指标。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系163.1

典型输入信号与时域性能指标稳态性能指标：稳态误差(steady-stateerror)

ess：指响应的稳态值与期望值之差。稳态误差ess是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系173.2一阶系统的时域分析开环传函为：凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为一阶系统。一阶系统在控制工程中应用广泛，如RC电路、空载的直流电动机系统等。闭环传函为：微分方程为：其中：T为系统的时间常数，T的倒数为开环增益2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系183.2一阶系统的时域分析1）单位阶跃响应对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为：单位阶跃输入的像函数为则系统输出量的拉氏变换为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系193.2一阶系统的时域分析tT2T3T4T5Ty(t)0.6320.8650.950.9820.993T2T3T4T5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系203.2一阶系统的时域分析2）单位斜坡响应当输入信号时，系统输出量的拉氏变换为：对上式取拉氏反变换，得单位斜坡响应为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系213.2

一阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系223.2

一阶系统的时域分析

当u(t)=δ(t)时，系统的输出响应为该系统的脉冲响应。因为L

[δ(t)]=1，一阶系统脉冲响应的拉氏变换为：3）单位脉冲响应对应单位脉冲响应为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系233.2一阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系243.2

一阶系统的时域分析

若输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系，由于阶跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，因此今后以单位阶跃响应分析暂态特性。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系25

无零点的一阶系统

Φ(s)=Ts+1k,T时间常数(画图时取k=1,T=0.5)单位脉冲响应k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K’(0)=T单位阶跃响应h(t)=1-e-t/Th’(0)=1/Th(T)=0.632h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(4T)=0.982h(∞)单位斜坡响应c(t)=t-T+Te-t/TT?r(t)=δ(t)r(t)=1(t)r(t)=t问1、3个图各如何求T？2、调节时间ts=？3、r(t)=at时，ess=？4、求导关系？k’(0)=－1/T23.2

一阶系统的时域响应汇总2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系263.2

一阶系统的时域分析几点说明和结论：

1。根据动态性能指标的定义，的暂态指标为：ts=3T(5%)ts=4T(2%)2。如果把复现和跟踪输入信号为理想输出那么，对脉冲和单位阶跃输入时的稳态误差为0，而对单位斜波输入的稳态误差为T。

3。观察输入信号和对应的输出信号可知，输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系，由于阶跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，因此今后以单位阶跃响应分析暂态特性。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系273.2

一阶系统的时域分析

一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts，如果要求ts0.1秒。试求反馈系数应取多大？例3.2.12023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系283.2

一阶系统的时域分析系统的闭环传递函数解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系293.2

一阶系统的时域分析思考题和选做题：（1）当一阶对象的模型为时，分别求其输出响应所得的结果是否符合前面的结论？试着解释为什么有这样的结果？（2）当输入信号为时，的输出响应是什么？能否根据这个结果利用上面思考题直接写出对的输出响应？2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系303.3

二阶系统的时域分析1）典型的二阶系统典型的二阶系统动态结构图，系统的开环传递函数为：系统的闭环传递函数为：特征方程式为：它的两个特征根是：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系313.3

二阶系统的时域分析当0<ξ<1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根。系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态(如图a)。当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态（如图b）。当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态（如图d）。当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼状态（如图e）。当-1<ξ<0时，此时系统特征方程具有一对正实部的共轭复根。系统动态过程振荡发散。（如图c）当ξ<-1时，特征方程具有两个不相等的正实根，系统动态过程单调发散（如图f）2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系323.3二阶系统的时域分析2）二阶系统的单位阶跃响应（1）欠阻尼情况（0<ξ<1）由于0<ξ<1，则系统的一对共轭复数根可写为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系333.3

二阶系统的时域分析当输入信号为单位阶跃函数时，系统输出量的拉氏变换为：对上式进行拉氏反变换，则欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系343.3

二阶系统的时域分析（2）临界阻尼情况（ξ=1）临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上升过程，整个响应特性不产生振荡。响应曲线如图所示。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系353.3

二阶系统的时域分析（3）过阻尼情况（ξ>1）闭环极点为：输出量的拉氏变换为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系363.3二阶系统的时域分析

系统响应含有两个单调衰减的指数项，它们的代数和决不会超过稳态值1，因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的。响应曲线如图所示。拉氏反变换得：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系373.3二阶系统的时域分析（4）无阻尼情况（ξ=0）上式表明，系统为不衰减的振荡，其振荡频率为ωn，系统属临界稳定系统。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系383.3

二阶系统的时域分析（5）负过阻尼情况（ξ〈-1）2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系393.3

二阶系统的时域分析（6）负欠阻尼情况（-1〈ξ〈0）2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系403.3

二阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系410＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0二阶系统的阶跃响应总结2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系42二阶系统的阶跃响应总结j0j0j0j0T11T21ξ＞1:ξ＝1:0＜ξ＜1:ξ＝0:过阻尼临界阻尼欠阻尼零阻尼2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系433.3

二阶系统的时域分析总结二阶系统的阶跃响应，发现有如下情况：1）负阻尼情况下，系统在单位阶跃信号作用下系统的输出最终无法达到一个确定的数值上，也不会在确定范围内变化。2）当ξ>0时不管系统的暂态过程如何变化，系统输出都会稳定在值1上。3）当ξ=0时系统的输出响应，即没有稳定在一个值上也没有发散，而是在[02]中周期变化。——不稳定系统——稳定系统——临界稳定2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系443.3

二阶系统的时域分析进一步系统的稳定性与系统的特征有什么联系：1）负阻尼情况下：ξ<0，系统的极点有正实部。2）当ξ>0时：不管系统是欠阻尼还是过阻尼，系统的极点都有负实部。3）当ξ=0时：系统的极点是纯虚的，实部为零。思考和疑问：能否将上面的总结作为判断系统稳定性的结论？2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系45j0-ξωnωd=ωn√1-ξ2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2S1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnβy(t)=1－√1-ξ21e-ξωntsin(ωdt+β)ωn3.3

二阶系统的时域分析3）二阶系统（欠阻尼）动态性能分析。阻尼振荡频率自然振荡频率2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系463.3

二阶系统的时域分析上升时间tr：由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。当ωn一定时，ξ越小，tr越小当ξ一定时，ωn越大，tr越小2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系473.3

二阶系统的时域分析峰值时间tp2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系483.3

二阶系统的时域分析当ωn一定时，ξ越小，tp越小；当ξ一定时，ωn越大，tp越小。tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1。于是2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系49超调量σ%3.3

二阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系50σ%与ξ的关系曲线ξ增大，σ%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比ξ取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-2.5%。

超调量是阻尼比ξ的函数，与自然振荡频率ωn的大小无关。3.3

二阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系51调节时间不连续的示意图ξ值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。3.3

二阶系统的时域分析调节时间ts2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系523.3

二阶系统的时域分析根据定义：

不易求出ts，但可得出ωnts与ξ的关系曲线2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系533.3

二阶系统的时域分析调节时间ts取sin项为±1，则≈ξωn3.5由此解出2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系543.3

二阶系统的时域分析当ξ=0.68（5%误差带）或ξ=0.76（2%误带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。当ξ<=0.8时,常把去掉。写成即

可近似表示为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系553.3

二阶系统的时域分析振荡次数NN的定义:在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。Td为阻尼振荡的周期2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系563.3

二阶系统的时域分析阻尼比小：峰值时间短，调整时间长，超调量大。阻尼比大：峰值时间长，超调量小。希望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程上阻尼比一般取0.4－0.8。阻尼比为0.707称为最佳阻尼比.2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系573.3

二阶系统的时域分析

设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA=13.5,这时系统的动态性能指标如何?已知单位反馈系统的开环传递函数为：解系统的闭环传递函数为:例3.3.12023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系583.3

二阶系统的时域分析则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得:（1）2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系593.3

二阶系统的时域分析由此可见,KA越大,ξ越小,ωn越大,tp越小,σ%越大,而调节时间ts无多大变化。系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统来估计:（2）（3）2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系60稳性为了改善系统的动态性能，可采用比例－微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：3.3

二阶系统的时域分析KA增大，tp减小，tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系61

如图所示的系统，施加8.9N阶跃力后，记录时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度K和粘性阻尼系数D的数值。质量-弹簧-阻尼系统系统阶跃响应曲线3.3

二阶系统的时域分析例3.3.22023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系623.3

二阶系统的时域分析解解得根据牛顿第二定律：进行拉氏变换，并整理得：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系633.3

二阶系统的时域分析由终值定理得（系统稳定）：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系643.3

二阶系统的时域分析4）二阶系统（过阻尼）动态性能分析。当ξ≥1时，系统将没有σ%，故也没有tpξ≥1时的特征多项式若T1≥4~5T2，则：若ξ=1(T1=T2),ts=4.75T12023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系653.3

二阶系统的时域分析具有一个附加零点的闭环二阶系统为

5）带有零点的二阶系统响应2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系663.3

二阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系673.3

二阶系统的时域分析欠阻尼情况：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系683.3

二阶系统的时域分析峰值时间2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系693.3

二阶系统的时域分析

超调量超调有增加的趋势。表示零点与极点距离虚轴的距离比；零点离虚轴越近，超调量越大。调节时间

调节时间增加或减小，取决于l/z比值的大小2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系703.3

二阶系统的时域分析j02023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系713.3二阶系统的时域分析

下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号和偏差信号微分的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。1-+例3.3.32023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系723.3二阶系统的时域分析系统开环传递函数闭环传递函数:等效阻尼比：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系733.3二阶系统的时域分析解试分析速度反馈校正对系统性能的影响。系统的开环传递函数为

图:是采用了速度反馈控制的二阶系统。例3.3.4U(s)Y(s)--kts2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系743.3

二阶系统的时域分析式中kt为速度反馈系数其中：为系统的开环增益(不引入速度反馈开环增益)闭环传递函数：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系75等效阻尼比：显然，所以速度反馈可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率ωn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。3.3

二阶系统的时域分析在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数Kt,使阻尼比ξt增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系763.4

高阶系统的时域分析

一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。传递函数可表示为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系773.4

高阶系统的时域分析设输入为单位阶跃，则如果其极点互不相同：经拉氏反变换，得：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系78j0j0j0j0j03.4

高阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系793.4

高阶系统的时域分析讨论如下几个问题

1．响应分量的个数？

2．什么条件下，当t趋于无穷时，输出值趋于常数？

3．什么条件下，当t趋于无穷时，输出值在一定范围内变化，即临界稳定？

4．系统输出振荡由什么引起的？

5．当系统稳定时，什么样的分量对输出作用时间长？

2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系803.4

高阶系统的时域分析1．q+r+12．特征根的实部都小于零，即根在s平面的左半平面。3．所有实数极点都小于零，复数极点的实部小于等于零。4．系统输出的震荡由闭环传函复数的极点造成，实轴上的极点不引起震荡。5．高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢由-pj和ξk、ωnk决定，即由闭环极点在S平面左半边离虚轴的距离决定。当闭环极点离虚轴越近，其作用时间越长（主导极点）。当所有极点均具有负实部时，除常数其他各项随着时间而衰减为零。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系813.4

高阶系统的时域分析例3.4.1系统传递函数如下，计算系统的单位阶跃响应。解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系823.4

高阶系统的时域分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系833.4

高阶系统的时域分析①：G1与G3比较，-1起主要作用（主导极点）。②：G2与G4比较，极点-1与零点-1.01

相接近，零点对极点起到动态响应抵消作用，使远处的极点作用发挥出来（偶极子）。③：G3与G4比较，可见零点起到微分作用，起加快响应速度的目的。④：G3与G4比较，传递函数的稳定零点不影响系统动态响应分量的个数，也不影响它们的稳定性。零点仅影响各分量系数大小正负。⑤：一阶环节起惯性滞后作用，离原点、虚轴越近惯性滞后作用越强。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系843.4高阶系统的时域分析①用主导极点来估计高阶系统的性能指标②导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式主导极点：在高阶系统中某一极点或一对共轭复数极点距虚轴的距离是其它极点距虚轴距离的1/5或更小，并且附近没有闭环零点，称该极点（对）为该高阶系统的主导极点。③高阶系统的分析目前通常使用Matlab仿真的方式进行分析2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系853.5

线性系统状态方程的解前一章我们讨论了系统的数学模型：传递函数与传递函数矩阵状态空间表达式本节讨论在状态空间表达式描述下系统的响应问题。即已知系统的输入和系统的初始状态，如何求解系统的状态变量和输出量。

本章前几节2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系863.5

线性系统状态方程的解首先求解齐次方程叠加原理Þîíì=+=0)0()()()(xxtButAxtx&2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系873.5

线性系统状态方程的解设：则：比较系数：又：其中：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系88状态转移矩阵：矩阵指数函数由齐次方程的自由解：

可知，由于

的存在，只要已知

，任一时刻的x(t)都会变成已知。3.5

线性系统状态方程的解即从时间的角度而言，

随着时间的推移，不断的在状态空间中做转移，所以意味着它能够使得状态向量称为状态转移矩阵，通常记为2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系89状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质3.5

线性系统状态方程的解2）3）当且仅当AB=BA时，有

4）当

5）1）)()()()(tttt+=Û+F=FFtAAAteeett2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系90对角阵3.5

线性系统状态方程的解矩阵指数函数的几种计算方法

1）由

的定义或展开式直接计算

2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系91约当块3.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系923）模态阵

3.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系932）将矩阵A变换为约旦标准型

A单根时：

A有重根时：

A有复根时：

3.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系94

解：

①求特征值，由得：

②求特征向量

，并组成变换矩阵T及T-1

(采用变换矩阵法)3.5

线性系统状态方程的解例3.5.12023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系95∴③求约当标准形④求

3.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系963）利用拉氏变换法求

证：

3.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系97(采用拉氏变换法)

解：3.5

线性系统状态方程的解例3.5.22023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系983.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系99叠加原理3.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系100反变换（卷积定理）

求下述系统在单位阶跃函数作用下的响应例3.5.33.5

线性系统状态方程的解并将这种响应与系统对应的传递函数的响应做对比。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系101解：①求（约当标准法，拉氏反变换法）

②系统状态响应为：3.5

线性系统状态方程的解由

2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1023.5

线性系统状态方程的解将初始条件为零，即

③系统的输出响应为：④系统的传递函数为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1033.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1043.5

线性系统状态方程的解例3.5.42023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1053.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1063.5

线性系统状态方程的解2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1073.6线性系统稳态误差计算1）误差与稳态误差误差定义为系统期望输出值与实际输出值之差。其中：是系统的期望输出是系统的实际输出是稳态误差

如果系统稳定，经一段时间后系统进入稳态，此时期望输出量与实际输出量的差值称为稳态误差。系统稳定2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1083.6线性系统稳态误差计算即：此时输入等于期望输出对于图所示系统：如果则：所以：当：有：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1093.6线性系统稳态误差计算此时：输入等于期望输出的H倍上图也可作如下等效则：所以：当：有：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1103.6线性系统稳态误差计算所以在讨论系统的稳态误差时，一般用常用e(t)的稳态值表示系统的稳态误差！实际上比较两个框图。可以发现：输入端定义输出端定义2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1113.6线性系统稳态误差计算根据系统结构图误差与输入之间的传递函数为：如果sE(s)除在原点处有唯一极点外，其他极点均在s平面的左半平面，根据终值定理，有：以后在不做特别说明时，系统误差总是通过定义。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1123.6线性系统稳态误差计算2）系统的分类注意！分母中有sν项，表示开环传递函数在s平面原点处的ν重极点。系统的开环传递函数可表示为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1133.6线性系统稳态误差计算根据开环传递函数在s平面原点处重极点的个数ν,将系统定义为ν型系统。ν=0，0型系统，开环传递函数在原点无极点ν=1，Ⅰ型系统，开环传递函数在原点有1个极点ν=2，Ⅱ型系统，开环传递函数在原点有2个极点

...ν=n，n型系统，开环传递函数在原点有n个极点一般我们只讨论2型以下的系统，因为2型以上的系统，使系统稳定比较困难2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1143.6线性系统稳态误差计算3）给定作用下的稳态误差（1）单位阶跃函数输入根据定义，有：定义：为系统的静态位置误差系数则2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1153.6线性系统稳态误差计算对0型系统对Ⅰ型系统及Ⅰ型以上的系统由此可见，对于单位阶跃输入，只有0型系统有稳态误差，其大小与系统的开环增益成反比。而Ⅰ型和Ⅰ型以上的系统位置误差系数均为无穷大，稳态误差均为零。2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1163.6线性系统稳态误差计算（2）单位斜坡函数输入定义：静态速度误差系数为：所以系统稳态误差为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1173.6线性系统稳态误差计算

由此可见，对于单位斜坡输入，0型系统稳态误差为无穷大；Ⅰ型系统可以跟踪输入信号，但有稳态误差，该误差与系统的开环增益成反比；Ⅱ型或高于Ⅱ型系统，稳态误差为零。对0型系统对Ⅰ型系统对Ⅱ型或高于Ⅱ型系统2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1183.6线性系统稳态误差计算（3）单位抛物线函数输入定义：静态加速度误差系数为：所以系统稳态误差为：2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1193.6线性系统稳态误差计算对Ⅲ型或高于Ⅲ型系统

由此可知，0型及Ⅰ型系统都不能跟踪抛物线输入；Ⅱ型系统可以跟踪抛物线输入，但存在一定的误差，该误差与系统的开环增益成反比；只有Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统，才能准确跟踪抛物线输入信号。对0型系统对Ⅰ型系统对Ⅱ型系统2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1203.6线性系统稳态误差计算下表列出了不同类型的系统在不同参考输入下的稳态误差。P129-表3-52023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1213.6线性系统稳态误差计算4）扰动输入作用下的稳态误差控制系统的典型结构图2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1223.6线性系统稳态误差计算(1)输入端定义法扰动作用下系统的误差传递函数为根据拉氏变换终值定理，求得扰动作用下的稳态误差为2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1233.6线性系统稳态误差计算(2)输出端定义法2023/6/414:01北京科技大学信息工程学院自动化系1243.6线性系统稳态误差计算系统结构图如下图所示，设被控对象的传递函