高等数学北大版第二版

高等数学北大版第二版Tag内容描述：<p>1、推广,第六章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分学,6-1 多元函数,1.多元函数的概念,引例:,一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的 函数:,在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数.,多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面。</p><p>2、习题习题 3.1 3/2 2 22222 22223/2 3/22/33/22/33/2 3/22/33 11 1.1212(12 )(12 ). 23 3133 2.(1). (1)2(1)2(1) 11 3.2727 (27)(27). 46 2 4. (21)(21) 3 2 1 (21)(2 3 2 xdxxdxxC x dxd xC xxx xxdxxdxxC xxdxxdx xdx ? 求下列不定积分： /23/25/3 1/ 1/1/ 2 10010099 22 2 22 1 1)(21). 5 5.(1/ ). (2)1 6 (2)(2)99(2) 1135/315 7.arctan. 353 1 (5/3) 3531 5/3 15 173/7 8. 37 737 1 3/77 1 x xx xC e dxedxeC x dxdx C xxx dxdxdx xC xxx dxdxdx xx。</p><p>3、第一章 求（证）极限的主要方法,极限知识是微积分学和其它高等数学内容和学科的基础，是 研究导数、各种积分、级数、复变函数、积分变换，等的基 本工具，既是学习的重点、又是难点，应充分重视.,一、内容小结,二、求极限的方法,2. 利用极限的运算法则求极限；,1. 用定义证明极限式；,3 .利用极限存在准则证明极限的存在性；,4 .用夹逼定理求极限 ；,5.利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”；,6.利用两个重要的极限；,7.利用“洛必达法则”，导数定义，定积分定义等 求极限.,当,无穷小量,定义 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,。</p><p>4、第十一章 无 穷 级 数 （习题课）,10.1 敛散性判定的方法,10.1.2 正项级数收敛准则,正项级数收敛的充要条件：它的部分和数列上有界. 这一准则是正项级数各种判敛法的理论基础.,10.1.3 比较判敛法,设有正项级数,:,例2 判定下列级数的敛散性,最常用来作比较的级数是等比级数qn ( q 0）,调和级数,比值判敛法 对于正项级数 如果,根值判敛法 对于正项级数 如果,例 5 判定下列级数的敛散性,10.1.4 积分判敛法,若f(x) 连续、非负、不增，则正项级数 与无穷级数,同时收敛，同时发散。.,从而当相应的无穷积分的敛散性易于判断时，可以通过积分来 判。</p><p>5、第四、五章 不定积分和定积分,（习 题 课）,不定积分方法有三种：（一）逐项积分法；（二）换元法 （三）分部积分法.若被积函数为有理函数， 三角函数有理式及简 单无理函数等特殊类型的函数，还可采用一些特定有效的积分法.,（凑微分法）,1 .积分倒代换,化为有理函数的积分,2.简单的无理函数积分,解,3. 利用积分公式,4. 对定积分利用定积分的有关性质,例 8,例 9,例 10,=,（去掉被积函数绝对值符号，利用定积分对区间可加性的性质）,5. 三角函数有理式的积分,证明：,6. 有理函数的积分,积分上限的函数 定义 设f(x)在a,b上连续，称,为积分。</p><p>6、x 的一次多项式,4-3 泰勒公式,以直代曲,若上式成立，则有,要证明上述公式成立，实际上就是要证明,证,即证明了：,即证明了：,其中,(n阶泰勒多项式),展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式,定理 1 (泰勒公式),设 y = f(x) 在 点的某个邻域内有定义，并在 点具有 n 阶导数 则在 点附近有下列展开式：,证,连续地使用(n-1)次洛必达法则,则有,(*),证毕.,(*)称为n阶泰勒公式,称为皮亚诺型余项.,称为马克劳林（ Maclaurin ）公式 .,几个初等函数的马克劳林公式,例1,解,例2,解,类似可得,例3,解,或者认为展开式结束于偶数项：,例4,已知,例5,定。</p><p>7、6-8 隐函数存在定理,y=f(x)形式的函数称为显函数. 由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.,由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数,由方程组,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,1. 一个方程的情况,定理1,设 在一点 的邻域内有定义.且满足下列条件:,则在 的某个邻域 内存在一个 函数y=f(x) , 使得 且,并且 内有连续的导函数,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,两边。</p><p>8、推广,第六章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分学,6-1 多元函数,1.多元函数的概念,引例:,一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的 函数:,在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数.,多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面。</p><p>9、第十章 曲线积分与曲面积分,（习题课）,一、曲线积分的计算法,曲线积分计算的关键是必须明确被积函数f(x,y)为定义在积分曲 线L上的连续函数，x、y之间符合L的方程，故可化为定积分计算， 切不可与二重积分混淆。并第一型曲线积分与L的方向无关，第二 型曲线积分与L的方向有关。,10.1 第一型曲线积分的计算。</p><p>10、所围成的曲边梯形的面积 A 须经过以下四个步骤：,（2）近似代替：,（4）取极限：,（3）求和：,设第 i 个小曲边梯形的面积为,则：,定积分的元素法,3-5 定积分的若干应用,（2）A对于区间a,b具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于 所有小曲边梯形面积的和。,在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：,（1）A是一个与变量x的区间a,b有关的量；,即：,（3）写出A的积分表达式，即：,求A的积分表达式的步骤可简化如下：,（1）确定积分变量x及积分区间a，b；,（2）在a,b上任取小区间,叫做面积元素,记为,即：,具体步骤是：,那么这个量就可以用积。</p><p>11、1. 方向导数,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,6-6 方向导数与梯度,6-6 方向导数与梯度,1. 方向导数,讨论函z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率问题,如果函数增量, 即当 l 与 x 轴同向, 即当 l 与 x 轴反向,关于方向导数的存在及计算：,方向导数是偏导数的推广,定理 若函数 在点 处可微, 则,在该点沿任一方向 的方向导数均存在, 且,其中 为 的方向余弦.,证,例1 求函数 在点(1,2)处从点 到点 的方向的方向导数 .,解,首先计算f 在点(1,2)处的偏导数：,其次计算给定方向的方向余弦.,故所求方向导数,且 的方向余弦为 , 则,例2,解,根据。</p><p>12、由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,3-2 分部积分法,补例. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,例1 求,解,例2 求,解,注：当被积函数为幂函数与对数函数的乘积时，选择对数函数为u(x),例3 求,解,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,例4 求,解,移项，两端除以2最后再加上C，得,例 5 求,解,例6. 求,解: 令,则,得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,补例. 求。</p><p>13、6-2 多元函数的极限,1. 二元函数的极限概念,定义1 设 在点 的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的正数 都存在正数 ,使得当,时，就有,则称 趋于 时 以为极限,定义2 设 在点 的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的 都存在一个 ,使得当,时，就有,证,从而推出，当,例1,证,因为,例2 设,求证,证,故,总有,必须注意 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.,讨论,例 3 问函数,解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0。</p><p>14、1. 多元函数的连续性6-3 多元函数的连续性定义 设 在点 的一个邻域内有定义 ,若则称 在 点连续 .多元函数的连续性与一元函数的连续性类多元函数的连续性与一元函数的连续性类似似 ,与函数的极限密切相关与函数的极限密切相关 .用 严格定义连续性 .若 在区域内有定义且在内每一点都连续，则称 在区域内 连续 . 上述不等式可以换成而所定义的连续性是彼此等价的 .例 1 函数证而故有证毕 .例 2 设解故k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点不连续 .2. 关于二元函数连续性的几个定理定理 1 设 与 在点 处连续， 及在点 处也连续若 则在点连续定理 (复。</p><p>15、1. 多元函数的连续性,6-3 多元函数的连续性,定义,设 在点 的一个邻域内有定义,若 则称 在 点连续.,多元函数的连续性与一元函数的连续性类 似,与函数的极限密切相关.,用 严格定义连续性.,若 在区域内有定义且在内每一点 都连续，则称 在区域内连续.,上述不等式,可以换成,而所定义的连续性是彼此等价的.,例1 函数,证,而,故有,证毕.,例2 设,解,故,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点不连续 .,2. 关于二元函数连续性的几个定理,定理1,设 与 在点 处连续，,若,定理 (复合函数的连续性),设 在点 附近内有定义, 且在 连续，,又设 在点 的附近有定义,。</p><p>16、1. 多元函数的连续性,6-3 多元函数的连续性,定义,设 在点 的一个邻域内有定义,若 则称 在 点连续.,多元函数的连续性与一元函数的连续性类 似,与函数的极限密切相关.,用 严格定义连续性.,若 在区域内有定义且在内每一点 都连续，则称 在区域内连续.,上述不等式,可以换成,而所定义的连续性是彼此等价的.,例1 函数,证,而,故有,证毕.,例2 设,解,故,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点不连续 .,2. 关于二元函数连续性的几个定理,定理1,设 与 在点 处连续，,若,定理 (复合函数的连续性),设 在点 附近内有定义, 且在 连续，,又设 在点 的附近有定义,。</p><p>17、1. 方向导数,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,6-6 方向导数与梯度,6-6 方向导数与梯度,1. 方向导数,讨论函z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率问题,如果函数增量, 即当 l 与 x 轴同向, 即当 l 与 x 轴反向,关于方向导数的存在及计算：,方向导数是偏导数的推广,定理 若函数 在点 处可微, 则,在该点沿任一方向 的方向导数均存在, 且,其中 为 的方向余弦.,证,例1 求函数 在点(1,2)处从点 到点 的方向的方向导数 .,解,首先计算f 在点(1,2)处的偏导数：,其次计算给定方向的方向余弦.,故所求方向导数,且 的方向余弦为 , 则,例2,解,根据。</p><p>18、第一节极限的定义 第二节极限的运算 第三节函数的连续性 第二章极限与连续 一 函数的极限 二 数列的极限 三 极限的性质 四 极限分析定义 五 无穷小量 六 无穷大量 第一节极限的定义 第一节极限的定义 图 一 函数的极。</p><p>19、设,可导,则有,第三章 积分的计算,3-1 不定积分的换元法,1. 不定积分第一换元法,(凑微分法),例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,例2. 求,解:,令,则,想到公式,例3. 求,想到,解:,(凑微分法或配元法),例4. 求,解:,类似,例5. 求,解:, 原式 =,类似地,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,例10. 求,解法1,解法 2,同样可证,或,例11 . 求,解:,例12 求,解,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或。</p><p>20、1.平面的方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,5-3 空间中平面与直线的方程,平面的点法式方程（1）可以化成,例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：,即,补例 求过三点,即,解 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,例2 已知一平面的方程为,解,于是,平面的一般方程,由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次。</p>