函数的连续性和间断点

函数的连续性和间断点Tag内容描述：<p>1、第八节 函数的连续性 与间断点 函数的连续性(continuity) 函数的间断点 小结 (discontinuous point) 第一章 函数、极限与连续 1 间变化很小时,生物生长的也很少. 在函数关系上的反映就是函数的连续性. 在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,金属棒长变化也很小.时 在高等数学中,主要的研究对象就是连 续函数. 这种现象 从直观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以 一笔画成. 函数的连续性与间断点 1. 函数的增量 自变量称差为自变量在 的增量;函数随着从称差 为函数的 增量. 如图: 一、函数。</p><p>2、练习： 二、 函数的间断点 一、 函数的连续性 第六节 函数的连续性与间断点 可见 , 函数在点 一、 函数的连续性(continuity) 1.定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 ,存在 ; 对自变量的增量 有函数的增量 函数在点连续有: 2.函数连续的等价定义 等价定义:在 的某邻域内有定义 , 设函数 则称函数 当时, 有 当时, 有 4.左、右连续 在的某邻域内有定义 , 设函数 则称函数 定理1 continue 若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续。</p><p>3、极限的计算 1/未定式 u例1 20/0未定式 u例2 u补1 求下列极限 (1)(2) 求下列极限 (1)(2) 求 3-未定式 u例3 u补2 u例4 l注 常用技巧：通分、有理化 40未定式 l注 常用技巧：变量代换 求下列极限 (1)(2) 求 求下列极限 (1)(2) 5利用有界函数与无穷小之积仍是无穷小求极限 l注 关键： 合理分项 u例5求下列极限 (1)(2) (3) 6利用等价无穷小代换求极限 依据 定理 等价无穷小性质 常用等价无穷小： 且 存在,则 设 6利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小： u例6 求下列极限 (1) (补) (2) (3) (补) 6利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小：。</p><p>4、2019年5月24日星期五,1,第八节 函数的连续性与函数的间断点,一、问题的提出,二、函数的连续性,三、函数的间断点,四、小结与思考判断题,第一章,2019年5月24日星期五,2,一、问题的提出,一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。,连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。,2019年5月24日星期五,3,二、函数的连续性,1.函数的增量,2019年5月24日星期五,4,2、函数在一点连续的定义,2019年5月24日星期五,5,2019年5月24日星期五,6,例1,证,由定义知，,2019年5月24日星期五,7,3、单侧连。</p><p>5、第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结 思考题,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间。</p><p>6、1,1.8 函数的连续性 与间断点,函数的连续(continuity),函数的间断点,小结 思考题 作业,(discontinuous point),2,间变化很小时,生物生长的也很少.,在函数关系上的反映就是函数的连续性.,在自然界中,许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.,时,在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数.,这种现象,从直观上不妨这样说, 连续函数的,特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以,一笔画成.,3,1. 函数的增量,自变量,称差,为自变量在,的增量;,函数随着从,称差,为函数的,增量.,如图:,一、函数的连续性,4,连续,2. 连续的定义,定。</p><p>7、二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,下页 返回 结束,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,上页 下页 返回 结束,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,在闭区间,上的连。</p><p>8、第八节 函数的连续性 与间断点,一、函数的连续性 二、函数的间断点,一、函数的连续性,1. 函数的增量,-变量u的增量,-自变量的增量,-函数的增量,2. 函数连续的定义,定义,连续的等价定义,极限值等于函数值,说明：,左连续：,右连续：,左连续,右连续,等价命题:,3. 连续区间与连续函数,区间上连续：,指函数在区间a, b上的每一内点都连续，,且在a右连续，在 b左连续.,连续函数：,连续区间,说明：,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如：,多项式函数,又如： 有理分式函数,在其定义域内连续.,例2,证明,例3,证明,同理可证,由夹逼定理,三角。</p><p>9、1. 增量,一、函数的连续性,第八节 函数的连续性与间断点,2. 连续的定义,定义1,定义2,例1,解,由函数连续的定义知:,3. 单侧连续,定理,例2,解,所以f (x)在x0处右连续但不左连续 ,4. 其它称法,例3,证,二、函数的间断点,定义,间断点的三种情形：,1. 跳跃间断点,例4,解,2. 可去间断点,例5,解,例5,间断点的分类:,定义,例6,解,无穷间断点,例7,解,振荡间断点,几个特殊函数的连续性:,在定义域R内每一点处都间断,仅在x=0处连续.,且都是第二类间断点.,1. 狄利克雷函数,在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值函数处处连续.,判断下列图形中的间断点的类。</p><p>10、1. 增量,一、函数的连续性,第八节 函数的连续性与间断点,2. 连续的两个等价的定义,定义1,定义2,例1,解:,由函数连续的定义知,3.单侧连续,定理,例2,解:,练习：,解:,4.其它一些称法,二、函数的间断点,定义,间断点的三种情形：, 跳跃间断点,例3,解:,解:,例4, 可去间断点,间断点的分类:,定义,例5,解:,无穷间断点,例6,解:,振荡间断点,判断下列图形中的间断点的类型:,第一类间断点,（跳跃间断点）,第二类间断点,（半无穷间断点）,第一类间断点,（可去间断点）,练习,解:,思考题,解答：,解：,反例,解：,解：,1. 函数在一点处、区间内(上)连续的概念。</p><p>11、二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,1. 增量的定义,增量可正可负:,一、函数连续性的定义,从几何上观察:,函数增量:,2. 连续的定义,定义1.,定义2:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,若,f (x),问题： 函数在点x0连续与 存在极限的区别？,1. x = x0必须取到,2. A = f (x0),f (x0),f (x0)+,f (x0),并且 A= f (x0),f (x)在x0连续,函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续,存在;,有定义,存在;,必须具备下列条件:,说明:,例1.,证:,3. 单侧连续,(1) 左连续,(2) 右连续,例2.,解:,例3.,解:,连续函数与。</p><p>12、1,第七节 函数的连续性与间断点,2,3,4,5,6,在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，,或者说函数在该区间上连续。,连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。,7,证：,设,由夹逼准则得,8,二. 函数的间断点,9,函数间断点的几种常见类型：,没有定义，,若补充定义：,10,例2 函数,而,改变函数的定义，令,也称为该函数的可去间断点。,.,11,例3 函数,称为,该函数的跳跃间断点。,12,的无穷间断点。,13,14,15,例6 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那,一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。,16,解,是可。</p><p>13、第七节 函数的连续性与间断点,一 、 连续函数的概念,设 在U(x0)内有定义,称 x=x-x0 为自变量在 x0 处的改变量(或增量);称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的改变量(或增量).,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义,若 或 或 ，则称函数 在点 处连续.,*亦可用 语言表述.,定义2 (左连续和右连续的概念),若 ,则称函数 在点 处左连续.,若 ,则称函数 在点 处右连续.,所以定义可简化为:,解：因为,所以,故函数在点 处的连续.,解 因为,要使 在 处连续，则必须,解得 .,定义3 若 在 内每一点连续,则称 在 内连续; 若区间包括端点, 在左端点 处是右。</p><p>14、第七节 函数的连续性与间断点,一 、 连续函数的概念,设 在U(x0)内有定义,称 x=x-x0 为自变量在 x0 处的改变量(或增量);称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的改变量(或增量).,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义,若 或 或 ，则称函数 在点 处连续.,*亦可用 语言表述.,定义2 (左连续和右连续的概念),若 ,则称函数 在点 处左连续.,若 ,则称函数 在点 处右连续.,所以定义可简化为:,解：因为,所以,故函数在点 处的连续.,解 因为,要使 在 处连续，则必须,解得 .,定义3 若 在 内每一点连续,则称 在 内连续; 若区间包括端点, 在左端点 处是右。</p><p>15、1.8 函数的连续性与间断点,燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪,第1章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义1:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,连续. 否则就,说函数,是间断的.,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例1 考察下列函数在点,的连续性,(1),(2),(3),解,无定义，所以,在,不连续,虽然有定义,但是,不相同，所以,(3),由定义，由于,点的极限,所以,例2,证,由定义1知,试证函数,处连续.,函数,处连续.,。</p><p>16、1,1.8 函数的连续性 与间断点,函数的连续(continuity),函数的间断点,小结 思考题 作业,(discontinuous point),2,间变化很小时,生物生长的也很少.,在函数关系上的反映就是函数的连续性.,在自然界中,许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.,时,在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数.,这种现象,从直观上不妨这样说, 连续函数的,特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以,一笔画成.,3,1. 函数的增量,自变量,称差,为自变量在,的增量;,函数随着从,称差,为函数的,增量.,如图:,一、函数的连续性,4,连续,2. 连续的定义,定。</p><p>17、第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,。</p><p>18、第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、小结,一、函数的连续性,1、变量的增量,2.函数在一点处的连续定义,从几何直观上说一个函数如果是连续变化 的，那么它的图形应该是一条连续不断的曲线,说明 这两个定义都可用来判断一个函数在某点 处是否连续。通常判断分段函数在分段点处的连 续性时，用定义2比较方便,解,例1,例2,证,所以,由定义2知,练习,解,3. 函数在区间上的连续定义,如果函数在开区间(a,b)上每一点都连 续,则称函数在该区间上连续.,例如,二、函数的间断点,例4,o,x,y,o,x,y,2,4,2,4,1.可去间断点,注。</p>